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Calcul intégral et primitives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une fonction $f$ admet une primitive $F$ sur $I$ si $F'=f$ .
Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g) dx = \alpha \int_a^b f dx + \beta \int_a^b g dx$ .
Chasles : $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ .
Changement de variable : Poser $x = \phi(t)$ , donc $dx = \phi'(t) dt$ . Ne pas oublier de changer les bornes.
Calcul d'aire : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$ (en unité d'aire).

Exemples corrigés

$\int_0^1 x e^x dx$ : On pose $u=x, v'=e^x \implies u'=1, v=e^x$ . $\int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e-1) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la primitive de $f(x)g(x)$ avec $F(x)G(x)$ (c'est faux !).
Oublier la constante $c$ dans les primitives indéfinies.

L'essentiel du cours

Une fonction $f$ admet une primitive $F$ sur $I$ si $F'=f$.
Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g) dx = \alpha \int_a^b f dx + \beta \int_a^b g dx$.
Chasles : $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$.
Changement de variable : Poser $x = \phi(t)$, donc $dx = \phi'(t) dt$. Ne pas oublier de changer les bornes.
Calcul d'aire : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$ (en unité d'aire).

Exemples corrigés

$\int_0^1 x e^x dx$ : On pose $u=x, v'=e^x \implies u'=1, v=e^x$. $\int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e-1) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la primitive de $f(x)g(x)$ avec $F(x)G(x)$ (c'est faux !).
Oublier la constante $c$ dans les primitives indéfinies.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Calcul intégral et primitives

1/4

Quelle est la primitive de $f(x) = e^{2x}$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l-intégral ila kan 3ndi jda2 dyal dalatayn bhal x ln(x) ?

F had l-hala, kankhtaro l-moukammala bi-l-ajza2 (Intégration par parties).
Kankhtaro $u(x) = \ln(x)$ (li kankhdo liha l-mouchtaqa) o $v'(x) = x$ (li kankhdo liha d-dala l-asliya).
Kankhdo $u'(x) = 1/x$ o $v(x) = x^2/2$ .
Kanطبقو l-qaiida: $\int u v' = uv - \int u' v$ .

💡 À retenir : Dima khtari $u$ hiya d-dala li katbset mli kanchqiqoha (bhal $\ln$ aw $x^n$ ).

F had l-hala, kankhtaro l-moukammala bi-l-ajza2 (Intégration par parties).
Kankhtaro $u(x) = \ln(x)$ (li kankhdo liha l-mouchtaqa) o $v'(x) = x$ (li kankhdo liha d-dala l-asliya).
Kankhdo $u'(x) = 1/x$ o $v(x) = x^2/2$.
Kanطبقو l-qaiida: $\int u v' = uv - \int u' v$.

💡 À retenir : Dima khtari $u$ hiya d-dala li katbset mli kanchqiqoha (bhal $\ln$ aw $x^n$).

Wach momkin nkhroj l-3adad mn l-intégral ?

Oui, hada mn l-khassiyat d-d-khataniya (linéarité). Ila kano 3ndek $\int_a^b \lambda f(x) dx$ , momkin tktbha $\lambda \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : L-3adad l-thabit kaykhrj, walakin l-mothaghayir $x$ la.

Oui, hada mn l-khassiyat d-d-khataniya (linéarité). Ila kano 3ndek $\int_a^b \lambda f(x) dx$, momkin tktbha $\lambda \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : L-3adad l-thabit kaykhrj, walakin l-mothaghayir $x$ la.

Chno hiya l-farq bin l-intégral l-mo7addad o l-ghayr mo7addad ?

L-intégral l-ghayr mo7addad kay3tik d-dala l-asliya $F(x) + c$ .
L-intégral l-mo7addad kay3tik 3adad 7aqiqi (valeur numérique) li kaymthl l-misa7a.

💡 À retenir : L-mo7addad 3ndo bornes, l-ghayr mo7addad 3ndo $c$ .

L-intégral l-ghayr mo7addad kay3tik d-dala l-asliya $F(x) + c$.
L-intégral l-mo7addad kay3tik 3adad 7aqiqi (valeur numérique) li kaymthl l-misa7a.

💡 À retenir : L-mo7addad 3ndo bornes, l-ghayr mo7addad 3ndo $c$.

Comment choisir u et v' dans une intégration par parties ?

Utilisez la règle mnémotechnique "LIAPES" (Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus). La fonction qui apparaît en premier dans cette liste est choisie comme $u$ .

💡 À retenir : $u$ est la fonction que l'on dérive, $v'$ celle que l'on intègre.

Comment calculer l'aire entre deux courbes f et g ?

Étudier le signe de $f(x) - g(x)$ sur l'intervalle $[a, b]$ .
L'aire est donnée par $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ .
Si $f \ge g$ , l'aire est $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$ .

💡 À retenir : L'aire est toujours positive.

Étudier le signe de $f(x) - g(x)$ sur l'intervalle $[a, b]$.
L'aire est donnée par $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.
Si $f \ge g$, l'aire est $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive.

Quelle est la primitive de frac{u'}{u} ?

La primitive est $\ln(|u(x)|) + c$ .

💡 À retenir : Vérifiez toujours que $u(x) \neq 0$ sur l'intervalle.

La primitive est $\ln(|u(x)|) + c$.

💡 À retenir : Vérifiez toujours que $u(x) \neq 0$ sur l'intervalle.

Comment intégrer cos^2(x) ?

Utilisez la linéarisation trigonométrique : $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ . Ensuite, intégrez chaque terme séparément.

💡 À retenir : On ne peut pas intégrer directement les puissances de cos/sin sans linéariser.

Utilisez la linéarisation trigonométrique : $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Ensuite, intégrez chaque terme séparément.

💡 À retenir : On ne peut pas intégrer directement les puissances de cos/sin sans linéariser.

Que faire si les bornes de l'intégrale sont inversées ?

Si vous avez $\int_b^a f(x) dx$ , cela équivaut à $-\int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : Inverser les bornes change le signe du résultat.

Si vous avez $\int_b^a f(x) dx$, cela équivaut à $-\int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : Inverser les bornes change le signe du résultat.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = inta^b f(x) dx times inta^b g(x) dx ?

Non, c'est une erreur classique. La multiplication ne respecte pas la linéarité de l'intégrale.

💡 À retenir : L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.

Comment calculer int0^1 frac{1}{x^2+1} dx ?

Il s'agit d'une primitive usuelle : la dérivée de $\arctan(x)$ est $\frac{1}{x^2+1}$ . Donc, le résultat est $[\arctan(x)]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ .

💡 À retenir : Apprenez par cœur les dérivées des fonctions circulaires réciproques.

Il s'agit d'une primitive usuelle : la dérivée de $\arctan(x)$ est $\frac{1}{x^2+1}$. Donc, le résultat est $[\arctan(x)]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

💡 À retenir : Apprenez par cœur les dérivées des fonctions circulaires réciproques.

Peut-on toujours calculer une primitive ?

Non. Certaines fonctions, comme $e^{-x^2}$ , n'ont pas de primitive exprimable à l'aide des fonctions usuelles (polynômes, exp, log, trig).

💡 À retenir : L'existence d'une primitive est garantie par la continuité, mais son expression n'est pas toujours simple.

Non. Certaines fonctions, comme $e^{-x^2}$, n'ont pas de primitive exprimable à l'aide des fonctions usuelles (polynômes, exp, log, trig).

💡 À retenir : L'existence d'une primitive est garantie par la continuité, mais son expression n'est pas toujours simple.

Quelle est la valeur moyenne d'une fonction f sur [a, b] ?

La valeur moyenne est définie par $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : C'est une moyenne pondérée sur l'intervalle.

La valeur moyenne est définie par $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : C'est une moyenne pondérée sur l'intervalle.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer $K = \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx$ .

Exercice 1

Calculer $K = \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^{\pi/2} x \cos(x) dx$ .

Exercice 2

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^{\pi/2} x \cos(x) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer $J = \int_1^e \frac{\ln(x)}{x} dx$ par changement de variable.

Exercice 3

Calculer $J = \int_1^e \frac{\ln(x)}{x} dx$ par changement de variable.

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