Mathématiques · Prépa concours post-bac — Écoles militaires & royales

Ensembles et applications

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensembles : Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$ . On définit l'intersection $A \cap B = \{x \in E / x \in A \text{ et } x \in B\}$ et la réunion $A \cup B = \{x \in E / x \in A \text{ ou } x \in B\}$ .
Applications : Une application $f: E \to F$ associe à chaque $x \in E$ un unique $y \in F$ noté $f(x)$ .
Injectivité : $f$ est injective si $\forall x, x' \in E, f(x) = f(x') \implies x = x'$ .
Surjectivité : $f$ est surjective si $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$ .
Bijection : $f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Méthodes à maîtriser

Montrer l'égalité de deux ensembles $A=B$ : Montrer que $A \subset B$ et $B \subset A$ .
Montrer qu'une application est injective : Supposer $f(x) = f(x')$ et aboutir à $x = x'$ .
Montrer qu'une application est surjective : Soit $y \in F$ , résoudre l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x \in E$ . Si on trouve au moins une solution, elle est surjective.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$ $f : R \to R, x \mapsto 2 x + 1$ .
- Injectivité : $2x+1 = 2x'+1 \implies 2x = 2x' \implies x = x'$ . Donc $f$ est injective.
- Surjectivité : Soit $y \in \mathbb{R}$ , $2x+1 = y \implies x = \frac{y-1}{2}$ . Comme $x \in \mathbb{R}$ , $f$ est surjective.
- Conclusion : $f$ est bijective.

Erreurs fréquentes

Confondre l'image d'un élément $f(x)$ et l'image d'un ensemble $f(A)$ .
Oublier de vérifier que l'antécédent trouvé appartient bien à l'ensemble de départ lors de la surjectivité.
Penser qu'une application est injective juste parce qu'elle est strictement monotone (attention au domaine de définition).

L'essentiel du cours

Ensembles : Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. On définit l'intersection $A \cap B = {x \in E / x \in A \text{ et } x \in B}$ et la réunion $A \cup B = {x \in E / x \in A \text{ ou } x \in B}$.
Applications : Une application $f: E \to F$ associe à chaque $x \in E$ un unique $y \in F$ noté $f(x)$.
Injectivité : $f$ est injective si $\forall x, x' \in E, f(x) = f(x') \implies x = x'$.
Surjectivité : $f$ est surjective si $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$.
Bijection : $f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Méthodes à maîtriser

Montrer l'égalité de deux ensembles $A=B$ : Montrer que $A \subset B$ et $B \subset A$.
Montrer qu'une application est injective : Supposer $f(x) = f(x')$ et aboutir à $x = x'$.
Montrer qu'une application est surjective : Soit $y \in F$, résoudre l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x \in E$. Si on trouve au moins une solution, elle est surjective.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$.
- Injectivité : $2x+1 = 2x'+1 \implies 2x = 2x' \implies x = x'$. Donc $f$ est injective.
- Surjectivité : Soit $y \in \mathbb{R}$, $2x+1 = y \implies x = \frac{y-1}{2}$. Comme $x \in \mathbb{R}$, $f$ est surjective.
- Conclusion : $f$ est bijective.

Erreurs fréquentes

Confondre l'image d'un élément $f(x)$ et l'image d'un ensemble $f(A)$.
Oublier de vérifier que l'antécédent trouvé appartient bien à l'ensemble de départ lors de la surjectivité.
Penser qu'une application est injective juste parce qu'elle est strictement monotone (attention au domaine de définition).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Ensembles et applications

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Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2$ . $f$ est-elle injective ?

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2$. $f$ est-elle injective ?

❓ Questions fréquentes

Si f est bijective, est-ce que f^{-1} est bijective ?

Oui, l'application réciproque $f^{-1}: F \to E$ est aussi une bijection.

💡 À retenir : La bijection est une relation symétrique.

Oui, l'application réciproque $f^{-1}: F \to E$ est aussi une bijection.

💡 À retenir : La bijection est une relation symétrique.

Qu'est-ce qu'un ensemble vide ?

C'est l'ensemble qui ne contient aucun élément, noté $\emptyset$ . Il est inclus dans tout ensemble.

💡 À retenir : $\forall A, \emptyset \subset A$ .

C'est l'ensemble qui ne contient aucun élément, noté $\emptyset$. Il est inclus dans tout ensemble.

💡 À retenir : $\forall A, \emptyset \subset A$.

Qu'est-ce qu'une application ?

Une application est une relation entre deux ensembles $E$ et $F$ telle que chaque élément de $E$ possède une image unique dans $F$ .

💡 À retenir : Chaque élément de l'ensemble de départ doit avoir exactement une image.

Une application est une relation entre deux ensembles $E$ et $F$ telle que chaque élément de $E$ possède une image unique dans $F$.

💡 À retenir : Chaque élément de l'ensemble de départ doit avoir exactement une image.

Kifach n-biyen bli wahed l-application bijektiv ?

Biyen bli hiya injective (ila kan $f(x)=f(y)$ khass $x=y$ ).
Biyen bli hiya surjective (khass kol $y$ f l-wosoul ykoun 3ando sabaq $x$ f l-inital).
Ila kano bjouj, rah bijektiv.

💡 À retenir : La bijection est le pont parfait entre deux ensembles.

Biyen bli hiya injective (ila kan $f(x)=f(y)$ khass $x=y$).
Biyen bli hiya surjective (khass kol $y$ f l-wosoul ykoun 3ando sabaq $x$ f l-inital).
Ila kano bjouj, rah bijektiv.

💡 À retenir : La bijection est le pont parfait entre deux ensembles.

C'est quoi la différence entre une fonction et une application ?

En prépa, on utilise souvent le terme application pour souligner que l'ensemble de départ est défini totalement. Une fonction peut ne pas être définie sur tout l'ensemble de départ.

💡 À retenir : Une application est une fonction définie sur tout son ensemble de départ.

Chno hiya l-farq bin l-image directe o l-image réciproque ?

L'image directe $f(A)$ est l'ensemble des images des éléments de $A$ .
L'image réciproque $f^{-1}(B)$ est l'ensemble des éléments de $E$ dont l'image est dans $B$ .

💡 À retenir : $f(A) = \{f(x) / x \in A\}$ et $f^{-1}(B) = \{x \in E / f(x) \in B\}$ .

L'image directe $f(A)$ est l'ensemble des images des éléments de $A$.
L'image réciproque $f^{-1}(B)$ est l'ensemble des éléments de $E$ dont l'image est dans $B$.

💡 À retenir : $f(A) = {f(x) / x \in A}$ et $f^{-1}(B) = {x \in E / f(x) \in B}$.

Comment montrer que A subset B ?

Soit $x \in A$ .
Utilise les propriétés de $A$ pour montrer que $x$ vérifie aussi les propriétés de $B$ .
Conclus que $x \in B$ .

💡 À retenir : L'inclusion se prouve par un élément générique.

Soit $x \in A$.
Utilise les propriétés de $A$ pour montrer que $x$ vérifie aussi les propriétés de $B$.
Conclus que $x \in B$.

💡 À retenir : L'inclusion se prouve par un élément générique.

Kifach n-3ref wach l-application surjective bla ma n-7seb?

Tu peux regarder la courbe si c'est une fonction réelle : si toute droite horizontale coupe la courbe au moins une fois, elle est surjective. Sinon, résous $f(x)=y$ .

💡 À retenir : La surjectivité dépend de l'ensemble d'arrivée.

Tu peux regarder la courbe si c'est une fonction réelle : si toute droite horizontale coupe la courbe au moins une fois, elle est surjective. Sinon, résous $f(x)=y$.

💡 À retenir : La surjectivité dépend de l'ensemble d'arrivée.

Est-ce qu'une application injective est toujours bijective ?

Non. Par exemple, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$ est injective mais pas surjective (car $e^x$ ne peut pas être négatif).

💡 À retenir : Injectivité + Surjectivité = Bijection.

Non. Par exemple, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$ est injective mais pas surjective (car $e^x$ ne peut pas être négatif).

💡 À retenir : Injectivité + Surjectivité = Bijection.

Comment montrer que f(A cap B) = f(A) cap f(B) ?

Attention, c'est faux en général ! On a seulement $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ . L'égalité n'est vraie que si $f$ est injective.

💡 À retenir : Ne jamais supposer l'égalité sans injectivité.

Attention, c'est faux en général ! On a seulement $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$. L'égalité n'est vraie que si $f$ est injective.

💡 À retenir : Ne jamais supposer l'égalité sans injectivité.

Est-ce que le produit cartésien est commutatif ?

Non, $A \times B \neq B \times A$ en général, car les couples $(a, b)$ et $(b, a)$ sont différents.

💡 À retenir : L'ordre des ensembles dans le produit cartésien compte.

Non, $A \times B \neq B \times A$ en général, car les couples $(a, b)$ et $(b, a)$ sont différents.

💡 À retenir : L'ordre des ensembles dans le produit cartésien compte.

Comment montrer qu'une application n'est pas injective ?

Il suffit de trouver deux éléments distincts $x_1 \neq x_2$ tels que $f(x_1) = f(x_2)$ . C'est un contre-exemple.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider l'injectivité.

Il suffit de trouver deux éléments distincts $x_1 \neq x_2$ tels que $f(x_1) = f(x_2)$. C'est un contre-exemple.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider l'injectivité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\}$ définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ . Montrer que $f$ est une bijection et déterminer sa réciproque.

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus {1} \to \mathbb{R} \setminus {1}$ définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$. Montrer que $f$ est une bijection et déterminer sa réciproque.

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Exercice 2

Soient $A, B$ deux parties d'un ensemble $E$ . Montrer que $A \subset B \iff A \cup B = B$ .

Exercice 2

Soient $A, B$ deux parties d'un ensemble $E$. Montrer que $A \subset B \iff A \cup B = B$.

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Exercice 3

Soit $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux applications. Montrer que si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective.

Exercice 3

Soit $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux applications. Montrer que si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective.

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