Mathématiques · Prépa concours post-bac — Écoles militaires & royales

Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Équation du 1er ordre ( $y' = ay + b$ ) : La solution générale est $y(x) = ke^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$ ).
Équation du 2nd ordre ( $ay'' + by' + cy = 0$ ) : On résout l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ $a r^{2} + b r + c = 0$ de discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
- Si $\Delta > 0$ : $y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$ .
- Si $\Delta = 0$ : $y(x) = (\alpha x + \beta) e^{rx}$ .
- Si $\Delta < 0$ : $y(x) = (\alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)) e^{px}$ avec $r = p \pm i\omega$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre de l'équation.
Savoir passer de l'équation différentielle à l'équation caractéristique.
Utiliser les conditions initiales ( $y(x_0) = y_0$ ) pour déterminer les constantes $\alpha$ et $\beta$ .

Exemples corrigés

$y' - 3y = 0$ : $a=3$ , donc $y(x) = ke^{3x}$ .
$y'' - 3y' + 2y = 0$ : Éq. car. $r^2 - 3r + 2 = 0$ . $\Delta = 1$ . Racines $r_1=1, r_2=2$ . Solution : $y(x) = \alpha e^x + \beta e^{2x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $k$ ou $\alpha, \beta$ .
Se tromper de signe dans l'équation caractéristique.
Confondre les formules selon le signe de $\Delta$ .

L'essentiel du cours

Équation du 1er ordre ($y' = ay + b$) : La solution générale est $y(x) = ke^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$).
Équation du 2nd ordre ($ay'' + by' + cy = 0$) : On résout l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ de discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta > 0$ : $y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$.
- Si $\Delta = 0$ : $y(x) = (\alpha x + \beta) e^{rx}$.
- Si $\Delta < 0$ : $y(x) = (\alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)) e^{px}$ avec $r = p \pm i\omega$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre de l'équation.
Savoir passer de l'équation différentielle à l'équation caractéristique.
Utiliser les conditions initiales ($y(x_0) = y_0$) pour déterminer les constantes $\alpha$ et $\beta$.

Exemples corrigés

$y' - 3y = 0$ : $a=3$, donc $y(x) = ke^{3x}$.
$y'' - 3y' + 2y = 0$ : Éq. car. $r^2 - 3r + 2 = 0$. $\Delta = 1$. Racines $r_1=1, r_2=2$. Solution : $y(x) = \alpha e^x + \beta e^{2x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $k$ ou $\alpha, \beta$.
Se tromper de signe dans l'équation caractéristique.
Confondre les formules selon le signe de $\Delta$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Équations différentielles

1/4

Quelle est la solution de $y' + 2y = 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'on peut résoudre y'' + y = 0 avec Delta < 0 ?

Oui, absolument. Ici $a=1, b=0, c=1$ . L'équation caractéristique est $r^2 + 1 = 0$ , donc $r^2 = -1$ . Les racines sont $i$ et $-i$ . On a $p=0$ et $\omega=1$ . La solution est $y(x) = \alpha \cos(x) + \beta \sin(x)$ .

💡 À retenir : Quand $\Delta < 0$ , les solutions font toujours intervenir des fonctions trigonométriques.

Oui, absolument. Ici $a=1, b=0, c=1$. L'équation caractéristique est $r^2 + 1 = 0$, donc $r^2 = -1$. Les racines sont $i$ et $-i$. On a $p=0$ et $\omega=1$. La solution est $y(x) = \alpha \cos(x) + \beta \sin(x)$.

💡 À retenir : Quand $\Delta < 0$, les solutions font toujours intervenir des fonctions trigonométriques.

Kifach n3ref wach l'équation homogène wla la ?

Sahl bzaf, chouf ttarf tanni dyal lmo3adala. Ila kan = 0, rah homogène. Ila kan chi 3adad aw dawla (bhal $x$ aw $e^x$ ), rah machi homogène.

💡 À retenir : Homogène = égale à zéro.

Sahl bzaf, chouf ttarf tanni dyal lmo3adala. Ila kan = 0, rah homogène. Ila kan chi 3adad aw dawla (bhal $x$ aw $e^x$), rah machi homogène.

💡 À retenir : Homogène = égale à zéro.

Est-ce que la solution est toujours unique ?

La solution générale contient des constantes arbitraires. Elle devient unique seulement si on impose des conditions initiales, comme $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$ .

💡 À retenir : Sans conditions initiales, il y a une infinité de solutions.

La solution générale contient des constantes arbitraires. Elle devient unique seulement si on impose des conditions initiales, comme $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$.

💡 À retenir : Sans conditions initiales, il y a une infinité de solutions.

Chno hiya l'équation caractéristique dyal y'' + 5y' = 0 ?

L'équation caractéristique est $r^2 + 5r = 0$ . On factorise par $r$ : $r(r+5) = 0$ . Donc $r_1 = 0$ et $r_2 = -5$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier le terme $r$ quand il n'y a pas de constante $c$ .

L'équation caractéristique est $r^2 + 5r = 0$. On factorise par $r$ : $r(r+5) = 0$. Donc $r_1 = 0$ et $r_2 = -5$.

💡 À retenir : Ne pas oublier le terme $r$ quand il n'y a pas de constante $c$.

Comment déterminer alpha et beta avec y(0)=1 et y'(0)=2 ?

Tu écris la solution générale $y(x)$ .
Tu calcules sa dérivée $y'(x)$ .
Tu remplaces $x$ par 0 dans les deux expressions.
Tu résous le système de deux équations à deux inconnues.

💡 À retenir : Le système est toujours linéaire.

Tu écris la solution générale $y(x)$.
Tu calcules sa dérivée $y'(x)$.
Tu remplaces $x$ par 0 dans les deux expressions.
Tu résous le système de deux équations à deux inconnues.

💡 À retenir : Le système est toujours linéaire.

Wach momkin nkhdem b Delta f l'équation dyal l'ordre 1 ?

La, $\Delta$ kankhdemou bih ghir f l'équation dyal l'ordre 2 ( $y''$ ). L'ordre 1 kankhdemou b l'intégrale dyal ddawla.

💡 À retenir : $\Delta$ est réservé au second degré.

La, $\Delta$ kankhdemou bih ghir f l'équation dyal l'ordre 2 ($y''$). L'ordre 1 kankhdemou b l'intégrale dyal ddawla.

💡 À retenir : $\Delta$ est réservé au second degré.

Quelle est la différence entre y' et y'' ?

$y'$ est la dérivée première (vitesse de variation), $y''$ est la dérivée seconde (accélération). L'ordre de l'équation dépend de la plus haute dérivée présente.

💡 À retenir : L'ordre = puissance de dérivation.

$y'$ est la dérivée première (vitesse de variation), $y''$ est la dérivée seconde (accélération). L'ordre de l'équation dépend de la plus haute dérivée présente.

💡 À retenir : L'ordre = puissance de dérivation.

Est-ce que y = e^{2x} est solution de y' - 2y = 0 ?

Oui. $y' = 2e^{2x}$ . Donc $y' - 2y = 2e^{2x} - 2(e^{2x}) = 0$ . C'est bien une solution.

💡 À retenir : Pour vérifier, dérive et remplace dans l'équation.

Oui. $y' = 2e^{2x}$. Donc $y' - 2y = 2e^{2x} - 2(e^{2x}) = 0$. C'est bien une solution.

💡 À retenir : Pour vérifier, dérive et remplace dans l'équation.

Pourquoi on met e^{px} dans le cas Delta < 0 ?

Parce que les racines sont complexes $p \pm i\omega$ . La partie réelle $p$ donne l'exponentielle, et la partie imaginaire $\omega$ donne le cosinus et le sinus.

💡 À retenir : $r = p + i\omega \implies y = e^{px}(\dots)$ .

Parce que les racines sont complexes $p \pm i\omega$. La partie réelle $p$ donne l'exponentielle, et la partie imaginaire $\omega$ donne le cosinus et le sinus.

💡 À retenir : $r = p + i\omega \implies y = e^{px}(\dots)$.

Est-ce que y'' + y^2 = 0 est une équation linéaire ?

Non, car il y a $y^2$ . Une équation linéaire ne doit pas avoir de puissance sur $y$ ou ses dérivées.

💡 À retenir : Linéaire = pas de $y^2, y^3, \sqrt{y}, \dots$

Non, car il y a $y^2$. Une équation linéaire ne doit pas avoir de puissance sur $y$ ou ses dérivées.

💡 À retenir : Linéaire = pas de $y^2, y^3, \sqrt{y}, \dots$

Comment on fait si Delta = 0 ?

Si $\Delta = 0$ , il y a une racine double $r$ . La solution est $y(x) = (\alpha x + \beta)e^{rx}$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier le $x$ devant le $\alpha$ dans ce cas précis.

Si $\Delta = 0$, il y a une racine double $r$. La solution est $y(x) = (\alpha x + \beta)e^{rx}$.

💡 À retenir : Ne pas oublier le $x$ devant le $\alpha$ dans ce cas précis.

Est-ce que y = 5 est une solution de y' + 3y = 15 ?

Oui, car $y' = 0$ (dérivée d'une constante). Donc $0 + 3(5) = 15$ . C'est une solution particulière.

💡 À retenir : Une constante peut être solution si elle annule l'équation.

Oui, car $y' = 0$ (dérivée d'une constante). Donc $0 + 3(5) = 15$. C'est une solution particulière.

💡 À retenir : Une constante peut être solution si elle annule l'équation.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle : $y' - 4y = 0$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle : $y' - 4y = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre $y'' - 5y' + 6y = 0$ avec $y(0)=0$ et $y'(0)=1$ .

Exercice 2

Résoudre $y'' - 5y' + 6y = 0$ avec $y(0)=0$ et $y'(0)=1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Résoudre $y'' + 4y' + 4y = 0$ .

Exercice 3

Résoudre $y'' + 4y' + 4y = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Logique et raisonnements Ensembles et applications Calcul algébrique et nombres complexes Arithmétique dans Z Polynômes et fractions rationnelles Espaces vectoriels Applications linéaires et matrices Déterminants et systèmes linéaires Limites, continuité et dérivabilité Étude des fonctions usuelles Suites numériques Développements limités Calcul intégral et primitives Géométrie analytique dans l'espace Dénombrement et probabilités Variables aléatoires