Mathématiques · Tronc Commun — Sciences Expérimentales

Calcul vectoriel

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Un vecteur $\vec{AB}$ est défini par sa direction, son sens et sa norme (longueur $AB$ ).
Égalité : $\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme (ou $A, B, D, C$ alignés).
Relation de Chasles : Pour tous points $A, B, C$ : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ .
Coordonnées : Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ , alors $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$ .
Colinéarité : $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ sont colinéaires si $xy' - x'y = 0$ .
Milieu : $I$ est milieu de $[AB]$ ssi $\vec{AI} = \vec{IB}$ ou $I(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$ .

Méthodes à maîtriser

Simplifier une somme : Utiliser Chasles pour "faire disparaître" les lettres intermédiaires.
Démontrer un parallélogramme : Montrer que $\vec{AB} = \vec{DC}$ .
Démontrer un alignement : Montrer que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
Calculer une norme : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Exemples corrigés

Somme : Simplifier $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$ .
Colinéarité : $\vec{u}(1, 2)$ et $\vec{v}(2, 4)$ . $1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$ , donc ils sont colinéaires.

Erreurs fréquentes

Confondre le vecteur $\vec{AB}$ avec la distance $AB$ .
Oublier le signe moins lors du calcul des coordonnées : $x_B - x_A$ .
Penser que $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$ sans vérifier le parallélogramme.

L'essentiel du cours

Définition : Un vecteur $\vec{AB}$ est défini par sa direction, son sens et sa norme (longueur $AB$).
Égalité : $\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme (ou $A, B, D, C$ alignés).
Relation de Chasles : Pour tous points $A, B, C$ : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Coordonnées : Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, alors $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$.
Colinéarité : $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ sont colinéaires si $xy' - x'y = 0$.
Milieu : $I$ est milieu de $[AB]$ ssi $\vec{AI} = \vec{IB}$ ou $I(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$.

Méthodes à maîtriser

Simplifier une somme : Utiliser Chasles pour "faire disparaître" les lettres intermédiaires.
Démontrer un parallélogramme : Montrer que $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Démontrer un alignement : Montrer que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
Calculer une norme : $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Exemples corrigés

Somme : Simplifier $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$.
Colinéarité : $\vec{u}(1, 2)$ et $\vec{v}(2, 4)$. $1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$, donc ils sont colinéaires.

Erreurs fréquentes

Confondre le vecteur $\vec{AB}$ avec la distance $AB$.
Oublier le signe moins lors du calcul des coordonnées : $x_B - x_A$.
Penser que $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$ sans vérifier le parallélogramme.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul vectoriel

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Quelle est la relation de Chasles correcte ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach had les vecteurs colinéaires wla la?

Calcule les coordonnées de tes deux vecteurs $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ .
Calcule le déterminant : $det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$ .
Si le résultat est 0, ils sont colinéaires. Sinon, ils ne le sont pas.

💡 À retenir : La colinéarité signifie que les vecteurs sont parallèles.

Calcule les coordonnées de tes deux vecteurs $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$.
Calcule le déterminant : $det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$.
Si le résultat est 0, ils sont colinéaires. Sinon, ils ne le sont pas.

💡 À retenir : La colinéarité signifie que les vecteurs sont parallèles.

Chno hiya relation de Chasles o imta kankhedmo biha?

C'est la règle : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ .
On l'utilise quand la lettre de fin du premier vecteur est la même que la lettre de début du deuxième.

💡 À retenir : Elle sert à simplifier des sommes de vecteurs complexes.

C'est la règle : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
On l'utilise quand la lettre de fin du premier vecteur est la même que la lettre de début du deuxième.

💡 À retenir : Elle sert à simplifier des sommes de vecteurs complexes.

Kifach n7seb l'ihdathiyat dyal lmontasaf?

Soient $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ .
Les coordonnées du milieu $I$ sont $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$ .

💡 À retenir : C'est la moyenne des coordonnées des extrémités.

Soient $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$.
Les coordonnées du milieu $I$ sont $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$.

💡 À retenir : C'est la moyenne des coordonnées des extrémités.

Est-ce qu'on peut additionner un vecteur et un point ?

Non, c'est une erreur mathématique grave. On additionne uniquement des vecteurs entre eux. Un point est une position, un vecteur est un déplacement.

Comment montrer que deux droites sont parallèles avec les vecteurs ?

Il suffit de montrer que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

La norme d'un vecteur peut-elle être négative ?

Non, la norme représente une distance, elle est toujours positive ou nulle.

Si vec{AB} = vec{AC}, que peut-on dire des points A, B et C ?

Les points B et C sont confondus.

Comment prouver que trois points sont alignés ?

Il faut montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Quelle est la différence entre direction et sens ?

La direction est la droite porteuse (le "chemin"), le sens est l'orientation sur cette droite (vers où on va).

Peut-on multiplier deux vecteurs ?

Au niveau Tronc Commun, on ne multiplie pas deux vecteurs entre eux. On multiplie un vecteur par un réel.

Est-ce que vec{AB} = vec{BA} ?

Non, $\vec{AB} = -\vec{BA}$ . Ils ont la même direction mais des sens opposés.

Non, $\vec{AB} = -\vec{BA}$. Ils ont la même direction mais des sens opposés.

Comment calculer la norme d'un vecteur vec{u}(3, -4) ?

$\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .

$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(1, 2)$ , $B(3, 4)$ et $C(5, 2)$ trois points dans le plan.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
Les points $A, B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier.

Exercice 1

Soient $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ et $C(5, 2)$ trois points dans le plan.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Les points $A, B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier.

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Exercice 2

Soit $ABCD$ un parallélogramme. Montrer que $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ .

Exercice 2

Soit $ABCD$ un parallélogramme. Montrer que $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soient $A(0, 1)$ , $B(2, 3)$ et $C(4, 5)$ . Montrer que $A, B, C$ sont alignés.

Exercice 3

Soient $A(0, 1)$, $B(2, 3)$ et $C(4, 5)$. Montrer que $A, B, C$ sont alignés.

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