Mathématiques · 3ème Année Collège

المتجهات والإزاحة مادة الرياضيات السنة الثالثة اعدادي

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Un vecteur $\vec{AB}$ est défini par sa direction (droite (AB)), son sens (de A vers B) et sa norme (distance AB).
Égalité : $\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que ABDC est un parallélogramme (ou A, B, D, C alignés dans un cas particulier).
Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ .
Somme : $\vec{u} + \vec{v}$ se construit avec la règle du parallélogramme.
Translation : L'image d'un point M par la translation qui transforme A en B est le point M' tel que $\vec{MM'} = \vec{AB}$ .

Méthodes à maîtriser

Construire la somme de deux vecteurs.
Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant les vecteurs.
Utiliser la relation de Chasles pour simplifier des expressions vectorielles.
Déterminer l'image d'un point par une translation.

Exemples corrigés

Simplification : Simplifier $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$ (Chasles).
Parallélogramme : Si $\vec{AB} = \vec{DC}$ , alors ABCD est un parallélogramme.

Erreurs fréquentes

Confondre la direction (droite) et le sens (flèche).
Oublier que $\vec{AB} = -\vec{BA}$ .
Mal appliquer Chasles : $\vec{AB} + \vec{AC}$ n'est pas $\vec{BC}$ .

L'essentiel du cours

Définition : Un vecteur $\vec{AB}$ est défini par sa direction (droite (AB)), son sens (de A vers B) et sa norme (distance AB).
Égalité : $\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que ABDC est un parallélogramme (ou A, B, D, C alignés dans un cas particulier).
Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Somme : $\vec{u} + \vec{v}$ se construit avec la règle du parallélogramme.
Translation : L'image d'un point M par la translation qui transforme A en B est le point M' tel que $\vec{MM'} = \vec{AB}$.

Méthodes à maîtriser

Construire la somme de deux vecteurs.
Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant les vecteurs.
Utiliser la relation de Chasles pour simplifier des expressions vectorielles.
Déterminer l'image d'un point par une translation.

Exemples corrigés

Simplification : Simplifier $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$ (Chasles).
Parallélogramme : Si $\vec{AB} = \vec{DC}$, alors ABCD est un parallélogramme.

Erreurs fréquentes

Confondre la direction (droite) et le sens (flèche).
Oublier que $\vec{AB} = -\vec{BA}$.
Mal appliquer Chasles : $\vec{AB} + \vec{AC}$ n'est pas $\vec{BC}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 المتجهات والإزاحة مادة الرياضيات السنة الثالثة اعدادي

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La relation de Chasles est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre la distance AB et le vecteur AB ?

La distance AB est un nombre positif (une longueur).
Le vecteur $\vec{AB}$ est un objet géométrique qui possède trois caractéristiques : une direction, un sens et une norme (qui est égale à la distance AB).

💡 À retenir : La distance est une mesure, le vecteur est un déplacement.

La distance AB est un nombre positif (une longueur).
Le vecteur $\vec{AB}$ est un objet géométrique qui possède trois caractéristiques : une direction, un sens et une norme (qui est égale à la distance AB).

💡 À retenir : La distance est une mesure, le vecteur est un déplacement.

Kifach n3ref wach vec{AB} = vec{CD} ?

Vérifie si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
Si c'est le cas, alors les vecteurs sont égaux.
Ils doivent avoir la même direction, le même sens et la même longueur.

💡 À retenir : $\vec{AB} = \vec{CD}$ équivaut à dire que [AD] et [BC] ont le même milieu.

Vérifie si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
Si c'est le cas, alors les vecteurs sont égaux.
Ils doivent avoir la même direction, le même sens et la même longueur.

💡 À retenir : $\vec{AB} = \vec{CD}$ équivaut à dire que [AD] et [BC] ont le même milieu.

Est-ce que vec{AB} + vec{CD} = vec{AD} + vec{CB} ?

Oui, car on peut réorganiser les vecteurs :

$\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{CB} + \vec{BD}$ (ce n'est pas direct).
Utilise la propriété : $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}$ est vraie car $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{CB} - \vec{CD}$ donne $\vec{DB} = \vec{DB}$ .

💡 À retenir : On peut permuter les vecteurs dans une somme.

Oui, car on peut réorganiser les vecteurs :

$\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{CB} + \vec{BD}$ (ce n'est pas direct).
Utilise la propriété : $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}$ est vraie car $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{CB} - \vec{CD}$ donne $\vec{DB} = \vec{DB}$.

💡 À retenir : On peut permuter les vecteurs dans une somme.

Chno hiya 3ala9at Chasles b daryja ?

Hiya tari9a bach njam3o 2 dyal lmtjihat ila kanet nihayat lola hiya bidayat tanya.

$\vec{AB} + \vec{BC}$ : l'point B m3awda, kan7ydoha.
Katb9a $\vec{AC}$ .

💡 À retenir : Le point intermédiaire doit être identique.

Hiya tari9a bach njam3o 2 dyal lmtjihat ila kanet nihayat lola hiya bidayat tanya.

$\vec{AB} + \vec{BC}$ : l'point B m3awda, kan7ydoha.
Katb9a $\vec{AC}$.

💡 À retenir : Le point intermédiaire doit être identique.

Comment prouver que M est le milieu de [AB] avec les vecteurs ?

Il faut montrer que $\vec{AM} = \vec{MB}$ .
Ou bien montrer que $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$ .

💡 À retenir : Le vecteur nul $\vec{0}$ est essentiel pour prouver le milieu.

Il faut montrer que $\vec{AM} = \vec{MB}$.
Ou bien montrer que $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.

💡 À retenir : Le vecteur nul $\vec{0}$ est essentiel pour prouver le milieu.

Wach momkin n9lbo lmtjiha ?

Oui, ila 9lbti lbidaya o nihaya, khassk tzid l'signe moins (-).

$\vec{AB} = -\vec{BA}$ .

💡 À retenir : Inverser les lettres change le sens du vecteur.

Oui, ila 9lbti lbidaya o nihaya, khassk tzid l'signe moins (-).

$\vec{AB} = -\vec{BA}$.

💡 À retenir : Inverser les lettres change le sens du vecteur.

Comment construire l'image d'un point par une translation ?

Pour construire l'image M' de M par la translation de vecteur $\vec{AB}$ :
Trace la parallèle à (AB) passant par M.
Reporte la longueur AB sur cette parallèle à partir de M dans le même sens.

💡 À retenir : $\vec{MM'} = \vec{AB}$ signifie que AMM'B est un parallélogramme.

Pour construire l'image M' de M par la translation de vecteur $\vec{AB}$ :
Trace la parallèle à (AB) passant par M.
Reporte la longueur AB sur cette parallèle à partir de M dans le même sens.

💡 À retenir : $\vec{MM'} = \vec{AB}$ signifie que AMM'B est un parallélogramme.

Est-ce que la norme d'un vecteur peut être négative ?

Non, la norme est une distance, elle est toujours positive ou nulle.

$\|\vec{AB}\| = AB \geq 0$ .

💡 À retenir : La norme est une valeur absolue de longueur.

Non, la norme est une distance, elle est toujours positive ou nulle.

$|\vec{AB}| = AB \geq 0$.

💡 À retenir : La norme est une valeur absolue de longueur.

Kifach nkhdem b vec{u} + vec{v} ila ma kanouch 3ndi l'points ?

Utilise la règle du parallélogramme.
Trace $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à partir du même point O.
Complète le parallélogramme. La diagonale est la somme.

💡 À retenir : La règle du parallélogramme est indispensable.

Utilise la règle du parallélogramme.
Trace $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à partir du même point O.
Complète le parallélogramme. La diagonale est la somme.

💡 À retenir : La règle du parallélogramme est indispensable.

Si vec{AB} = vec{AC}, que peut-on dire ?

Les points A, B et C sont confondus.
Le vecteur $\vec{BC} = \vec{0}$ .

💡 À retenir : Si deux vecteurs de même origine sont égaux, alors leurs extrémités sont confondues.

Les points A, B et C sont confondus.
Le vecteur $\vec{BC} = \vec{0}$.

💡 À retenir : Si deux vecteurs de même origine sont égaux, alors leurs extrémités sont confondues.

Est-ce que la translation conserve les distances ?

Oui, la translation est une isométrie.

Elle transforme un segment en un segment de même longueur.
Elle transforme un triangle en un triangle isométrique.

💡 À retenir : La forme et la taille ne changent pas.

Comment simplifier vec{AB} - vec{AC} ?

C'est $\vec{AB} + \vec{CA}$ .
En réordonnant : $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$ .

💡 À retenir : Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé.

C'est $\vec{AB} + \vec{CA}$.
En réordonnant : $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

💡 À retenir : Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit ABCD un parallélogramme.

Montrer que $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ .
Simplifier l'expression : $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$ .

Exercice 1

Soit ABCD un parallélogramme.

Montrer que $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Simplifier l'expression : $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soient A, B et C trois points non alignés. Construire le point D tel que $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}$ .

Exercice 2

Soient A, B et C trois points non alignés. Construire le point D tel que $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

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Exercice 3

Soit ABC un triangle. Soit M le milieu de [BC].

Construire le point N tel que $\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{AC}$ .
Montrer que $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ . (à vérifier par le professeur : notion de vecteur multiplié par un réel, souvent vue en fin de chapitre ou début 2nd).

Exercice 3

Soit ABC un triangle. Soit M le milieu de [BC].

Construire le point N tel que $\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{AC}$.
Montrer que $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$. (à vérifier par le professeur : notion de vecteur multiplié par un réel, souvent vue en fin de chapitre ou début 2nd).

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