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Mathématiques · Tronc Commun — Sciences Expérimentales

Produit scalaire

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

  1. Définition : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$.
  2. Expression analytique : Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, si $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
  3. Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
  4. Norme : $|\vec{u}|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2$.
  5. Propriétés : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ et $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.

Méthodes à maîtriser

  • Calculer le produit scalaire avec les coordonnées.
  • Utiliser la projection orthogonale pour calculer un produit scalaire géométriquement.
  • Déterminer l'équation cartésienne d'une droite connaissant un point et un vecteur normal.
  • Appliquer la relation d'Al-Kashi dans un triangle quelconque.

Exemples corrigés

  • Calcul : Si $\vec{u}(2, -3)$ et $\vec{v}(1, 4)$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-3)(4) = 2 - 12 = -10$.
  • Orthogonalité : $\vec{u}(2, 3)$ et $\vec{v}(3, -2)$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - 6 = 0$, donc $\vec{u} \perp \vec{v}$.

Erreurs fréquentes

  • Confondre le produit scalaire (qui est un nombre) avec le produit vectoriel (non vu en TC).
  • Oublier que le résultat d'un produit scalaire peut être négatif.
  • Utiliser la formule analytique dans un repère qui n'est pas orthonormé.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Produit scalaire

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Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = -5$, alors l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition ?

Oui, $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.

💡 À retenir : Il se comporte comme la multiplication classique.

Comment savoir si deux vecteurs sont orthogonaux sans calculer l'angle ?

Il suffit de calculer leur produit scalaire. Si le résultat est égal à 0, alors les vecteurs sont orthogonaux.

💡 À retenir : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

kifach n7seb l'produit scalaire ila 3tani ghir l'toul dyal les vecteurs w l'angle binathom ?

Tu utilises la définition géométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle entre les deux vecteurs.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier si l'angle est en degrés ou en radians.

Est-ce que le produit scalaire est associatif, c'est-à-dire (vec{u} cdot vec{v}) cdot vec{w} = vec{u} cdot (vec{v} cdot vec{w}) ?

Non, cette expression n'a aucun sens mathématique. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel (scalaire). On ne peut pas faire le produit scalaire d'un nombre et d'un vecteur.

💡 À retenir : Le produit scalaire se fait uniquement entre deux vecteurs.

wach l'produit scalaire kayt2atar b l'ordre dyal les vecteurs ?

Non, le produit scalaire est commutatif : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.

💡 À retenir : L'ordre ne change pas le résultat.

kifach n3ref l'vecteur normal dyal wahed l'mostaqim ax + by + c = 0 ?

Le vecteur normal $\vec{n}$ a pour coordonnées $(a, b)$, où $a$ et $b$ sont les coefficients devant $x$ et $y$.

💡 À retenir : $\vec{n}(a, b)$ est toujours normal à la droite d'équation $ax + by + c = 0$.

Peut-on avoir un produit scalaire négatif ?

Oui, tout à fait. Le signe du produit scalaire dépend du cosinus de l'angle entre les deux vecteurs. S'il est obtus (entre 90° et 180°), le cosinus est négatif, donc le produit scalaire l'est aussi.

💡 À retenir : Le signe du produit scalaire indique si l'angle est aigu, droit ou obtus.

Quelle est la différence entre la norme d'un vecteur et le produit scalaire ?

La norme $|\vec{u}|$ est la longueur du vecteur (un nombre positif). Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre réel (qui peut être positif, négatif ou nul).

💡 À retenir : $|\vec{u}|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$.

Est-ce que le produit scalaire est nul si l'un des vecteurs est nul ?

Oui, si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

💡 À retenir : Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Comment calculer l'angle entre deux vecteurs avec leurs coordonnées ?
  1. Calcule le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
  2. Calcule les normes $|\vec{u}|$ et $|\vec{v}|$.
  3. Utilise $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|}$.
  4. Utilise la calculatrice pour trouver $\theta$.

💡 À retenir : Assure-toi que le repère est orthonormé.

wach l'produit scalaire kayt7seb f ay repère ?

Non, la formule analytique $xx' + yy'$ n'est valable que dans un repère orthonormé.

💡 À retenir : Vérifie toujours si le repère est $(O, \vec{i}, \vec{j})$ avec $|\vec{i}|=|\vec{j}|=1$ et $\vec{i} \perp \vec{j}$.

Est-ce que (vec{u} + vec{v})^2 = vec{u}^2 + vec{v}^2 ?

Non, c'est une erreur classique. La formule correcte est $(\vec{u} + \vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2$.

💡 À retenir : C'est l'identité remarquable du produit scalaire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ et $C(5, 1)$ trois points dans un repère orthonormé.

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
  2. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
  3. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Justifier.
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Exercice 2

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 2$ et l'angle $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{3}$.

  1. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
  2. Calculer $|\vec{u} + \vec{v}|$.
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Exercice 3

Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A(2, -1)$ et admettant $\vec{n}(3, 2)$ comme vecteur normal.

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