Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — ECT

Fonctions de plusieurs variables

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ une fonction.

Dérivées partielles : $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h}$ . On dérive par rapport à $x$ en fixant $y$ .
Gradient : $\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix}$ .
Point critique : Point $(x_0, y_0)$ tel que $\nabla f(x_0, y_0) = \vec{0}$ .
Matrice Hessienne : $H_f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer les dérivées partielles : Appliquer les règles de dérivation usuelles en traitant les autres variables comme des constantes.
Rechercher les points critiques : Résoudre le système $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ .
Nature d'un point critique : Utiliser le déterminant de la Hessienne ( $det(H)$ ) et le signe de $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ .

Exemples corrigés

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x + 4y$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2$ ; $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 4$ .
Point critique : $2x-2=0 \implies x=1$ et $2y+4=0 \implies y=-2$ . Point $(1, -2)$ .
$H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . $det(H) = 4 > 0$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 > 0$ , donc c'est un minimum local.

Erreurs fréquentes

Oublier de traiter les variables non dérivées comme des constantes.
Confondre le gradient (vecteur) avec la Hessienne (matrice).
Oublier de vérifier la condition $det(H) > 0$ avant de conclure sur la nature du point critique.

L'essentiel du cours

Soit $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ une fonction.

Dérivées partielles : $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h}$. On dérive par rapport à $x$ en fixant $y$.
Gradient : $\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \ \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix}$.
Point critique : Point $(x_0, y_0)$ tel que $\nabla f(x_0, y_0) = \vec{0}$.
Matrice Hessienne : $H_f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer les dérivées partielles : Appliquer les règles de dérivation usuelles en traitant les autres variables comme des constantes.
Rechercher les points critiques : Résoudre le système $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$.
Nature d'un point critique : Utiliser le déterminant de la Hessienne ($det(H)$) et le signe de $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$.

Exemples corrigés

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x + 4y$.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2$ ; $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 4$.
Point critique : $2x-2=0 \implies x=1$ et $2y+4=0 \implies y=-2$. Point $(1, -2)$.
$H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$. $det(H) = 4 > 0$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 > 0$, donc c'est un minimum local.

Erreurs fréquentes

Oublier de traiter les variables non dérivées comme des constantes.
Confondre le gradient (vecteur) avec la Hessienne (matrice).
Oublier de vérifier la condition $det(H) > 0$ avant de conclure sur la nature du point critique.

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🎯 Fonctions de plusieurs variables

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Soit $f(x,y) = x^2y$ . La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ est :

Soit $f(x,y) = x^2y$. La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une dérivée normale et une dérivée partielle ?

Une dérivée normale s'applique à une fonction d'une seule variable $f(x)$ .
Une dérivée partielle s'applique à une fonction de plusieurs variables $f(x,y)$ .
Pour la dérivée partielle, on dérive par rapport à une variable en considérant toutes les autres comme des constantes.

💡 À retenir : La dérivée partielle est une dérivation "sélective".

Une dérivée normale s'applique à une fonction d'une seule variable $f(x)$.
Une dérivée partielle s'applique à une fonction de plusieurs variables $f(x,y)$.
Pour la dérivée partielle, on dérive par rapport à une variable en considérant toutes les autres comme des constantes.

💡 À retenir : La dérivée partielle est une dérivation "sélective".

Kifach n7seb l'gradient f'wahed l'point (a,b) ?

Tu calcules d'abord $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ de façon générale.
Tu remplaces $x$ par $a$ et $y$ par $b$ dans les deux expressions trouvées.
Tu écris le résultat sous forme de vecteur colonne ou ligne.

💡 À retenir : Le gradient est le vecteur des dérivées partielles évaluées au point donné.

Tu calcules d'abord $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ de façon générale.
Tu remplaces $x$ par $a$ et $y$ par $b$ dans les deux expressions trouvées.
Tu écris le résultat sous forme de vecteur colonne ou ligne.

💡 À retenir : Le gradient est le vecteur des dérivées partielles évaluées au point donné.

Chno hiya l'matrice Hessienne o imta kankhedmou biha ?

C'est une matrice carrée $2 \times 2$ qui contient les dérivées partielles d'ordre 2.
On l'utilise pour déterminer la nature d'un point critique (minimum, maximum ou point selle).
On calcule son déterminant et on regarde le signe de ses éléments.

💡 À retenir : La Hessienne permet d'étudier la courbure de la fonction au point critique.

C'est une matrice carrée $2 \times 2$ qui contient les dérivées partielles d'ordre 2.
On l'utilise pour déterminer la nature d'un point critique (minimum, maximum ou point selle).
On calcule son déterminant et on regarde le signe de ses éléments.

💡 À retenir : La Hessienne permet d'étudier la courbure de la fonction au point critique.

Wach dima ila l'gradient kaysawi zero, l'point katkon extremum ?

Non, pas forcément.
Un point critique peut être un maximum, un minimum, ou un point selle (col).
Il faut obligatoirement étudier la matrice Hessienne pour conclure.

💡 À retenir : Gradient nul = point critique, pas forcément extremum.

Comment savoir si un point critique est un point selle ?

Calcule le déterminant de la Hessienne $det(H)$ .
Si $det(H) < 0$ , alors le point est un point selle (il n'est ni max ni min).

💡 À retenir : $det(H) < 0$ signifie que la fonction monte dans une direction et descend dans l'autre.

Calcule le déterminant de la Hessienne $det(H)$.
Si $det(H) < 0$, alors le point est un point selle (il n'est ni max ni min).

💡 À retenir : $det(H) < 0$ signifie que la fonction monte dans une direction et descend dans l'autre.

Kifach n3ref l'domaine de définition dyal f(x,y) = ln(x+y) ?

La fonction $\ln(u)$ est définie si $u > 0$ .
Ici, il faut que $x+y > 0$ .
Le domaine est l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $y > -x$ .

💡 À retenir : Le domaine est une zone du plan délimitée par une droite.

La fonction $\ln(u)$ est définie si $u > 0$.
Ici, il faut que $x+y > 0$.
Le domaine est l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $y > -x$.

💡 À retenir : Le domaine est une zone du plan délimitée par une droite.

Est-ce que la continuité implique la dérivabilité pour plusieurs variables ?

Non, comme pour une seule variable, la continuité ne suffit pas.
Il faut que les dérivées partielles existent et soient continues.

💡 À retenir : La différentiabilité est une condition plus forte que la continuité.

Chno hiya l'relation bin l'gradient o l'plan tangent ?

Le gradient $\nabla f(x_0, y_0)$ est un vecteur normal au plan tangent à la surface au point $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ .
Il indique la direction de la plus forte pente.

💡 À retenir : Le gradient est perpendiculaire aux lignes de niveau.

Le gradient $\nabla f(x_0, y_0)$ est un vecteur normal au plan tangent à la surface au point $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$.
Il indique la direction de la plus forte pente.

💡 À retenir : Le gradient est perpendiculaire aux lignes de niveau.

Comment calculer les dérivées croisées frac{partial^2 f}{partial x partial y} ?

Tu calcules d'abord $\frac{\partial f}{\partial x}$ .
Tu dérives ensuite le résultat par rapport à $y$ .
Le théorème de Schwarz dit que si $f$ est $C^2$ , alors $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ .

💡 À retenir : L'ordre de dérivation n'importe pas si la fonction est assez régulière.

Tu calcules d'abord $\frac{\partial f}{\partial x}$.
Tu dérives ensuite le résultat par rapport à $y$.
Le théorème de Schwarz dit que si $f$ est $C^2$, alors $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$.

💡 À retenir : L'ordre de dérivation n'importe pas si la fonction est assez régulière.

Wach l'gradient kayt7seb ghir f'R2 ?

Non, il se généralise à $\mathbb{R}^n$ .
Si $f(x,y,z)$ , le gradient est un vecteur à 3 composantes.

💡 À retenir : Le gradient a autant de composantes que de variables.

Non, il se généralise à $\mathbb{R}^n$.
Si $f(x,y,z)$, le gradient est un vecteur à 3 composantes.

💡 À retenir : Le gradient a autant de composantes que de variables.

Comment interpréter le signe de det(H) ?

$det(H) > 0$ : Le point est un extremum (max ou min).
$det(H) < 0$ : Le point est un point selle.
$det(H) = 0$ : Cas douteux, on ne peut pas conclure avec cette méthode.

💡 À retenir : Le signe du déterminant est la clé de l'étude locale.

$det(H) > 0$ : Le point est un extremum (max ou min).
$det(H) < 0$ : Le point est un point selle.
$det(H) = 0$ : Cas douteux, on ne peut pas conclure avec cette méthode.

💡 À retenir : Le signe du déterminant est la clé de l'étude locale.

Kifach n7seb l'dérivée partielle f'wahed l'point b'ta3rif (limite) ?

Tu poses la limite du taux d'accroissement : $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h}$ .
Tu remplaces $f$ par son expression.
Tu simplifies par $h$ pour lever l'indétermination.

💡 À retenir : La limite est la définition fondamentale, la règle de dérivation est un raccourci.

Tu poses la limite du taux d'accroissement : $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h}$.
Tu remplaces $f$ par son expression.
Tu simplifies par $h$ pour lever l'indétermination.