Mathématiques · Prépa concours post-bac — Écoles militaires & royales

Étude des fonctions usuelles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Fonctions logarithmes et exponentielles : $\ln(x)$ est définie sur $]0, +\infty[$ , $\ln(1)=0$ , $\ln(e)=1$ . $\exp(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$ , $\exp(0)=1$ .
Fonctions puissances : $x^\alpha = e^{\alpha \ln(x)}$ pour $x > 0$ .
Fonctions hyperboliques : $\text{ch}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ et $\text{sh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ .
Convexité : Une fonction est convexe si sa courbe est au-dessus de ses tangentes. Si $f'' \geq 0$ , alors $f$ est convexe.

Méthodes à maîtriser

Étude de fonction : Déterminer $D_f$ , limites aux bornes, dérivée $f'$ , tableau de variations, branches infinies.
Bijection : Pour montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ vers $J$ , il faut que $f$ soit continue et strictement monotone sur $I$ .
Calcul de $f^{-1}$ : Résoudre $f(x) = y$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Étudier la parité de $f(x) = \ln(x^2+1)$ . $f(-x) = \ln((-x)^2+1) = \ln(x^2+1) = f(x)$ , donc $f$ est paire.
Exemple 2 : Dérivée de $g(x) = x^x$ . $g(x) = e^{x \ln(x)}$ . $g'(x) = (1 + \ln(x))e^{x \ln(x)} = (1 + \ln(x))x^x$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a)+\ln(b)$ .
Oublier la condition de continuité et de stricte monotonie pour la bijection réciproque.

L'essentiel du cours

Fonctions logarithmes et exponentielles : $\ln(x)$ est définie sur $]0, +\infty[$, $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$. $\exp(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$, $\exp(0)=1$.
Fonctions puissances : $x^\alpha = e^{\alpha \ln(x)}$ pour $x > 0$.
Fonctions hyperboliques : $\text{ch}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ et $\text{sh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
Convexité : Une fonction est convexe si sa courbe est au-dessus de ses tangentes. Si $f'' \geq 0$, alors $f$ est convexe.

Méthodes à maîtriser

Étude de fonction : Déterminer $D_f$, limites aux bornes, dérivée $f'$, tableau de variations, branches infinies.
Bijection : Pour montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ vers $J$, il faut que $f$ soit continue et strictement monotone sur $I$.
Calcul de $f^{-1}$ : Résoudre $f(x) = y$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Étudier la parité de $f(x) = \ln(x^2+1)$. $f(-x) = \ln((-x)^2+1) = \ln(x^2+1) = f(x)$, donc $f$ est paire.
Exemple 2 : Dérivée de $g(x) = x^x$. $g(x) = e^{x \ln(x)}$. $g'(x) = (1 + \ln(x))e^{x \ln(x)} = (1 + \ln(x))x^x$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a)+\ln(b)$.
Oublier la condition de continuité et de stricte monotonie pour la bijection réciproque.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Étude des fonctions usuelles

1/4

Quel est le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{\ln(x)}$ ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi on dit que ln est la primitive de 1/x ?

Parce que la dérivée de $\ln(x)$ est $1/x$ pour tout $x > 0$ .

💡 À retenir : C'est la définition même de la fonction logarithme népérien.

Parce que la dérivée de $\ln(x)$ est $1/x$ pour tout $x > 0$.

💡 À retenir : C'est la définition même de la fonction logarithme népérien.

Comment trouver l'équation de la tangente au point a ?

L'équation est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

💡 À retenir : C'est l'approximation affine de la fonction au voisinage de $a$ .

L'équation est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

💡 À retenir : C'est l'approximation affine de la fonction au voisinage de $a$.

Comment savoir si une fonction admet une fonction réciproque ?

Vérifie que la fonction est continue sur l'intervalle $I$ .
Vérifie qu'elle est strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur $I$ .
Si ces deux conditions sont remplies, alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$ .

💡 À retenir : La stricte monotonie est indispensable pour garantir l'injectivité.

Vérifie que la fonction est continue sur l'intervalle $I$.
Vérifie qu'elle est strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur $I$.
Si ces deux conditions sont remplies, alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$.

💡 À retenir : La stricte monotonie est indispensable pour garantir l'injectivité.

Kifach n7seb l'asymptote oblique f l'infini ?

Calcule la limite $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$ ).
Calcule la limite $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = b$ .
La droite d'équation $y = ax + b$ est l'asymptote oblique.

💡 À retenir : Si $a=0$ , on cherche une asymptote horizontale ou une branche parabolique.

Calcule la limite $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$).
Calcule la limite $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = b$.
La droite d'équation $y = ax + b$ est l'asymptote oblique.

💡 À retenir : Si $a=0$, on cherche une asymptote horizontale ou une branche parabolique.

Est-ce que la fonction ln(x^2) est égale à 2ln(x) ?

Non, pas toujours. $\ln(x^2)$ est définie pour $x \in \mathbb{R}^*$ , alors que $2\ln(x)$ est définie pour $x > 0$ .

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ .

Non, pas toujours. $\ln(x^2)$ est définie pour $x \in \mathbb{R}^*$, alors que $2\ln(x)$ est définie pour $x > 0$.

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$.

Chno hiya l'relation bin f et f^{-1} f l'graphique ?

Les courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .

💡 À retenir : $M(x, y) \in \mathcal{C}_f \iff M'(y, x) \in \mathcal{C}_{f^{-1}}$ .

Les courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.

💡 À retenir : $M(x, y) \in \mathcal{C}f \iff M'(y, x) \in \mathcal{C}{f^{-1}}$.

Comment étudier la convexité d'une fonction ?

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$ .
Étudie le signe de $f''(x)$ .
Si $f''(x) \geq 0$ , $f$ est convexe. Si $f''(x) \leq 0$ , $f$ est concave.

💡 À retenir : Un point d'inflexion est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$.
Étudie le signe de $f''(x)$.
Si $f''(x) \geq 0$, $f$ est convexe. Si $f''(x) \leq 0$, $f$ est concave.

💡 À retenir : Un point d'inflexion est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Kifach n3ref wach l'fct pair wla impair ?

Vérifie que le domaine $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire. Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Vérifie que le domaine $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire. Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Quelle est la dérivée de ln(u(x)) ?

La dérivée est $\frac{u'(x)}{u(x)}$ , à condition que $u(x) > 0$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier la condition $u(x) > 0$ .

La dérivée est $\frac{u'(x)}{u(x)}$, à condition que $u(x) > 0$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier la condition $u(x) > 0$.

Comment déterminer les branches infinies ?

Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ , asymptote horizontale $y=L$ .
Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ et $\lim \frac{f(x)}{x} = 0$ , branche parabolique de direction $(Ox)$ .
Si $\lim \frac{f(x)}{x} = \infty$ , branche parabolique de direction $(Oy)$ .

💡 À retenir : Analyse toujours le comportement de $f(x)/x$ pour les cas indéterminés.

Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, asymptote horizontale $y=L$.
Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ et $\lim \frac{f(x)}{x} = 0$, branche parabolique de direction $(Ox)$.
Si $\lim \frac{f(x)}{x} = \infty$, branche parabolique de direction $(Oy)$.

💡 À retenir : Analyse toujours le comportement de $f(x)/x$ pour les cas indéterminés.

Est-ce que la fonction exponentielle est toujours positive ?

Oui, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $e^x > 0$ .

💡 À retenir : C'est une propriété fondamentale souvent utilisée pour résoudre des inéquations.

Oui, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$.

💡 À retenir : C'est une propriété fondamentale souvent utilisée pour résoudre des inéquations.

Peut-on dériver une fonction réciproque sans la connaître explicitement ?

Oui, en utilisant la formule : $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ où $y = f(x)$ .

💡 À retenir : Il faut que $f'(x) \neq 0$ .

Oui, en utilisant la formule : $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ où $y = f(x)$.

💡 À retenir : Il faut que $f'(x) \neq 0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x e^{-x}$ .

Étudier les variations de $f$ .
Déterminer les branches infinies.
Montrer que $f$ admet une restriction bijective sur $[1, +\infty[$ vers un intervalle $J$ à préciser.

Exercice 1

Soit $f(x) = x e^{-x}$.

Étudier les variations de $f$.
Déterminer les branches infinies.
Montrer que $f$ admet une restriction bijective sur $[1, +\infty[$ vers un intervalle $J$ à préciser.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ .