Physique · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Décroissance radioactive

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : La radioactivité est une transformation nucléaire spontanée d'un noyau instable (père) en un noyau plus stable (fils) avec émission d'une particule ( $\alpha, \beta^-, \beta^+$ ) et souvent d'un rayonnement $\gamma$ .
Loi de décroissance : Le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t$ est : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ .
Activité : $a(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda \cdot N(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda t}$ . Unité : Becquerel (Bq).
Demi-vie ( $t_{1/2}$ ) : C'est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents s'est désintégrée : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de $\lambda$ : Toujours convertir $t_{1/2}$ dans la même unité que $\lambda$ (souvent $s^{-1}$ ).
Utilisation de la calculatrice : Maîtriser la touche ln et exp pour les calculs exponentiels.
Lecture graphique : Savoir déterminer $t_{1/2}$ graphiquement en cherchant l'abscisse correspondant à $N_0/2$ ou $a_0/2$ .

Exemples corrigés

Exemple : Si $t_{1/2} = 10$ $t_{1/2} = 10$ ans, calculer $\lambda$ $λ$ .
- $\lambda = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0,0693 \text{ ans}^{-1}$ .
Exemple : Calculer le nombre de noyaux restants après $3 \cdot t_{1/2}$ $3 \cdot t_{1/2}$ .
- $N(3t_{1/2}) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 3 \cdot \frac{\ln 2}{\lambda}} = N_0 \cdot e^{-3 \ln 2} = N_0 \cdot (e^{\ln 2})^{-3} = N_0 \cdot 2^{-3} = \frac{N_0}{8}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités de temps (jours, années en secondes).
Confondre $N(t)$ (nombre de noyaux restants) et $N_d(t)$ (nombre de noyaux désintégrés). Rappel : $N_d(t) = N_0 - N(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ .
Utiliser une valeur approchée de $\ln(2)$ trop tôt dans le calcul.

L'essentiel du cours

Définition : La radioactivité est une transformation nucléaire spontanée d'un noyau instable (père) en un noyau plus stable (fils) avec émission d'une particule ($\alpha, \beta^-, \beta^+$) et souvent d'un rayonnement $\gamma$.
Loi de décroissance : Le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t$ est : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$.
Activité : $a(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda \cdot N(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda t}$. Unité : Becquerel (Bq).
Demi-vie ($t_{1/2}$) : C'est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents s'est désintégrée : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de $\lambda$ : Toujours convertir $t_{1/2}$ dans la même unité que $\lambda$ (souvent $s^{-1}$).
Utilisation de la calculatrice : Maîtriser la touche ln et exp pour les calculs exponentiels.
Lecture graphique : Savoir déterminer $t_{1/2}$ graphiquement en cherchant l'abscisse correspondant à $N_0/2$ ou $a_0/2$.

Exemples corrigés

Exemple : Si $t_{1/2} = 10$ ans, calculer $\lambda$.
- $\lambda = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0,0693 \text{ ans}^{-1}$.
Exemple : Calculer le nombre de noyaux restants après $3 \cdot t_{1/2}$.
- $N(3t_{1/2}) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 3 \cdot \frac{\ln 2}{\lambda}} = N_0 \cdot e^{-3 \ln 2} = N_0 \cdot (e^{\ln 2})^{-3} = N_0 \cdot 2^{-3} = \frac{N_0}{8}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités de temps (jours, années en secondes).
Confondre $N(t)$ (nombre de noyaux restants) et $N_d(t)$ (nombre de noyaux désintégrés). Rappel : $N_d(t) = N_0 - N(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$.
Utiliser une valeur approchée de $\ln(2)$ trop tôt dans le calcul.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Décroissance radioactive

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L'unité de la constante radioactive $\lambda$ est :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un noyau radioactif ?

C'est un noyau instable qui, pour atteindre un état plus stable, subit une transformation nucléaire spontanée en émettant des rayonnements.

💡 À retenir : L'instabilité est due à un excès de protons ou de neutrons.

Comment savoir si une émission est beta^- ou beta^+ ?

$\beta^-$ : Excès de neutrons, un neutron se transforme en proton, émission d'un électron $^0_{-1}e$ .
$\beta^+$ : Excès de protons, un proton se transforme en neutron, émission d'un positron $^0_{+1}e$ .

💡 À retenir : Conservation du nombre de charge $Z$ et de masse $A$ .

$\beta^-$ : Excès de neutrons, un neutron se transforme en proton, émission d'un électron $^0_{-1}e$.
$\beta^+$ : Excès de protons, un proton se transforme en neutron, émission d'un positron $^0_{+1}e$.

💡 À retenir : Conservation du nombre de charge $Z$ et de masse $A$.

Kifach n7seb N(t) ila 3tani a(t) ?

On utilise la relation $a(t) = \lambda \cdot N(t)$ .
Donc $N(t) = \frac{a(t)}{\lambda}$ .

💡 À retenir : $\lambda$ doit être en $s^{-1}$ et $a(t)$ en Bq pour avoir $N(t)$ sans unité.

On utilise la relation $a(t) = \lambda \cdot N(t)$.
Donc $N(t) = \frac{a(t)}{\lambda}$.

💡 À retenir : $\lambda$ doit être en $s^{-1}$ et $a(t)$ en Bq pour avoir $N(t)$ sans unité.

Est-ce que la demi-vie dépend de la quantité de matière initiale ?

Non, la demi-vie est une caractéristique propre à chaque isotope radioactif. Elle est indépendante de la masse ou du nombre de noyaux initial.

💡 À retenir : $t_{1/2}$ est une constante physique.

Non, la demi-vie est une caractéristique propre à chaque isotope radioactif. Elle est indépendante de la masse ou du nombre de noyaux initial.

💡 À retenir : $t_{1/2}$ est une constante physique.

Wach l-activité katnqs b-nfs t-riqa b7al N(t) ?

Oui, car $a(t) = \lambda \cdot N(t)$ . Comme $\lambda$ est une constante, $a(t)$ est proportionnel à $N(t)$ , donc ils suivent la même loi exponentielle.

💡 À retenir : $a(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda t}$ .

Oui, car $a(t) = \lambda \cdot N(t)$. Comme $\lambda$ est une constante, $a(t)$ est proportionnel à $N(t)$, donc ils suivent la même loi exponentielle.

💡 À retenir : $a(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda t}$.

Quelle est la différence entre N et N0 ?

$N_0$ est le nombre de noyaux à l'instant $t=0$ (instant initial). $N(t)$ est le nombre de noyaux restants à un instant $t$ quelconque.

💡 À retenir : $N(t)$ est toujours inférieur ou égal à $N_0$ .

$N_0$ est le nombre de noyaux à l'instant $t=0$ (instant initial). $N(t)$ est le nombre de noyaux restants à un instant $t$ quelconque.

💡 À retenir : $N(t)$ est toujours inférieur ou égal à $N_0$.

Chno hiya l-3alaqa bin lambda o t{1/2} ?

La relation est $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$ .

💡 À retenir : Plus $t_{1/2}$ est grand, plus $\lambda$ est petit (désintégration lente).

La relation est $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$.

💡 À retenir : Plus $t_{1/2}$ est grand, plus $\lambda$ est petit (désintégration lente).

Le rayonnement gamma est-il une particule ?

Non, c'est une onde électromagnétique de très haute énergie qui accompagne souvent les émissions $\alpha$ ou $\beta$ .

💡 À retenir : Il n'y a pas de changement de $A$ ou $Z$ lors d'une émission $\gamma$ pure.

Non, c'est une onde électromagnétique de très haute énergie qui accompagne souvent les émissions $\alpha$ ou $\beta$.

💡 À retenir : Il n'y a pas de changement de $A$ ou $Z$ lors d'une émission $\gamma$ pure.

Comment calculer le nombre de noyaux désintégrés ?

Le nombre de noyaux désintégrés $N_d$ est la différence entre le nombre initial et le nombre restant : $N_d(t) = N_0 - N(t)$ .

💡 À retenir : $N_d(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ .

Le nombre de noyaux désintégrés $N_d$ est la différence entre le nombre initial et le nombre restant : $N_d(t) = N_0 - N(t)$.

💡 À retenir : $N_d(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$.

Est-ce que la température influence la radioactivité ?

Non, la radioactivité est un phénomène purement nucléaire, elle est insensible aux facteurs extérieurs comme la température ou la pression.

💡 À retenir : La radioactivité est spontanée et aléatoire.

Pourquoi on utilise ln(2) ?

On l'utilise car la loi de décroissance est une fonction exponentielle. Pour isoler $t$ dans $e^{-\lambda t} = 0,5$ , on applique le logarithme népérien.

💡 À retenir : $\ln(0,5) = -\ln(2)$ .

On l'utilise car la loi de décroissance est une fonction exponentielle. Pour isoler $t$ dans $e^{-\lambda t} = 0,5$, on applique le logarithme népérien.

💡 À retenir : $\ln(0,5) = -\ln(2)$.

Wach l-mou3adala d-t-ftt khasha tkon mtwazna ?

Oui, toujours. Il faut respecter les lois de Soddy : conservation du nombre de masse $A$ et du nombre de charge $Z$ .

💡 À retenir : $\sum A_{réactifs} = \sum A_{produits}$ et $\sum Z_{réactifs} = \sum Z_{produits}$ .

Oui, toujours. Il faut respecter les lois de Soddy : conservation du nombre de masse $A$ et du nombre de charge $Z$.

💡 À retenir : $\sum A_{réactifs} = \sum A_{produits}$ et $\sum Z_{réactifs} = \sum Z_{produits}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

On dispose d'un échantillon radioactif. À $t=0$ , $N_0 = 10^{20}$ noyaux. À $t=24$ h, il reste $2,5 \cdot 10^{19}$ noyaux. Déterminer la demi-vie $t_{1/2}$ .

Exercice 1

On dispose d'un échantillon radioactif. À $t=0$, $N_0 = 10^{20}$ noyaux. À $t=24$h, il reste $2,5 \cdot 10^{19}$ noyaux. Déterminer la demi-vie $t_{1/2}$.

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Exercice 2

Un échantillon de Cobalt 60 a une activité initiale $a_0 = 10^9$ Bq. Sa demi-vie est $t_{1/2} = 5,27$ ans. Calculer l'activité après 10 ans.

Exercice 2

Un échantillon de Cobalt 60 a une activité initiale $a_0 = 10^9$ Bq. Sa demi-vie est $t_{1/2} = 5,27$ ans. Calculer l'activité après 10 ans.

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Exercice 3

Un noyau de Thorium $^{230}_{90}Th$ se désintègre en émettant une particule $\alpha$ . Écrire l'équation de la réaction et identifier le noyau fils.

Exercice 3

Un noyau de Thorium $^{230}_{90}Th$ se désintègre en émettant une particule $\alpha$. Écrire l'équation de la réaction et identifier le noyau fils.

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