Mathématiques · 3ème Année Collège

الهندسة الفضائية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Volume d'un prisme droit ou cylindre : $V = \mathcal{A}_{base} \times h$
Volume d'une pyramide ou cône : $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{base} \times h$
Réduction/Agrandissement : Si on multiplie les dimensions par un coefficient $k$ , le volume est multiplié par $k^3$ .
Section d'un solide : La section d'un parallélépipède par un plan parallèle à une face est un rectangle identique à cette face. La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.

Méthodes à maîtriser

Identifier la base et la hauteur du solide.
Calculer l'aire de la base en utilisant les formules classiques (triangle, rectangle, disque).
Appliquer la formule du volume en respectant les unités.
Utiliser le rapport $k$ pour calculer le volume après réduction ou agrandissement.

Exemples corrigés

Volume pyramide : Base carrée de côté 3 cm, hauteur 4 cm. $V = \frac{1}{3} \times (3 \times 3) \times 4 = 12 \text{ cm}^3$ .
Réduction : Si $k = 0,5$ , le nouveau volume est $V' = (0,5)^3 \times V = 0,125 \times V$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur $\frac{1}{3}$ pour la pyramide ou le cône.
Confondre l'arête latérale et la hauteur (la hauteur est perpendiculaire à la base).
Oublier de mettre le coefficient $k$ au cube pour le volume.

L'essentiel du cours

Volume d'un prisme droit ou cylindre : $V = \mathcal{A}_{base} \times h$
Volume d'une pyramide ou cône : $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{base} \times h$
Réduction/Agrandissement : Si on multiplie les dimensions par un coefficient $k$, le volume est multiplié par $k^3$.
Section d'un solide : La section d'un parallélépipède par un plan parallèle à une face est un rectangle identique à cette face. La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.

Méthodes à maîtriser

Identifier la base et la hauteur du solide.
Calculer l'aire de la base en utilisant les formules classiques (triangle, rectangle, disque).
Appliquer la formule du volume en respectant les unités.
Utiliser le rapport $k$ pour calculer le volume après réduction ou agrandissement.

Exemples corrigés

Volume pyramide : Base carrée de côté 3 cm, hauteur 4 cm. $V = \frac{1}{3} \times (3 \times 3) \times 4 = 12 \text{ cm}^3$.
Réduction : Si $k = 0,5$, le nouveau volume est $V' = (0,5)^3 \times V = 0,125 \times V$.

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur $\frac{1}{3}$ pour la pyramide ou le cône.
Confondre l'arête latérale et la hauteur (la hauteur est perpendiculaire à la base).
Oublier de mettre le coefficient $k$ au cube pour le volume.

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Le volume d'un cube d'arête 2 cm est :

❓ Questions fréquentes

Comment calculer le volume d'un cône ?

Calcule l'aire de la base (disque) : $\mathcal{A} = \pi \times r^2$ .
Multiplie par la hauteur $h$ .
Divise le tout par 3.

💡 À retenir : $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ .

Calcule l'aire de la base (disque) : $\mathcal{A} = \pi \times r^2$.
Multiplie par la hauteur $h$.
Divise le tout par 3.

💡 À retenir : $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Est-ce que la hauteur est toujours une arête ?

Non, pas du tout. Dans une pyramide, la hauteur est le segment qui relie le sommet au centre de la base de manière perpendiculaire. Une arête latérale relie le sommet à un sommet de la base. Elles ne sont confondues que dans des cas très particuliers.

💡 À retenir : La hauteur est toujours perpendiculaire à la base.

Kifach n3ref wach l'k li 3ndi dial l'agrandissement wla réduction ?

Sahl bzaf :

Ila kan $k > 1$ , rah agrandissement (l'chkl kbar).
Ila kan $0 < k < 1$ , rah réduction (l'chkl sghar).

💡 À retenir : $k$ est le rapport des longueurs.

Sahl bzaf :

Ila kan $k > 1$, rah agrandissement (l'chkl kbar).
Ila kan $0 < k < 1$, rah réduction (l'chkl sghar).

💡 À retenir : $k$ est le rapport des longueurs.

Chno hiya l'farq bin l'aire w l'volume ?

L'aire (l'mousa7a) katqas b $cm^2$ w kat3tina l'mousa7a d chi blassa moussata7a. L'volume (l'7jm) katqas b $cm^3$ w kay3tina ch7al d l'blassa kaychghl l'jism f l'espace.

💡 À retenir : L'aire est en carré, le volume est en cube.

L'aire (l'mousa7a) katqas b $cm^2$ w kat3tina l'mousa7a d chi blassa moussata7a. L'volume (l'7jm) katqas b $cm^3$ w kay3tina ch7al d l'blassa kaychghl l'jism f l'espace.

💡 À retenir : L'aire est en carré, le volume est en cube.

Est-ce que la section d'une pyramide est toujours un triangle ?

Non. Si tu coupes une pyramide par un plan parallèle à sa base, la section est une réduction de la base (donc un polygone de même forme que la base).

💡 À retenir : La forme de la section dépend de la position du plan de coupe.

Kifach n7seb l'volume d'un prisme droit ?

Chouf chno hiya l'qa3ida (triangle, rectangle...).
7seb l'mousa7a dyalha.
Drebha f l'hauteur dyal l'prisme.

💡 À retenir : $V = \mathcal{A}_{base} \times h$ .

Chouf chno hiya l'qa3ida (triangle, rectangle...).
7seb l'mousa7a dyalha.
Drebha f l'hauteur dyal l'prisme.

💡 À retenir : $V = \mathcal{A}_{base} \times h$.

Le coefficient k s'applique-t-il aussi aux aires ?

Oui, mais pas de la même manière. Si les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$ .

💡 À retenir : Longueur $\times k$ , Aire $\times k^2$ , Volume $\times k^3$ .

Oui, mais pas de la même manière. Si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$.

💡 À retenir : Longueur $\times k$, Aire $\times k^2$, Volume $\times k^3$.

Est-ce que le volume d'un cube est c times c ?

Non, ça c'est l'aire d'une face. Le volume d'un cube est le côté multiplié par lui-même trois fois : $V = c^3$ .

💡 À retenir : $V = c \times c \times c$ .

Non, ça c'est l'aire d'une face. Le volume d'un cube est le côté multiplié par lui-même trois fois : $V = c^3$.

💡 À retenir : $V = c \times c \times c$.

Est-ce que la hauteur d'un cône est le rayon ?

Non, le rayon est sur la base, la hauteur est le segment qui monte du centre de la base vers le sommet.

💡 À retenir : Ce sont deux segments perpendiculaires.

Est-ce que la section d'un cylindre par un plan parallèle à la base est un cercle ?

Oui, c'est un cercle identique à la base du cylindre.

💡 À retenir : La section est une copie conforme de la base.

Pourquoi on divise par 3 pour la pyramide ?

C'est une propriété géométrique démontrée : une pyramide occupe exactement le tiers du volume d'un prisme de même base et même hauteur.

💡 À retenir : $\frac{1}{3}$ est obligatoire pour les pointes (pyramides/cônes).

C'est une propriété géométrique démontrée : une pyramide occupe exactement le tiers du volume d'un prisme de même base et même hauteur.

💡 À retenir : $\frac{1}{3}$ est obligatoire pour les pointes (pyramides/cônes).

Est-ce qu'on peut utiliser Pythagore dans l'espace ?

Oui, pour calculer la hauteur d'une pyramide si on connaît l'arête latérale et la distance du centre au sommet de la base.

💡 À retenir : Pythagore fonctionne dans tout triangle rectangle, même dans l'espace.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit une pyramide $SABCD$ à base carrée $ABCD$ de côté $4 \text{ cm}$ et de hauteur $SO = 6 \text{ cm}$ .

Calculer le volume de cette pyramide.
On effectue une réduction de rapport $k = 0,5$ . Calculer le volume de la nouvelle pyramide.

Exercice 1

Soit une pyramide $SABCD$ à base carrée $ABCD$ de côté $4 \text{ cm}$ et de hauteur $SO = 6 \text{ cm}$.

Calculer le volume de cette pyramide.
On effectue une réduction de rapport $k = 0,5$. Calculer le volume de la nouvelle pyramide.

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Exercice 2

Un cylindre a un rayon de $3 \text{ cm}$ et une hauteur de $10 \text{ cm}$ .

Calculer son volume (donner la valeur exacte avec $\pi$ ).
Si on multiplie le rayon par 2 et la hauteur par 2, quel est le nouveau volume ?

Exercice 2

Un cylindre a un rayon de $3 \text{ cm}$ et une hauteur de $10 \text{ cm}$.

Calculer son volume (donner la valeur exacte avec $\pi$).
Si on multiplie le rayon par 2 et la hauteur par 2, quel est le nouveau volume ?

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Exercice 3

Un cône de révolution a une hauteur de $9 \text{ cm}$ et un rayon de $4 \text{ cm}$ .

Calculer le volume du cône.
Une section plane parallèle à la base coupe le cône à $3 \text{ cm}$ du sommet. Déterminer le rapport de réduction $k$ et le volume du petit cône obtenu.

Exercice 3

Un cône de révolution a une hauteur de $9 \text{ cm}$ et un rayon de $4 \text{ cm}$.

Calculer le volume du cône.
Une section plane parallèle à la base coupe le cône à $3 \text{ cm}$ du sommet. Déterminer le rapport de réduction $k$ et le volume du petit cône obtenu.

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