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Applications linéaires et matrices

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Définition : $f: E \to F$ est linéaire si $\forall (u,v) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{K}, f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$ .
Noyau et Image : $\ker(f) = \{u \in E / f(u) = 0_F\}$ et $\text{Im}(f) = \{f(u) / u \in E\}$ .
Théorème du rang : Si $E$ est de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ .
Matrice : La matrice $M$ de $f$ dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ est formée par les coordonnées des images des vecteurs de $\mathcal{B}$ dans la base $\mathcal{B}'$ .

Méthodes à maîtriser

Montrer qu'une application est linéaire : Vérifier $f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$ .
Déterminer $\ker(f)$ : Résoudre le système $f(x,y,z) = (0,0,0)$ .
Calculer une matrice : Placer les images des vecteurs de la base en colonnes.
Inverser une matrice : Utiliser la méthode de Gauss-Jordan ou le pivot.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x,y) = (x+y, 2x)$ . $\ker(f) = \{(0,0)\}$ car $x+y=0$ et $2x=0 \implies x=0, y=0$ . $f$ est injective.
Exemple 2 : Matrice de $f(x,y) = (x+y, x-y)$ dans la base canonique : $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $f(0_E) = 0_F$ est une condition nécessaire mais pas suffisante.
Inverser les colonnes et les lignes lors de l'écriture d'une matrice.
Confondre la dimension de l'espace de départ et celle de l'espace d'arrivée dans le théorème du rang.

L'essentiel du cours

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

Définition : $f: E \to F$ est linéaire si $\forall (u,v) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{K}, f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$.
Noyau et Image : $\ker(f) = {u \in E / f(u) = 0_F}$ et $\text{Im}(f) = {f(u) / u \in E}$.
Théorème du rang : Si $E$ est de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$.
Matrice : La matrice $M$ de $f$ dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ est formée par les coordonnées des images des vecteurs de $\mathcal{B}$ dans la base $\mathcal{B}'$.

Méthodes à maîtriser

Montrer qu'une application est linéaire : Vérifier $f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$.
Déterminer $\ker(f)$ : Résoudre le système $f(x,y,z) = (0,0,0)$.
Calculer une matrice : Placer les images des vecteurs de la base en colonnes.
Inverser une matrice : Utiliser la méthode de Gauss-Jordan ou le pivot.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x,y) = (x+y, 2x)$. $\ker(f) = {(0,0)}$ car $x+y=0$ et $2x=0 \implies x=0, y=0$. $f$ est injective.
Exemple 2 : Matrice de $f(x,y) = (x+y, x-y)$ dans la base canonique : $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $f(0_E) = 0_F$ est une condition nécessaire mais pas suffisante.
Inverser les colonnes et les lignes lors de l'écriture d'une matrice.
Confondre la dimension de l'espace de départ et celle de l'espace d'arrivée dans le théorème du rang.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Applications linéaires et matrices

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Si $f$ est une application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ et $\dim(\ker(f)) = 0$ , alors :

Si $f$ est une application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ et $\dim(\ker(f)) = 0$, alors :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que f(x,y) = (x+1, y) est linéaire ?

Non. Pour qu'une application soit linéaire, il faut que $f(0,0) = (0,0)$ . Ici, $f(0,0) = (1,0) \neq (0,0)$ .

💡 À retenir : Toute application linéaire doit transformer le vecteur nul en vecteur nul.

Non. Pour qu'une application soit linéaire, il faut que $f(0,0) = (0,0)$. Ici, $f(0,0) = (1,0) \neq (0,0)$.

💡 À retenir : Toute application linéaire doit transformer le vecteur nul en vecteur nul.

Kifach n-3ref wach l-matrice inversible wla la ?

Khas l-matrice t-koun carrée (n lignes, n colonnes).
Khas l-déterminant dyalha y-koun mkhaleuf 3la 0.
Ila kan l-déterminant = 0, l-matrice ma-inversiblech.

💡 À retenir : $A$ est inversible $\iff \det(A) \neq 0$ .

Khas l-matrice t-koun carrée (n lignes, n colonnes).
Khas l-déterminant dyalha y-koun mkhaleuf 3la 0.
Ila kan l-déterminant = 0, l-matrice ma-inversiblech.

💡 À retenir : $A$ est inversible $\iff \det(A) \neq 0$.

C'est quoi la différence entre ker(f) et text{Im}(f) ?

$\ker(f)$ (Noyau) : Ce sont les vecteurs de l'espace de départ qui sont "écrasés" par $f$ vers le vecteur nul.
$\text{Im}(f)$ (Image) : Ce sont tous les vecteurs de l'espace d'arrivée qui sont atteints par $f$ .

💡 À retenir : $\ker(f) \subset E$ et $\text{Im}(f) \subset F$ .

$\ker(f)$ (Noyau) : Ce sont les vecteurs de l'espace de départ qui sont "écrasés" par $f$ vers le vecteur nul.
$\text{Im}(f)$ (Image) : Ce sont tous les vecteurs de l'espace d'arrivée qui sont atteints par $f$.

💡 À retenir : $\ker(f) \subset E$ et $\text{Im}(f) \subset F$.

Chno hiya l-base canonique ?

Hiya l-base li kat-koun m-kouna mn l-mouatjihat li fihom ghir 1 f-blassa whda o 0 f-l-b9iya. Exemple f- $\mathbb{R}^2$ : $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$ .

💡 À retenir : C'est la base la plus simple pour écrire une matrice.

Hiya l-base li kat-koun m-kouna mn l-mouatjihat li fihom ghir 1 f-blassa whda o 0 f-l-b9iya. Exemple f- $\mathbb{R}^2$ : $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$.

💡 À retenir : C'est la base la plus simple pour écrire une matrice.

Comment calculer A^n pour une matrice A ?

Calculer $A^2, A^3$ pour trouver une récurrence.
Ou bien utiliser la diagonalisation (si au programme, à vérifier par le professeur).
Ou utiliser la formule du binôme si $A = D + N$ avec $DN=ND$ .

💡 À retenir : La récurrence est souvent la méthode la plus sûre.

Calculer $A^2, A^3$ pour trouver une récurrence.
Ou bien utiliser la diagonalisation (si au programme, à vérifier par le professeur).
Ou utiliser la formule du binôme si $A = D + N$ avec $DN=ND$.

💡 À retenir : La récurrence est souvent la méthode la plus sûre.

Kifach n-l9a l-matrice dyal t-tbiq f-chi base khra ?

Khasak t-ktab s-souar dyal l-mouatjihat dyal l-base jdida.
T-ktabhom f-chkel a3mida (colonnes) f-l-matrice.
L-matrice li kat-l9a hiya l-matrice dyal $f$ f-hadik l-base.

💡 À retenir : Chaque colonne est l'image d'un vecteur de la base.

Khasak t-ktab s-souar dyal l-mouatjihat dyal l-base jdida.
T-ktabhom f-chkel a3mida (colonnes) f-l-matrice.
L-matrice li kat-l9a hiya l-matrice dyal $f$ f-hadik l-base.

💡 À retenir : Chaque colonne est l'image d'un vecteur de la base.

Le théorème du rang est-il toujours vrai ?

Oui, à condition que l'espace de départ soit de dimension finie. Si la dimension est infinie, le théorème ne s'applique pas tel quel.

💡 À retenir : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ .

Oui, à condition que l'espace de départ soit de dimension finie. Si la dimension est infinie, le théorème ne s'applique pas tel quel.

💡 À retenir : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$.

Est-ce que la composée de deux applications linéaires est linéaire ?

Oui, si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ sont linéaires, alors $g \circ f$ est linéaire. La matrice de $g \circ f$ est le produit des matrices $M_g \times M_f$ .

💡 À retenir : La composition correspond à la multiplication matricielle.

Oui, si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ sont linéaires, alors $g \circ f$ est linéaire. La matrice de $g \circ f$ est le produit des matrices $M_g \times M_f$.

💡 À retenir : La composition correspond à la multiplication matricielle.

Est-ce que f(x,y) = (x^2, y) est linéaire ?

Non, car $f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda^2 x^2, \lambda y) \neq \lambda f(x,y) = (\lambda x^2, \lambda y)$ .

💡 À retenir : La linéarité interdit les puissances supérieures à 1.

Non, car $f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda^2 x^2, \lambda y) \neq \lambda f(x,y) = (\lambda x^2, \lambda y)$.

💡 À retenir : La linéarité interdit les puissances supérieures à 1.

Chno hiya l-matrice transposée ?

Hiya l-matrice li kan-rdou fiha s-soutour (lignes) a3mida (colonnes). Si $A = (a_{ij})$ , alors $A^T = (a_{ji})$ .

💡 À retenir : La première ligne devient la première colonne.

Hiya l-matrice li kan-rdou fiha s-soutour (lignes) a3mida (colonnes). Si $A = (a_{ij})$, alors $A^T = (a_{ji})$.

💡 À retenir : La première ligne devient la première colonne.

Comment montrer qu'une famille de vecteurs est une base ?

Montrer qu'ils sont libres (indépendants).
Montrer que leur nombre est égal à la dimension de l'espace.
Ou montrer que la matrice formée par ces vecteurs est inversible.

💡 À retenir : Libre + dimension = Base.

Pourquoi on dit que l'application est "linéaire" ?

Parce que son graphe (dans le cas simple) est une droite passant par l'origine, et qu'elle respecte la linéarité (proportionnalité).

💡 À retenir : Elle préserve la structure d'espace vectoriel.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y,z) = (x+y, y+z)$ .

Montrer que $f$ est une application linéaire.
Déterminer la matrice de $f$ dans les bases canoniques.
Déterminer $\ker(f)$ et sa dimension.

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y,z) = (x+y, y+z)$.

Montrer que $f$ est une application linéaire.
Déterminer la matrice de $f$ dans les bases canoniques.
Déterminer $\ker(f)$ et sa dimension.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

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Exercice 3

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ tel que $f(x,y,z) = (x+z, y+z, x+y)$ .

Déterminer la matrice $M$ de $f$ dans la base canonique.
Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Exercice 3

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ tel que $f(x,y,z) = (x+z, y+z, x+y)$.

Déterminer la matrice $M$ de $f$ dans la base canonique.
Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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