Microéconomie · Commerce & gestion — FSJES — Économie & gestion

L'équilibre du producteur

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'équilibre du producteur est atteint lorsque l'entreprise maximise sa production sous contrainte de coût, ou minimise son coût pour un niveau de production donné.

Condition d'équilibre : Le rapport des productivités marginales doit être égal au rapport des prix des facteurs : $\frac{Pm_L}{Pm_K} = \frac{w}{r} \iff \frac{Pm_L}{w} = \frac{Pm_K}{r}$
La droite d'isocoût : $C = w \cdot L + r \cdot K$
Le TMST : $TMST_{L/K} = \frac{Pm_L}{Pm_K} = -\frac{dK}{dL}$

Méthodes à maîtriser

Calcul du TMST : Dériver la fonction de production par rapport à $L$ puis par rapport à $K$ .
Résolution du système : Utiliser le système composé de l'équation de la droite d'isocoût et de l'égalité des productivités marginales pondérées.
Interprétation graphique : L'équilibre est le point de tangence entre l'isoquante et la droite d'isocoût.

Exemples corrigés

Soit $Q = L \cdot K$ , $w=10$ , $r=20$ , $C=200$ .

$Pm_L = K$ , $Pm_K = L$ .
Condition : $\frac{K}{L} = \frac{10}{20} \implies 20K = 10L \implies L = 2K$ .
Remplacer dans $200 = 10L + 20K \implies 200 = 10(2K) + 20K \implies 40K = 200 \implies K=5, L=10$ .

Erreurs fréquentes

Confondre la productivité marginale avec la productivité moyenne.
Oublier que le TMST est une valeur absolue dans les calculs d'équilibre.
Inverser le rapport des prix ( $w/r$ au lieu de $r/w$ ).

L'essentiel du cours

L'équilibre du producteur est atteint lorsque l'entreprise maximise sa production sous contrainte de coût, ou minimise son coût pour un niveau de production donné.

Condition d'équilibre : Le rapport des productivités marginales doit être égal au rapport des prix des facteurs : $$\frac{Pm_L}{Pm_K} = \frac{w}{r} \iff \frac{Pm_L}{w} = \frac{Pm_K}{r}$$
La droite d'isocoût : $C = w \cdot L + r \cdot K$
Le TMST : $TMST_{L/K} = \frac{Pm_L}{Pm_K} = -\frac{dK}{dL}$

Méthodes à maîtriser

Calcul du TMST : Dériver la fonction de production par rapport à $L$ puis par rapport à $K$.
Résolution du système : Utiliser le système composé de l'équation de la droite d'isocoût et de l'égalité des productivités marginales pondérées.
Interprétation graphique : L'équilibre est le point de tangence entre l'isoquante et la droite d'isocoût.

Exemples corrigés

Soit $Q = L \cdot K$, $w=10$, $r=20$, $C=200$.

$Pm_L = K$, $Pm_K = L$.
Condition : $\frac{K}{L} = \frac{10}{20} \implies 20K = 10L \implies L = 2K$.
Remplacer dans $200 = 10L + 20K \implies 200 = 10(2K) + 20K \implies 40K = 200 \implies K=5, L=10$.

Erreurs fréquentes

Confondre la productivité marginale avec la productivité moyenne.
Oublier que le TMST est une valeur absolue dans les calculs d'équilibre.
Inverser le rapport des prix ($w/r$ au lieu de $r/w$).

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🎯 L'équilibre du producteur

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À l'équilibre du producteur, le TMST est égal à :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre isoquante et isocoût ?

L'isoquante représente les combinaisons techniques (technologie) pour produire une quantité donnée.
L'isocoût représente les combinaisons financières (budget) selon les prix des facteurs.

💡 À retenir : L'isoquante dépend de la fonction de production, l'isocoût dépend des prix du marché.

Kifach n7seb TMST ila 3tani fonction Cobb-Douglas Q = L^alpha K^beta ?

Calcule $Pm_L = \alpha \cdot L^{\alpha-1} \cdot K^\beta$ .
Calcule $Pm_K = \beta \cdot L^\alpha \cdot K^{\beta-1}$ .
Fais le rapport : $TMST = \frac{Pm_L}{Pm_K} = \frac{\alpha \cdot K}{\beta \cdot L}$ .

💡 À retenir : Pour Cobb-Douglas, le TMST est toujours $\frac{\alpha K}{\beta L}$ .

Calcule $Pm_L = \alpha \cdot L^{\alpha-1} \cdot K^\beta$.
Calcule $Pm_K = \beta \cdot L^\alpha \cdot K^{\beta-1}$.
Fais le rapport : $TMST = \frac{Pm_L}{Pm_K} = \frac{\alpha \cdot K}{\beta \cdot L}$.

💡 À retenir : Pour Cobb-Douglas, le TMST est toujours $\frac{\alpha K}{\beta L}$.

Est-ce que l'équilibre du producteur change si le prix du travail augmente ?

Oui. Si $w$ augmente, la droite d'isocoût pivote vers l'intérieur. Le producteur va substituer le facteur devenu cher ( $L$ ) par le facteur relativement moins cher ( $K$ ) pour maintenir son équilibre.

💡 À retenir : Une hausse de prix d'un facteur réduit la demande pour ce facteur.

Oui. Si $w$ augmente, la droite d'isocoût pivote vers l'intérieur. Le producteur va substituer le facteur devenu cher ($L$) par le facteur relativement moins cher ($K$) pour maintenir son équilibre.

💡 À retenir : Une hausse de prix d'un facteur réduit la demande pour ce facteur.

Chno hiya "combinaison optimale" ?

C'est le choix de $L$ et $K$ qui permet d'atteindre le niveau de production le plus élevé possible avec le budget disponible.

💡 À retenir : C'est le point où la pente de l'isoquante égale la pente de l'isocoût.

C'est le choix de $L$ et $K$ qui permet d'atteindre le niveau de production le plus élevé possible avec le budget disponible.

💡 À retenir : C'est le point où la pente de l'isoquante égale la pente de l'isocoût.

Kifach n3ref wach l'entreprise khassha t'zide l'khadama wla t'n9esshom ?

Il faut comparer le coût marginal du travail ( $w$ ) avec sa productivité marginale pondérée. Si $\frac{Pm_L}{w} > \frac{Pm_K}{r}$ , l'entreprise a intérêt à augmenter $L$ .

💡 À retenir : Il faut toujours égaliser les productivités marginales par dirham dépensé.

Il faut comparer le coût marginal du travail ($w$) avec sa productivité marginale pondérée. Si $\frac{Pm_L}{w} > \frac{Pm_K}{r}$, l'entreprise a intérêt à augmenter $L$.

💡 À retenir : Il faut toujours égaliser les productivités marginales par dirham dépensé.

Pourquoi le TMST est-il décroissant ?

Parce que les facteurs de production sont imparfaitement substituables. Plus on utilise de $L$ , moins il est efficace pour remplacer $K$ .

💡 À retenir : La convexité des isoquantes traduit la loi des rendements décroissants.

Parce que les facteurs de production sont imparfaitement substituables. Plus on utilise de $L$, moins il est efficace pour remplacer $K$.

💡 À retenir : La convexité des isoquantes traduit la loi des rendements décroissants.

Est-ce que l'équilibre change si le budget augmente ?

Oui, la droite d'isocoût se déplace parallèlement vers l'extérieur, permettant d'atteindre une isoquante plus élevée.

💡 À retenir : Le sentier d'expansion relie tous les points d'équilibre quand le budget varie.

Est-ce que le producteur cherche toujours à minimiser les coûts ?

Oui, c'est le principe de rationalité. Pour toute quantité produite, il cherche la combinaison la moins coûteuse.

💡 À retenir : Maximiser le profit revient à minimiser les coûts pour chaque niveau de production.

Comment calculer le TMST si la fonction est Q = L + K ?

$Pm_L = 1$ et $Pm_K = 1$ . Donc $TMST = 1/1 = 1$ . Les facteurs sont parfaitement substituables.

💡 À retenir : Si $TMST$ est constant, les isoquantes sont des droites.

$Pm_L = 1$ et $Pm_K = 1$. Donc $TMST = 1/1 = 1$. Les facteurs sont parfaitement substituables.

💡 À retenir : Si $TMST$ est constant, les isoquantes sont des droites.

Est-ce que le prix de vente du produit influence l'équilibre du producteur ?

Oui, car le profit dépend du prix de vente. Cependant, dans le cadre strict de l'équilibre sous contrainte de coût, on se concentre sur $w$ et $r$ .

💡 À retenir : Le prix du produit intervient dans la condition de maximisation du profit ( $Pm_L \cdot P = w$ ).

Oui, car le profit dépend du prix de vente. Cependant, dans le cadre strict de l'équilibre sous contrainte de coût, on se concentre sur $w$ et $r$.

💡 À retenir : Le prix du produit intervient dans la condition de maximisation du profit ($Pm_L \cdot P = w$).

Est-ce que le TMST peut être négatif ?

Non, le TMST est une valeur positive qui mesure un taux de remplacement. Le signe "moins" dans la formule indique la pente négative de l'isoquante.

💡 À retenir : Le TMST est toujours positif par convention.

Est-ce que le programme inclut les rendements d'échelle croissants ?

Oui, c'est une notion fondamentale pour comprendre la taille optimale de l'entreprise.

💡 À retenir : Si $f(\lambda L, \lambda K) > \lambda f(L, K)$ , les rendements sont croissants.

Oui, c'est une notion fondamentale pour comprendre la taille optimale de l'entreprise.

💡 À retenir : Si $f(\lambda L, \lambda K) > \lambda f(L, K)$, les rendements sont croissants.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une entreprise a une fonction de production $Q = L^{0.5} K^{0.5}$ . Le prix du travail $w=10$ et le prix du capital $r=10$ . Le budget total est de 1000 DH. Déterminez la combinaison optimale ( $L, K$ ).

Exercice 1

Une entreprise a une fonction de production $Q = L^{0.5} K^{0.5}$. Le prix du travail $w=10$ et le prix du capital $r=10$. Le budget total est de 1000 DH. Déterminez la combinaison optimale ($L, K$).

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Exercice 2

Soit $Q = 2LK$ . Si $w=2$ et $r=4$ , quelle est la combinaison pour produire 400 unités au coût minimal ?

Exercice 2

Soit $Q = 2LK$. Si $w=2$ et $r=4$, quelle est la combinaison pour produire 400 unités au coût minimal ?

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Exercice 3

Une entreprise utilise $L$ et $K$ avec $Q = L + 2K$ . $w=2$ et $r=5$ . Quel est le choix optimal ?

Exercice 3

Une entreprise utilise $L$ et $K$ avec $Q = L + 2K$. $w=2$ et $r=5$. Quel est le choix optimal ?

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