Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — ECT

Suites et séries numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une série numérique $\sum u_n$ est la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ . La série converge si la suite $(S_n)$ admet une limite finie.

Série géométrique : $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q| < 1$ .
Série de Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ .
Condition nécessaire : Si $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ . (La réciproque est fausse).

Méthodes à maîtriser

Utiliser la définition : Calculer $S_n$ et chercher sa limite.
Critère de d'Alembert : Si $\lim_{n \to +\infty} |\frac{u_{n+1}}{u_n}| = \ell$ , alors si $\ell < 1$ ça converge, si $\ell > 1$ ça diverge.
Comparaison : Si $0 \leq u_n \leq v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
CSSA : Pour $\sum (-1)^n a_n$ avec $a_n \geq 0$ , si $(a_n)$ est décroissante et $\lim a_n = 0$ , alors la série converge.

Exemples corrigés

Série géométrique : $\sum (\frac{1}{3})^n$ . Ici $|q| = 1/3 < 1$ , donc la série converge.
Série harmonique : $\sum \frac{1}{n}$ diverge (série de Riemann avec $\alpha = 1$ ).

Erreurs fréquentes

Croire que $\lim u_n = 0$ implique la convergence de la série (ex: série harmonique).
Oublier de vérifier si la suite est décroissante avant d'appliquer le CSSA.
Confondre la convergence de la suite $(u_n)$ avec celle de la série $\sum u_n$ .

L'essentiel du cours

Une série numérique $\sum u_n$ est la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$. La série converge si la suite $(S_n)$ admet une limite finie.

Série géométrique : $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q| < 1$.
Série de Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
Condition nécessaire : Si $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. (La réciproque est fausse).

Méthodes à maîtriser

Utiliser la définition : Calculer $S_n$ et chercher sa limite.
Critère de d'Alembert : Si $\lim_{n \to +\infty} |\frac{u_{n+1}}{u_n}| = \ell$, alors si $\ell < 1$ ça converge, si $\ell > 1$ ça diverge.
Comparaison : Si $0 \leq u_n \leq v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
CSSA : Pour $\sum (-1)^n a_n$ avec $a_n \geq 0$, si $(a_n)$ est décroissante et $\lim a_n = 0$, alors la série converge.

Exemples corrigés

Série géométrique : $\sum (\frac{1}{3})^n$. Ici $|q| = 1/3 < 1$, donc la série converge.
Série harmonique : $\sum \frac{1}{n}$ diverge (série de Riemann avec $\alpha = 1$).

Erreurs fréquentes

Croire que $\lim u_n = 0$ implique la convergence de la série (ex: série harmonique).
Oublier de vérifier si la suite est décroissante avant d'appliquer le CSSA.
Confondre la convergence de la suite $(u_n)$ avec celle de la série $\sum u_n$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites et séries numériques

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La série $\sum \frac{1}{n^3}$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach wa7d la série kat9areb wla la ?

Vérifie d'abord si $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ . Si elle est différente de 0, la série diverge immédiatement.
Si $u_n$ est positive, utilise le critère de d'Alembert ou la comparaison avec une série de Riemann.
Si la série est alternée, utilise le CSSA (décroissance et limite nulle).

💡 À retenir : La condition $\lim u_n = 0$ est nécessaire mais pas suffisante.

Vérifie d'abord si $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. Si elle est différente de 0, la série diverge immédiatement.
Si $u_n$ est positive, utilise le critère de d'Alembert ou la comparaison avec une série de Riemann.
Si la série est alternée, utilise le CSSA (décroissance et limite nulle).

💡 À retenir : La condition $\lim u_n = 0$ est nécessaire mais pas suffisante.

Chno hiya la différence bin la suite w la série ?

La suite $(u_n)$ est une liste de nombres ordonnés.
La série $\sum u_n$ est la somme infinie de ces nombres.
La convergence de la suite concerne la valeur de $u_n$ quand $n$ est très grand, alors que la convergence de la série concerne la valeur de la somme totale.

💡 À retenir : Une suite peut converger vers 0 alors que la série associée diverge (ex: $u_n = 1/n$ ).

La suite $(u_n)$ est une liste de nombres ordonnés.
La série $\sum u_n$ est la somme infinie de ces nombres.
La convergence de la suite concerne la valeur de $u_n$ quand $n$ est très grand, alors que la convergence de la série concerne la valeur de la somme totale.

💡 À retenir : Une suite peut converger vers 0 alors que la série associée diverge (ex: $u_n = 1/n$).

Wach dima ila kanat la série kat9areb, l'moujmo3 dyalha houwa 0 ?

Non, absolument pas. La convergence signifie que la somme partielle $S_n$ tend vers un nombre réel fini $L$ . Ce nombre $L$ peut être n'importe quoi, pas forcément 0.

💡 À retenir : La limite de la somme partielle est la somme de la série, elle n'est pas limitée à 0.

Non, absolument pas. La convergence signifie que la somme partielle $S_n$ tend vers un nombre réel fini $L$. Ce nombre $L$ peut être n'importe quoi, pas forcément 0.

💡 À retenir : La limite de la somme partielle est la somme de la série, elle n'est pas limitée à 0.

Qu'est-ce qu'une série absolument convergente ?

Une série $\sum u_n$ est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues $\sum |u_n|$ converge.

💡 À retenir : Toute série absolument convergente est convergente.

Une série $\sum u_n$ est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues $\sum |u_n|$ converge.

💡 À retenir : Toute série absolument convergente est convergente.

Comment appliquer le critère de d'Alembert ?

Calcule le rapport $R_n = |\frac{u_{n+1}}{u_n}|$ .
Calcule la limite $\ell = \lim_{n \to +\infty} R_n$ .
Si $\ell < 1$ , la série converge. Si $\ell > 1$ , elle diverge. Si $\ell = 1$ , le critère ne conclut pas.

💡 À retenir : Le critère de d'Alembert est très efficace pour les factorielles et les puissances.

Calcule le rapport $R_n = |\frac{u_{n+1}}{u_n}|$.
Calcule la limite $\ell = \lim_{n \to +\infty} R_n$.
Si $\ell < 1$, la série converge. Si $\ell > 1$, elle diverge. Si $\ell = 1$, le critère ne conclut pas.

💡 À retenir : Le critère de d'Alembert est très efficace pour les factorielles et les puissances.

Qu'est-ce qu'une série de Riemann ?

C'est une série de la forme $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ où $\alpha$ est un réel.

💡 À retenir : Elle converge si et seulement si $\alpha > 1$ .

C'est une série de la forme $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ où $\alpha$ est un réel.

💡 À retenir : Elle converge si et seulement si $\alpha > 1$.

Peut-on sommer deux séries convergentes ?

Oui, si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent, alors $\sum (u_n + v_n)$ converge et sa somme est la somme des deux limites.

💡 À retenir : La linéarité est conservée pour les séries convergentes.

Oui, si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent, alors $\sum (u_n + v_n)$ converge et sa somme est la somme des deux limites.

💡 À retenir : La linéarité est conservée pour les séries convergentes.

Que faire si la limite du critère de d'Alembert est 1 ?

Le critère est inopérant. Il faut essayer une autre méthode comme la comparaison avec une série de Riemann ou une étude directe des sommes partielles.

💡 À retenir : Ne jamais conclure à la convergence si $\ell = 1$ avec d'Alembert.

Le critère est inopérant. Il faut essayer une autre méthode comme la comparaison avec une série de Riemann ou une étude directe des sommes partielles.

💡 À retenir : Ne jamais conclure à la convergence si $\ell = 1$ avec d'Alembert.

Quelle est la somme d'une série géométrique convergente ?

Pour une série $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n$ avec $|q| < 1$ , la somme est égale à $\frac{1}{1-q}$ .

💡 À retenir : La formule dépend de l'indice de départ (souvent 0).

Pour une série $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n$ avec $|q| < 1$, la somme est égale à $\frac{1}{1-q}$.

💡 À retenir : La formule dépend de l'indice de départ (souvent 0).

Qu'est-ce qu'une série alternée ?

C'est une série de la forme $\sum (-1)^n a_n$ ou $\sum (-1)^{n+1} a_n$ avec $a_n \geq 0$ .

💡 À retenir : On utilise le CSSA pour étudier sa convergence.

C'est une série de la forme $\sum (-1)^n a_n$ ou $\sum (-1)^{n+1} a_n$ avec $a_n \geq 0$.

💡 À retenir : On utilise le CSSA pour étudier sa convergence.

La série sum frac{1}{n^2} converge-t-elle ?

Oui, c'est une série de Riemann avec $\alpha = 2$ . Comme $2 > 1$ , elle converge.

💡 À retenir : Les séries de Riemann sont des outils de comparaison fondamentaux.

Oui, c'est une série de Riemann avec $\alpha = 2$. Comme $2 > 1$, elle converge.

💡 À retenir : Les séries de Riemann sont des outils de comparaison fondamentaux.

Pourquoi la série harmonique diverge-t-elle ?

Bien que $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ , la somme partielle $S_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n$ tend vers $+\infty$ quand $n \to +\infty$ .

💡 À retenir : La condition $\lim u_n = 0$ est nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

Bien que $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, la somme partielle $S_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n$ tend vers $+\infty$ quand $n \to +\infty$.

💡 À retenir : La condition $\lim u_n = 0$ est nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $u_n = \frac{1}{n^2 + n}$ . Montrer que la série $\sum u_n$ converge et calculer sa somme.

Exercice 1

Soit $u_n = \frac{1}{n^2 + n}$. Montrer que la série $\sum u_n$ converge et calculer sa somme.

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Exercice 2

Étudier la convergence de la série de terme général $u_n = \frac{n}{2^n}$ .

Exercice 2

Étudier la convergence de la série de terme général $u_n = \frac{n}{2^n}$.

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Exercice 3

Étudier la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ .

Exercice 3

Étudier la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}$.

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