Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Repère de l'espace : Un repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ permet de repérer tout point $M(x, y, z)$.
Positions relatives :
Deux droites : sécantes, parallèles, ou non coplanaires.
Droite et plan : sécants, parallèles, ou la droite est incluse dans le plan.
Deux plans : sécants (selon une droite) ou parallèles.
Représentation paramétrique d'une droite : Passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ :
$$\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R})$$
Équation cartésienne d'un plan : De la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$. Le vecteur normal est $\vec{n}(a, b, c)$.
Méthodes à maîtriser
Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan : Montrer que le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$).
Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan : Remplacer $x, y, z$ de la droite dans l'équation du plan pour trouver $t$.
Vérifier l'appartenance : Un point appartient à un plan si ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soit le plan $(P) : x + y - z + 2 = 0$. Le point $A(1, -1, 2)$ appartient-il à $(P)$ ?
$1 + (-1) - 2 + 2 = 0$. Oui, $A \in (P)$.
Exemple 2 : Droite $(D)$ passant par $A(1, 0, 0)$ de vecteur $\vec{u}(0, 1, 1)$.
Représentation : $x=1, y=t, z=t$.
Erreurs fréquentes
Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Oublier la condition $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ pour une équation de plan.
Penser que deux droites non parallèles sont forcément sécantes (elles peuvent être non coplanaires).
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Rje3 l-système dyal l-moustaqim w-3awd $t$ b-l-qima li lqiti bach telqa $x, y, z$.
💡 À retenir : L-intersection hiya l-point li 3ndha nafs l-ahdatyat f-l-moustaqim w-f-l-plan.
Est-ce qu'on peut avoir une équation de droite avec deux équations de plans ?
Oui, une droite peut être définie comme l'intersection de deux plans non parallèles. C'est ce qu'on appelle un système de deux équations cartésiennes.
💡 À retenir : L'intersection de deux plans sécants est toujours une droite.
Comment savoir si deux plans sont parallèles ?
Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Si $(P_1) : a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ et $(P_2) : a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$, alors ils sont parallèles si $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
💡 À retenir : Plans parallèles = vecteurs normaux colinéaires.
Qu'est-ce qu'une droite non coplanaire ?
Ce sont deux droites qui ne sont ni parallèles ni sécantes. Elles ne se trouvent pas dans le même plan.
💡 À retenir : Dans l'espace, deux droites peuvent ne jamais se rencontrer sans être parallèles.
Comment déterminer le vecteur normal d'un plan ?
Si tu as l'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur normal est tout simplement $\vec{n}(a, b, c)$.
💡 À retenir : Les coefficients de $x, y, z$ donnent directement les coordonnées du vecteur normal.
Est-ce que le vecteur directeur d'une droite est unique ?
Non, n'importe quel vecteur colinéaire au vecteur directeur initial est aussi un vecteur directeur. Si $\vec{u}$ est directeur, alors $k\vec{u}$ (pour $k \neq 0$) l'est aussi.
💡 À retenir : Une droite a une infinité de vecteurs directeurs.
Comment montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan ?
Il faut montrer que le vecteur directeur de la droite $\vec{u}$ est colinéaire au vecteur normal du plan $\vec{n}$.
💡 À retenir : Droite perpendiculaire au plan $\iff \vec{u}$ et $\vec{n}$ colinéaires.
Si j'ai deux points, comment trouver une droite ?
Le vecteur directeur est $\vec{AB}(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)$.
Utilise le point $A$ comme point de passage.
Écris la représentation paramétrique.
💡 À retenir : Deux points définissent une droite unique.
Est-ce que le produit scalaire existe dans l'espace ?
Oui, pour $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, le produit scalaire est $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
💡 À retenir : Le calcul est identique à celui du plan, avec une coordonnée en plus.
Peut-on avoir une équation de plan sans z ?
Oui, par exemple $x + y + 2 = 0$. Cela signifie que le vecteur normal est $\vec{n}(1, 1, 0)$. Le plan est parallèle à l'axe $(Oz)$.
💡 À retenir : L'absence d'une variable signifie que le plan est parallèle à l'axe correspondant.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit le plan $(P) : x - 2y + z - 3 = 0$.
Donner un vecteur normal à $(P)$.
Soit la droite $(D)$ passant par $C(0, 1, 0)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(1, 1, 1)$. Étudier l'intersection de $(D)$ et $(P)$.
Repère de l'espace : Un repère (O,i,j,k) permet de repérer tout point M(x,y,z).
Positions relatives :
Deux droites : sécantes, parallèles, ou non coplanaires.
Droite et plan : sécants, parallèles, ou la droite est incluse dans le plan.
Deux plans : sécants (selon une droite) ou parallèles.
Représentation paramétrique d'une droite : Passant par A(x0,y0,z0) et de vecteur directeur u(a,b,c) :
⎩⎨⎧x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(t∈R)
Équation cartésienne d'un plan : De la forme ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)=(0,0,0). Le vecteur normal est n(a,b,c).
Méthodes à maîtriser
Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan : Montrer que le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan (u⋅n=0).
Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan : Remplacer x,y,z de la droite dans l'équation du plan pour trouver t.
Vérifier l'appartenance : Un point appartient à un plan si ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soit le plan (P):x+y−z+2=0. Le point A(1,−1,2) appartient-il à (P) ?
1+(−1)−2+2=0. Oui, A∈(P).
Exemple 2 : Droite (D) passant par A(1,0,0) de vecteur u(0,1,1).
Représentation : x=1,y=t,z=t.
Erreurs fréquentes
Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Oublier la condition (a,b,c)=(0,0,0) pour une équation de plan.
Penser que deux droites non parallèles sont forcément sécantes (elles peuvent être non coplanaires).
Quel est le vecteur normal du plan 2x−y+3z=0 ?
Khoud l-ahdatyat dyal l-point (xA,yA,zA).
3awdhoum f-l-mou3adala dyal l-plan ax+by+cz+d=0.
Ila lqiti l-natija hiya 0, l-point kayn f-l-plan. Ila lqiti chi haja khra, l-point makaynach.
💡 À retenir : L-point katnmi l-plan ila kanet l-ahdatyat dyalha katchouf l-mou3adala dyal l-plan.
Kteb l-ahdatyat dyal l-moustaqim b-dallalat t.
3awd had l-ahdatyat f-l-mou3adala dyal l-plan.
Helli l-mou3adala bach telqa l-qima dyal t.
Rje3 l-système dyal l-moustaqim w-3awd t b-l-qima li lqiti bach telqa x,y,z.
💡 À retenir : L-intersection hiya l-point li 3ndha nafs l-ahdatyat f-l-moustaqim w-f-l-plan.
Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Si (P1):a1x+b1y+c1z+d1=0 et (P2):a2x+b2y+c2z+d2=0, alors ils sont parallèles si a2a1=b2b1=c2c1.
💡 À retenir : Plans parallèles = vecteurs normaux colinéaires.
Si tu as l'équation cartésienne ax+by+cz+d=0, le vecteur normal est tout simplement n(a,b,c).
💡 À retenir : Les coefficients de x,y,z donnent directement les coordonnées du vecteur normal.
Non, n'importe quel vecteur colinéaire au vecteur directeur initial est aussi un vecteur directeur. Si u est directeur, alors ku (pour k=0) l'est aussi.
💡 À retenir : Une droite a une infinité de vecteurs directeurs.
Il faut montrer que le vecteur directeur de la droite u est colinéaire au vecteur normal du plan n.
💡 À retenir : Droite perpendiculaire au plan ⟺u et n colinéaires.
Le vecteur directeur est AB(xB−xA,yB−yA,zB−zA).
Utilise le point A comme point de passage.
Écris la représentation paramétrique.
💡 À retenir : Deux points définissent une droite unique.
Oui, pour u(x,y,z) et v(x′,y′,z′), le produit scalaire est u⋅v=xx′+yy′+zz′.
💡 À retenir : Le calcul est identique à celui du plan, avec une coordonnée en plus.
Oui, par exemple x+y+2=0. Cela signifie que le vecteur normal est n(1,1,0). Le plan est parallèle à l'axe (Oz).
💡 À retenir : L'absence d'une variable signifie que le plan est parallèle à l'axe correspondant.
Exercice 1
Soit le plan (P):x−2y+z−3=0.
Donner un vecteur normal à (P).
Soit la droite (D) passant par C(0,1,0) et de vecteur directeur v(1,1,1). Étudier l'intersection de (D) et (P).
Exercice 2
Déterminer l'équation cartésienne du plan (P) passant par A(1,0,2) et dont le vecteur normal est n(1,1,−1).
Exercice 3
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère le point A(1,2,−1) et le vecteur u(2,−1,3).
Donner une représentation paramétrique de la droite (D) passant par A et de vecteur directeur u.