Physique · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Oscillations libres dans un circuit RLC série

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un circuit RLC série est composé d'un condensateur de capacité $C$ , d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , et d'un conducteur ohmique de résistance $R$ . L'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C$ est : $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R+r}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0$ L'énergie totale du circuit est $E_e + E_m = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$ . En présence de résistance, $E$ diminue au cours du temps : $\frac{dE}{dt} = -(R+r)i^2 < 0$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions $u_L + u_R + u_C = 0$ .
Déterminer la pseudo-période $T$ : Mesurer sur l'oscillogramme la distance entre deux maxima consécutifs.
Calculer l'énergie : Savoir calculer $E_e$ et $E_m$ à un instant $t$ donné.

Exemples corrigés

Exemple : Si $L=0,1$ H et $C=10$ µF, calculer $T_0$ (cas idéal $R=0$ ). $T_0 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6,28$ ms.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans l'équation différentielle.
Confondre la période propre $T_0$ avec la pseudo-période $T$ quand $R \neq 0$ .
Se tromper dans les unités (convertir les mH en H et µF en F est obligatoire).

L'essentiel du cours

Un circuit RLC série est composé d'un condensateur de capacité $C$, d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$, et d'un conducteur ohmique de résistance $R$. L'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C$ est : $$\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R+r}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0$$ L'énergie totale du circuit est $E_e + E_m = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$. En présence de résistance, $E$ diminue au cours du temps : $\frac{dE}{dt} = -(R+r)i^2 < 0$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions $u_L + u_R + u_C = 0$.
Déterminer la pseudo-période $T$ : Mesurer sur l'oscillogramme la distance entre deux maxima consécutifs.
Calculer l'énergie : Savoir calculer $E_e$ et $E_m$ à un instant $t$ donné.

Exemples corrigés

Exemple : Si $L=0,1$ H et $C=10$ µF, calculer $T_0$ (cas idéal $R=0$). $T_0 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6,28$ ms.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans l'équation différentielle.
Confondre la période propre $T_0$ avec la pseudo-période $T$ quand $R \neq 0$.
Se tromper dans les unités (convertir les mH en H et µF en F est obligatoire).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Oscillations libres dans un circuit RLC série

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Quelle est l'unité de la constante de temps $\tau$ dans un circuit RL ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la période propre T0 dépend de la résistance R ?

Non, la période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ne dépend que des caractéristiques du condensateur et de la bobine. La résistance $R$ influence seulement l'amortissement et la pseudo-période $T$ , mais pas la période propre.

💡 À retenir : $T_0$ est une caractéristique intrinsèque du circuit LC idéal.

Kifach n7seb l'energie totale f ay lahda ?

Pour calculer l'énergie totale $E(t)$ , tu dois sommer l'énergie électrique $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2$ et l'énergie magnétique $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ à cet instant précis.

Mesure $u_C$ sur le graphe.
Déduis $i$ si nécessaire ( $i = C \frac{du_C}{dt}$ ).
Fais la somme.

💡 À retenir : $E_{totale} = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$ .

Pour calculer l'énergie totale $E(t)$, tu dois sommer l'énergie électrique $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2$ et l'énergie magnétique $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ à cet instant précis.

Mesure $u_C$ sur le graphe.
Déduis $i$ si nécessaire ($i = C \frac{du_C}{dt}$).
Fais la somme.

💡 À retenir : $E_{totale} = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$.

Pourquoi l'amplitude des oscillations diminue-t-elle ?

L'amplitude diminue à cause de l'effet Joule. La résistance totale du circuit ( $R+r$ ) dissipe une partie de l'énergie sous forme de chaleur. Comme l'énergie totale diminue, l'amplitude maximale des oscillations diminue aussi.

💡 À retenir : La dissipation d'énergie est proportionnelle à $(R+r)i^2$ .

L'amplitude diminue à cause de l'effet Joule. La résistance totale du circuit ($R+r$) dissipe une partie de l'énergie sous forme de chaleur. Comme l'énergie totale diminue, l'amplitude maximale des oscillations diminue aussi.

💡 À retenir : La dissipation d'énergie est proportionnelle à $(R+r)i^2$.

Chno hiya l'farq bin régime pseudo-périodique o régime apériodique ?

Le régime pseudo-périodique apparaît quand la résistance est faible : on observe des oscillations qui s'amortissent. Le régime apériodique apparaît quand la résistance est très élevée : le condensateur se décharge sans aucune oscillation.

💡 À retenir : Le régime dépend de la valeur de la résistance totale.

Est-ce que T approx T0 si la résistance est faible ?

Oui, si la résistance est suffisamment faible, l'amortissement est négligeable et on peut considérer que la pseudo-période $T$ est pratiquement égale à la période propre $T_0$ .

💡 À retenir : $T \approx T_0$ quand $R+r \to 0$ .

Oui, si la résistance est suffisamment faible, l'amortissement est négligeable et on peut considérer que la pseudo-période $T$ est pratiquement égale à la période propre $T_0$.

💡 À retenir : $T \approx T_0$ quand $R+r \to 0$.

Wach l'energie totale katbqa taba f circuit RLC ?

Non, l'énergie totale n'est pas constante. Elle diminue au cours du temps car elle est transformée en chaleur par effet Joule au niveau de la résistance.

💡 À retenir : $\frac{dE}{dt} < 0$ dans un circuit RLC.

Non, l'énergie totale n'est pas constante. Elle diminue au cours du temps car elle est transformée en chaleur par effet Joule au niveau de la résistance.

💡 À retenir : $\frac{dE}{dt} < 0$ dans un circuit RLC.

Comment déterminer L à partir d'un graphe ?

Si tu connais $C$ et que tu mesures $T_0$ sur le graphe (en supposant $R$ faible), tu utilises la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ , donc $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2C}$ .

💡 À retenir : $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2C}$ .

Si tu connais $C$ et que tu mesures $T_0$ sur le graphe (en supposant $R$ faible), tu utilises la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$, donc $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2C}$.

💡 À retenir : $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2C}$.

Qu'est-ce qu'un régime critique ?

C'est la limite entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. C'est le retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation.

💡 À retenir : C'est le régime où le système ne dépasse pas la position d'équilibre.

Est-ce que le courant i est toujours en phase avec uC ?

Non, dans un circuit RLC, le courant $i$ et la tension $u_C$ sont déphasés. $i$ est lié à la dérivée de $u_C$ ( $i = C \frac{du_C}{dt}$ ).

💡 À retenir : $i$ est en quadrature de phase avec $u_C$ .

Non, dans un circuit RLC, le courant $i$ et la tension $u_C$ sont déphasés. $i$ est lié à la dérivée de $u_C$ ($i = C \frac{du_C}{dt}$).

💡 À retenir : $i$ est en quadrature de phase avec $u_C$.

Peut-on avoir des oscillations sans bobine ?

Non, la bobine est indispensable pour stocker l'énergie magnétique. Sans elle, le condensateur se décharge simplement dans la résistance sans créer d'oscillations.

💡 À retenir : La bobine est le siège de l'énergie magnétique.

Quelle est l'unité de l'inductance L ?

L'unité de l'inductance $L$ est le Henry, noté $H$ .

💡 À retenir : $1 H = 1 V.s.A^{-1}$ .

L'unité de l'inductance $L$ est le Henry, noté $H$.

💡 À retenir : $1 H = 1 V.s.A^{-1}$.

Pourquoi dit-on "oscillations libres" ?

On dit "libres" car une fois le condensateur chargé, on laisse le circuit évoluer seul sans apport d'énergie extérieure.

💡 À retenir : Aucun générateur extérieur n'est branché après la charge.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit un circuit RLC avec $L=0,5 H$ , $C=2 \mu F$ et $R=50 \Omega$ .

Le régime est-il pseudo-périodique ? Justifier.
Calculer la perte d'énergie entre $t=0$ et $t=T$ .

Exercice 1

Soit un circuit RLC avec $L=0,5 H$, $C=2 \mu F$ et $R=50 \Omega$.

Le régime est-il pseudo-périodique ? Justifier.
Calculer la perte d'énergie entre $t=0$ et $t=T$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un circuit RLC série comporte un condensateur de capacité $C=10 \mu F$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable, et un conducteur ohmique de résistance $R=0$ . Le condensateur est chargé sous une tension $E=6V$ . À $t=0$ , on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle.
Déterminer l'expression de $u_C(t)$ .
Calculer l'énergie totale du circuit.

Exercice 2

Un circuit RLC série comporte un condensateur de capacité $C=10 \mu F$, une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable, et un conducteur ohmique de résistance $R=0$. Le condensateur est chargé sous une tension $E=6V$. À $t=0$, on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle.
Déterminer l'expression de $u_C(t)$.
Calculer l'énergie totale du circuit.

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Exercice 3

On ajoute une résistance $R=10 \Omega$ au circuit précédent. La pseudo-période mesurée est $T=6,3$ ms.

Expliquer pourquoi $T$ est différent de $T_0$ .
Calculer la valeur de $L$ .

Exercice 3

On ajoute une résistance $R=10 \Omega$ au circuit précédent. La pseudo-période mesurée est $T=6,3$ ms.

Expliquer pourquoi $T$ est différent de $T_0$.
Calculer la valeur de $L$.

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