Mathématiques · 3ème Année Collège

الترتيب و المتراجحات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Comparaison : Pour comparer $a$ et $b$ , on étudie le signe de $a - b$ . Si $a - b > 0$ , alors $a > b$ .
Addition : Si $a \leq b$ , alors $a + c \leq b + c$ . L'ordre ne change pas.
Multiplication :
- Si $c > 0$ , alors $a \leq b \implies a \times c \leq b \times c$ .
- Si $c < 0$ , alors $a \leq b \implies a \times c \geq b \times c$ (le sens change).
Encadrement : Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ , alors $a+c \leq x+y \leq b+d$ .

Méthodes à maîtriser

Étudier le signe de la différence pour comparer deux nombres.
Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.
Encadrer une expression algébrique en respectant les priorités.
Représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée.

Exemples corrigés

Comparer $2\sqrt{3}$ et $3\sqrt{2}$ : $(2\sqrt{3})^2 = 12$ et $(3\sqrt{2})^2 = 18$ . Comme $12 < 18$ , alors $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$ .
Résoudre $2x - 5 \geq 3x + 1$ : $2x - 3x \geq 1 + 5 \implies -x \geq 6 \implies x \leq -6$ .

Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser le sens de l'inégalité lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.
Confondre "strictement supérieur" ( $>$ ) et "supérieur ou égal" ( $\geq$ ) lors de la représentation graphique (crochet ouvert ou fermé).

L'essentiel du cours

Comparaison : Pour comparer $a$ et $b$, on étudie le signe de $a - b$. Si $a - b > 0$, alors $a > b$.
Addition : Si $a \leq b$, alors $a + c \leq b + c$. L'ordre ne change pas.
Multiplication :
- Si $c > 0$, alors $a \leq b \implies a \times c \leq b \times c$.
- Si $c < 0$, alors $a \leq b \implies a \times c \geq b \times c$ (le sens change).
Encadrement : Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$, alors $a+c \leq x+y \leq b+d$.

Méthodes à maîtriser

Étudier le signe de la différence pour comparer deux nombres.
Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.
Encadrer une expression algébrique en respectant les priorités.
Représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée.

Exemples corrigés

Comparer $2\sqrt{3}$ et $3\sqrt{2}$ : $(2\sqrt{3})^2 = 12$ et $(3\sqrt{2})^2 = 18$. Comme $12 < 18$, alors $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.
Résoudre $2x - 5 \geq 3x + 1$ : $2x - 3x \geq 1 + 5 \implies -x \geq 6 \implies x \leq -6$.

Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser le sens de l'inégalité lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.
Confondre "strictement supérieur" ($>$) et "supérieur ou égal" ($\geq$) lors de la représentation graphique (crochet ouvert ou fermé).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 الترتيب و المتراجحات

1/4

Si $a < b$ , alors $a - 5$ est :

Si $a < b$, alors $a - 5$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach a kber men b wla sgher men b ?

Calcule la différence $a - b$ .
Si le résultat est positif ( $>0$ ), alors $a > b$ .
Si le résultat est négatif ( $<0$ ), alors $a < b$ .
Si le résultat est nul, alors $a = b$ .

💡 À retenir : Le signe de la différence est la clé de toute comparaison.

Calcule la différence $a - b$.
Si le résultat est positif ($>0$), alors $a > b$.
Si le résultat est négatif ($<0$), alors $a < b$.
Si le résultat est nul, alors $a = b$.

💡 À retenir : Le signe de la différence est la clé de toute comparaison.

Wach ila drebna f nafs l'3adad l'mo3adala katb9a hiya hiya ?

Si tu multiplies par un nombre positif, le sens de l'inégalité ne change pas.
Si tu multiplies par un nombre négatif, tu dois obligatoirement changer le sens de l'inégalité (ex: $<$ devient $>$ ).

💡 À retenir : Attention au signe du nombre multiplicateur !

Si tu multiplies par un nombre positif, le sens de l'inégalité ne change pas.
Si tu multiplies par un nombre négatif, tu dois obligatoirement changer le sens de l'inégalité (ex: $<$ devient $>$).

💡 À retenir : Attention au signe du nombre multiplicateur !

Chno hiya l'far9 bin x leq 3 et x < 3 ?

$x \leq 3$ signifie que $x$ peut être égal à 3 ou plus petit.
$x < 3$ signifie que $x$ est strictement plus petit que 3 (il ne peut jamais être égal à 3).

💡 À retenir : Le symbole $\leq$ inclut la valeur, le symbole $<$ l'exclut.

$x \leq 3$ signifie que $x$ peut être égal à 3 ou plus petit.
$x < 3$ signifie que $x$ est strictement plus petit que 3 (il ne peut jamais être égal à 3).

💡 À retenir : Le symbole $\leq$ inclut la valeur, le symbole $<$ l'exclut.

Comment comparer deux racines carrées ?

Si les nombres sont positifs, compare leurs carrés.
Si $a^2 > b^2$ , alors $a > b$ .

💡 À retenir : La fonction racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs.

Si les nombres sont positifs, compare leurs carrés.
Si $a^2 > b^2$, alors $a > b$.

💡 À retenir : La fonction racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs.

Comment encadrer x + y si on a 2 leq x leq 5 et 1 leq y leq 3 ?

Additionne les membres de gauche : $2 + 1 = 3$ .
Additionne les membres de droite : $5 + 3 = 8$ .
L'encadrement est $3 \leq x + y \leq 8$ .

💡 À retenir : On peut additionner les inégalités de même sens.

Additionne les membres de gauche : $2 + 1 = 3$.
Additionne les membres de droite : $5 + 3 = 8$.
L'encadrement est $3 \leq x + y \leq 8$.

💡 À retenir : On peut additionner les inégalités de même sens.

Comment encadrer -x si on a 2 leq x leq 5 ?

Multiplie tous les membres par $-1$ .
Inverse le sens des inégalités.
On obtient $-5 \leq -x \leq -2$ .

💡 À retenir : Multiplier par un nombre négatif inverse tout l'encadrement.

Multiplie tous les membres par $-1$.
Inverse le sens des inégalités.
On obtient $-5 \leq -x \leq -2$.

💡 À retenir : Multiplier par un nombre négatif inverse tout l'encadrement.

Comment encadrer x - y ?

On ne soustrait jamais directement.
Écris $x - y$ sous la forme $x + (-y)$ .
Encadre d'abord $-y$ , puis additionne avec l'encadrement de $x$ .

💡 À retenir : La soustraction se transforme toujours en addition d'un opposé.

On ne soustrait jamais directement.
Écris $x - y$ sous la forme $x + (-y)$.
Encadre d'abord $-y$, puis additionne avec l'encadrement de $x$.

💡 À retenir : La soustraction se transforme toujours en addition d'un opposé.

Est-ce que l'ordre change si on ajoute un nombre négatif ?

Non, l'addition ou la soustraction d'un nombre (positif ou négatif) ne change jamais le sens de l'inégalité.

💡 À retenir : Seule la multiplication/division par un nombre négatif change le sens.

Comment représenter graphiquement x geq -2 ?

Trace une droite graduée.
Place le point $-2$ .
Hachure la partie à droite de $-2$ .
Utilise un crochet tourné vers la partie hachurée en $-2$ .

💡 À retenir : Le crochet est fermé car l'inégalité est large ( $\geq$ ).

Trace une droite graduée.
Place le point $-2$.
Hachure la partie à droite de $-2$.
Utilise un crochet tourné vers la partie hachurée en $-2$.

💡 À retenir : Le crochet est fermé car l'inégalité est large ($\geq$).

Comment encadrer x^2 si -3 leq x leq 2 ?

Si l'intervalle contient 0, le carré est compris entre 0 et le maximum des carrés des bornes.
Ici, $(-3)^2 = 9$ et $2^2 = 4$ .
Donc $0 \leq x^2 \leq 9$ .

💡 À retenir : Attention aux nombres négatifs lors de l'élévation au carré.

Si l'intervalle contient 0, le carré est compris entre 0 et le maximum des carrés des bornes.
Ici, $(-3)^2 = 9$ et $2^2 = 4$.
Donc $0 \leq x^2 \leq 9$.

💡 À retenir : Attention aux nombres négatifs lors de l'élévation au carré.

Peut-on multiplier deux encadrements ?

Oui, à condition que tous les nombres soient positifs.
Si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$ , alors $ac \leq xy \leq bd$ .

💡 À retenir : Si les nombres sont négatifs, il faut d'abord les rendre positifs.

Oui, à condition que tous les nombres soient positifs.
Si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$, alors $ac \leq xy \leq bd$.

💡 À retenir : Si les nombres sont négatifs, il faut d'abord les rendre positifs.

Pourquoi on dit "inéquation du premier degré" ?

Parce que l'inconnue $x$ est à la puissance 1 (elle n'est pas au carré ou plus).

💡 À retenir : C'est la forme la plus simple d'inégalité à résoudre.

Parce que l'inconnue $x$ est à la puissance 1 (elle n'est pas au carré ou plus).

💡 À retenir : C'est la forme la plus simple d'inégalité à résoudre.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre l'inéquation suivante : $3(x - 2) \leq 5x + 4$ .

Exercice 1

Résoudre l'inéquation suivante : $3(x - 2) \leq 5x + 4$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $2 \leq a \leq 3$ et $-4 \leq b \leq -1$ . Encadrer $a - b$ .

Exercice 2

Soit $2 \leq a \leq 3$ et $-4 \leq b \leq -1$. Encadrer $a - b$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Comparer $A = \sqrt{7} + \sqrt{5}$ et $B = \sqrt{12 + 2\sqrt{35}}$ .

Exercice 3

Comparer $A = \sqrt{7} + \sqrt{5}$ et $B = \sqrt{12 + 2\sqrt{35}}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

الحساب العددي : المتطابقات الهامة الحساب العددي : القوى الحساب العددي : الجذور المربعة مبرهنة فيتاغورس السنة الثالثة اعدادي مبرهنة طاليس المعادلات مادة الرياضيات السنة الثالثة اعدادي الزوايا المركزية و الزوايا المحيطية في الدائرة المثلثات المتشابهة المتجهات والإزاحة مادة الرياضيات السنة الثالثة اعدادي نظمات معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين معلم في المستوى معادلة مستقيم حساب المثلثات الهندسة الفضائية الإحصاء