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La droite dans le plan : étude analytique

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Équation cartésienne : Toute droite $(D)$ dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ a une équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$ .
Équation réduite : Si $b \neq 0$ , l'équation s'écrit $y = mx + p$ , où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
Vecteur directeur : Si $(D): ax + by + c = 0$ , alors $\vec{u}(-b, a)$ est un vecteur directeur de $(D)$ .
Conditions de parallélisme et orthogonalité :
- Parallèles : $m_1 = m_2$ .
- Perpendiculaires : $m_1 \times m_2 = -1$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points $A$ et $B$ .
Vérifier si un point appartient à une droite en remplaçant ses coordonnées dans l'équation.
Déterminer l'intersection de deux droites en résolvant un système.
Passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Droite passant par $A(1, 2)$ et $B(3, 4)$ . $m = \frac{4-2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$ . L'équation est $y = 1x + p$ . Avec $A(1, 2)$ , on a $2 = 1(1) + p \Rightarrow p = 1$ . Donc $y = x + 1$ .
Exemple 2 : Intersection de $(D): x+y-2=0$ et $(D'): x-y=0$ . On résout le système : $x+y=2$ et $x=y$ . On trouve $2x=2 \Rightarrow x=1$ , donc $y=1$ . Intersection $I(1, 1)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $(a, b) \neq (0, 0)$ pour l'équation cartésienne.
Confondre le coefficient directeur $m$ avec le vecteur directeur $\vec{u}$ .
Oublier de vérifier si le dénominateur est nul lors du calcul de la pente.

L'essentiel du cours

Équation cartésienne : Toute droite $(D)$ dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ a une équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$.
Équation réduite : Si $b \neq 0$, l'équation s'écrit $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
Vecteur directeur : Si $(D): ax + by + c = 0$, alors $\vec{u}(-b, a)$ est un vecteur directeur de $(D)$.
Conditions de parallélisme et orthogonalité :
- Parallèles : $m_1 = m_2$.
- Perpendiculaires : $m_1 \times m_2 = -1$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points $A$ et $B$.
Vérifier si un point appartient à une droite en remplaçant ses coordonnées dans l'équation.
Déterminer l'intersection de deux droites en résolvant un système.
Passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Droite passant par $A(1, 2)$ et $B(3, 4)$. $m = \frac{4-2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$. L'équation est $y = 1x + p$. Avec $A(1, 2)$, on a $2 = 1(1) + p \Rightarrow p = 1$. Donc $y = x + 1$.
Exemple 2 : Intersection de $(D): x+y-2=0$ et $(D'): x-y=0$. On résout le système : $x+y=2$ et $x=y$. On trouve $2x=2 \Rightarrow x=1$, donc $y=1$. Intersection $I(1, 1)$.

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $(a, b) \neq (0, 0)$ pour l'équation cartésienne.
Confondre le coefficient directeur $m$ avec le vecteur directeur $\vec{u}$.
Oublier de vérifier si le dénominateur est nul lors du calcul de la pente.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 La droite dans le plan : étude analytique

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Quel est le vecteur directeur de $2x - 3y + 5 = 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n-l9a l'équation d'une droite parallèle à une autre ?

Si la droite donnée est $y=mx+p$ , la droite parallèle aura la même pente $m$ . Il suffit de trouver $p'$ en utilisant un point donné.

Si la droite donnée est $y=mx+p$, la droite parallèle aura la même pente $m$. Il suffit de trouver $p'$ en utilisant un point donné.

Peut-on avoir plusieurs équations pour une même droite ?

Oui, par exemple $x+y-1=0$ et $2x+2y-2=0$ représentent la même droite.

Quelle est la pente d'une droite horizontale ?

La pente est nulle ( $m=0$ ), car l'équation est de la forme $y=p$ .

La pente est nulle ($m=0$), car l'équation est de la forme $y=p$.

Comment vérifier si un point appartient à une droite ?

Remplace les coordonnées du point dans l'équation de la droite. Si l'égalité est vérifiée, le point appartient à la droite.

Qu'est-ce qu'un repère orthonormé ?

C'est un repère où les axes sont perpendiculaires et où les unités sur les deux axes ont la même longueur.

Kifach n-3ref wach jouj mosta9imat mta3amdin ?

Si tu as les équations réduites $y=m_1x+p_1$ et $y=m_2x+p_2$ , vérifie si $m_1 \times m_2 = -1$ .
Si tu as les vecteurs directeurs $\vec{u}(a, b)$ et $\vec{v}(a', b')$ , vérifie si $aa' + bb' = 0$ .

💡 À retenir : Le produit des pentes doit être égal à $-1$ .

Si tu as les équations réduites $y=m_1x+p_1$ et $y=m_2x+p_2$, vérifie si $m_1 \times m_2 = -1$.
Si tu as les vecteurs directeurs $\vec{u}(a, b)$ et $\vec{v}(a', b')$, vérifie si $aa' + bb' = 0$.

💡 À retenir : Le produit des pentes doit être égal à $-1$.

Est-ce que toute droite a une équation réduite ?

Non. Les droites verticales, dont l'équation est de la forme $x = k$ , n'ont pas de coefficient directeur défini et donc pas d'équation réduite.

Non. Les droites verticales, dont l'équation est de la forme $x = k$, n'ont pas de coefficient directeur défini et donc pas d'équation réduite.

Comment trouver l'intersection de deux droites ?

Il suffit de résoudre le système formé par les deux équations des droites. Si le système a une solution unique, les droites sont sécantes en ce point.

Qu'est-ce qu'un vecteur normal ?

C'est un vecteur qui est perpendiculaire à la droite. Si la droite a pour équation $ax+by+c=0$ , alors $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal.

C'est un vecteur qui est perpendiculaire à la droite. Si la droite a pour équation $ax+by+c=0$, alors $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal.

Kifach n-l9a l'équation dyal l'mosta9im ila 3tani ghir no9ta w vecteur directeur ?

Soit $M(x, y)$ un point de la droite.
Le vecteur $\vec{AM}$ doit être colinéaire au vecteur directeur $\vec{u}(a, b)$ .
Utilise la condition de colinéarité : $det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0$ .
Développe l'équation pour obtenir la forme $ax+by+c=0$ .

💡 À retenir : La condition de colinéarité est l'outil le plus rapide pour trouver l'équation.

Soit $M(x, y)$ un point de la droite.
Le vecteur $\vec{AM}$ doit être colinéaire au vecteur directeur $\vec{u}(a, b)$.
Utilise la condition de colinéarité : $det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0$.
Développe l'équation pour obtenir la forme $ax+by+c=0$.

💡 À retenir : La condition de colinéarité est l'outil le plus rapide pour trouver l'équation.

Chno hiya l'far9 bin l'équation cartésienne w l'équation réduite ?

L'équation cartésienne $ax+by+c=0$ peut représenter n'importe quelle droite, y compris les droites verticales ( $b=0$ ).
L'équation réduite $y=mx+p$ ne peut pas représenter une droite verticale car $x$ ne dépend pas de $y$ .

💡 À retenir : L'équation cartésienne est plus générale.

L'équation cartésienne $ax+by+c=0$ peut représenter n'importe quelle droite, y compris les droites verticales ($b=0$).
L'équation réduite $y=mx+p$ ne peut pas représenter une droite verticale car $x$ ne dépend pas de $y$.

💡 À retenir : L'équation cartésienne est plus générale.

Comment montrer que trois points A, B et C sont alignés ?

Il faut montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires (c'est-à-dire que le déterminant est nul).

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(1, 2)$ et $B(3, 0)$ .

Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$ .
Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $C(0, 1)$ et parallèle à $(AB)$ .

Exercice 1

Soient $A(1, 2)$ et $B(3, 0)$.

Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.
Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $C(0, 1)$ et parallèle à $(AB)$.

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Exercice 2

Soient $(D_1) : 2x - y + 3 = 0$ et $(D_2) : x + y - 6 = 0$ .

Montrer que $(D_1)$ et $(D_2)$ sont sécantes.
Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $I$ .

Exercice 2

Soient $(D_1) : 2x - y + 3 = 0$ et $(D_2) : x + y - 6 = 0$.

Montrer que $(D_1)$ et $(D_2)$ sont sécantes.
Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $I$.

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Exercice 3

Soit $(D) : 3x - 2y + 1 = 0$ .

Donner un vecteur directeur de $(D)$ .
Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à $(D)$ passant par $A(2, 1)$ .

Exercice 3

Soit $(D) : 3x - 2y + 1 = 0$.

Donner un vecteur directeur de $(D)$.
Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à $(D)$ passant par $A(2, 1)$.

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