Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — ECT

Réduction des endomorphismes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ .

Valeurs propres : $\lambda$ est valeur propre si $\exists x \neq 0$ tel que $f(x) = \lambda x$ .
Polynôme caractéristique : $P_f(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)$ . Les racines de $P_f$ sont les valeurs propres.
Sous-espace propre : $E_\lambda = \ker(f - \lambda Id)$ .
Diagonalisation : $f$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à $n$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer $P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ .
Résoudre le système $(A - \lambda I)X = 0$ pour trouver les vecteurs propres.
Vérifier si la somme des multiplicités géométriques égale $n$ .
Calculer les puissances d'une matrice : $A^k = P D^k P^{-1}$ .

Exemples corrigés

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . $P_A(\lambda) = \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)$ . Valeurs propres : $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$ . Comme les valeurs propres sont distinctes, $A$ est diagonalisable.

Erreurs fréquentes

Oublier que $x$ doit être non nul pour un vecteur propre.
Confondre multiplicité algébrique et géométrique.
Oublier de vérifier si $P$ est inversible lors de la diagonalisation.

L'essentiel du cours

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f \in \mathcal{L}(E)$.

Valeurs propres : $\lambda$ est valeur propre si $\exists x \neq 0$ tel que $f(x) = \lambda x$.
Polynôme caractéristique : $P_f(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)$. Les racines de $P_f$ sont les valeurs propres.
Sous-espace propre : $E_\lambda = \ker(f - \lambda Id)$.
Diagonalisation : $f$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à $n$.

Méthodes à maîtriser

Calculer $P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$.
Résoudre le système $(A - \lambda I)X = 0$ pour trouver les vecteurs propres.
Vérifier si la somme des multiplicités géométriques égale $n$.
Calculer les puissances d'une matrice : $A^k = P D^k P^{-1}$.

Exemples corrigés

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$. $P_A(\lambda) = \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)$. Valeurs propres : $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$. Comme les valeurs propres sont distinctes, $A$ est diagonalisable.

Erreurs fréquentes

Oublier que $x$ doit être non nul pour un vecteur propre.
Confondre multiplicité algébrique et géométrique.
Oublier de vérifier si $P$ est inversible lors de la diagonalisation.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Réduction des endomorphismes

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Soit $A$ une matrice $3 \times 3$ ayant 3 valeurs propres distinctes. Alors :

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'une matrice avec des zéros sur la diagonale est toujours non diagonalisable ?

Non, pas du tout. La diagonalisabilité dépend des valeurs propres et de la dimension des sous-espaces propres, pas seulement des éléments de la diagonale. Par exemple, la matrice nulle est diagonale (donc diagonalisable) et ses éléments diagonaux sont nuls.

💡 À retenir : Seule la structure du polynôme caractéristique et la dimension des noyaux déterminent la diagonalisabilité.

Kifach n7seb l'matrice P li kat diagonaliser A ?

Tl9a ga3 les valeurs propres $\lambda_i$ .
Lkol $\lambda_i$ , 7seb l'base dyal $E_{\lambda_i}$ (l'vcteurs propres).
L'matrice $P$ hiya l'matrice li les colonnes dyalha homa les vecteurs li l9iti.

💡 À retenir : L'ordre des colonnes dans $P$ doit correspondre à l'ordre des valeurs propres dans $D$ .

Tl9a ga3 les valeurs propres $\lambda_i$.
Lkol $\lambda_i$, 7seb l'base dyal $E_{\lambda_i}$ (l'vcteurs propres).
L'matrice $P$ hiya l'matrice li les colonnes dyalha homa les vecteurs li l9iti.

💡 À retenir : L'ordre des colonnes dans $P$ doit correspondre à l'ordre des valeurs propres dans $D$.

Chno hiya l'far9 bin multiplicité algébrique et géométrique ?

La multiplicité algébrique est l'ordre de la racine $\lambda$ dans le polynôme caractéristique. La multiplicité géométrique est la dimension du sous-espace propre $E_\lambda$ . On a toujours $1 \leq \dim(E_\lambda) \leq \text{mult}(\lambda)$ .

💡 À retenir : $A$ est diagonalisable ssi $\dim(E_\lambda) = \text{mult}(\lambda)$ pour chaque valeur propre.

La multiplicité algébrique est l'ordre de la racine $\lambda$ dans le polynôme caractéristique. La multiplicité géométrique est la dimension du sous-espace propre $E_\lambda$. On a toujours $1 \leq \dim(E_\lambda) \leq \text{mult}(\lambda)$.

💡 À retenir : $A$ est diagonalisable ssi $\dim(E_\lambda) = \text{mult}(\lambda)$ pour chaque valeur propre.

Wach ila kan det(A) = 0, A makatkonch diagonalisable ?

Non, ça n'a aucun rapport. $det(A)=0$ signifie juste que $0$ est valeur propre de $A$ . Une matrice peut avoir $0$ comme valeur propre et être parfaitement diagonalisable.

💡 À retenir : La valeur propre $0$ est tout à fait autorisée.

Non, ça n'a aucun rapport. $det(A)=0$ signifie juste que $0$ est valeur propre de $A$. Une matrice peut avoir $0$ comme valeur propre et être parfaitement diagonalisable.

💡 À retenir : La valeur propre $0$ est tout à fait autorisée.

Kifach n3ref wach matrice diagonalisable bla ma n7seb P ?

Ila kan l'polynôme caractéristique 3ndo $n$ racines distinctes, rah A diagonalisable automatiquement. Sinon, khassek t7seb $\dim(E_\lambda)$ l'ga3 les valeurs propres.

💡 À retenir : Racines distinctes $\implies$ diagonalisable.

Ila kan l'polynôme caractéristique 3ndo $n$ racines distinctes, rah A diagonalisable automatiquement. Sinon, khassek t7seb $\dim(E_\lambda)$ l'ga3 les valeurs propres.

💡 À retenir : Racines distinctes $\implies$ diagonalisable.

Est-ce que la trace d'une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres ?

Oui, c'est une propriété fondamentale. La trace d'une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité).

💡 À retenir : $\text{Tr}(A) = \sum \lambda_i$ .

Oui, c'est une propriété fondamentale. La trace d'une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité).

💡 À retenir : $\text{Tr}(A) = \sum \lambda_i$.

Est-ce que le produit des valeurs propres est égal au déterminant ?

Oui, le déterminant d'une matrice est égal au produit de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité).

💡 À retenir : $\det(A) = \prod \lambda_i$ .

Oui, le déterminant d'une matrice est égal au produit de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité).

💡 À retenir : $\det(A) = \prod \lambda_i$.

Wach momkin n9olo 3la matrice diagonalisable ila kanet symétrique ?

Oui, dans le cas des matrices réelles, toute matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral).

💡 À retenir : Symétrique $\implies$ diagonalisable.

Oui, dans le cas des matrices réelles, toute matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral).

💡 À retenir : Symétrique $\implies$ diagonalisable.

Comment calculer A^n rapidement ?

Si $A = PDP^{-1}$ , alors $A^n = P D^n P^{-1}$ . Comme $D$ est diagonale, $D^n$ est facile à calculer (on met les puissances sur la diagonale).

💡 À retenir : La diagonalisation est l'outil principal pour les puissances de matrices.

Si $A = PDP^{-1}$, alors $A^n = P D^n P^{-1}$. Comme $D$ est diagonale, $D^n$ est facile à calculer (on met les puissances sur la diagonale).

💡 À retenir : La diagonalisation est l'outil principal pour les puissances de matrices.

Est-ce qu'une matrice triangulaire est toujours diagonalisable ?

Non. Une matrice triangulaire est diagonalisable si et seulement si les éléments de sa diagonale sont distincts ou si les dimensions des sous-espaces propres correspondent aux multiplicités.

💡 À retenir : Être triangulaire ne suffit pas.

Est-ce que Elambda est un espace vectoriel ?

Oui, $E_\lambda = \ker(f - \lambda Id)$ est le noyau d'une application linéaire, donc c'est un sous-espace vectoriel de $E$ .

💡 À retenir : C'est toujours un sous-espace vectoriel.

Oui, $E_\lambda = \ker(f - \lambda Id)$ est le noyau d'une application linéaire, donc c'est un sous-espace vectoriel de $E$.

💡 À retenir : C'est toujours un sous-espace vectoriel.

Est-ce qu'on peut diagonaliser une matrice complexe dans mathbb{R} ?

Non, si les valeurs propres sont complexes, la matrice n'est pas diagonalisable dans $\mathbb{R}$ . Il faut travailler dans $\mathbb{C}$ .

💡 À retenir : La diagonalisabilité dépend du corps de base.

Non, si les valeurs propres sont complexes, la matrice n'est pas diagonalisable dans $\mathbb{R}$. Il faut travailler dans $\mathbb{C}$.

💡 À retenir : La diagonalisabilité dépend du corps de base.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Calculer le polynôme caractéristique de $A$ .
Déterminer les valeurs propres de $A$ .
$A$ est-elle diagonalisable ? Justifier.

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \ 2 & 0 \end{pmatrix}$.

Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
Déterminer les valeurs propres de $A$.
$A$ est-elle diagonalisable ? Justifier.

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Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.
Trouver le sous-espace propre associé à la valeur propre unique.

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.
Trouver le sous-espace propre associé à la valeur propre unique.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Déterminer les valeurs propres de $A$ .
Montrer que $A$ est diagonalisable.
Déterminer une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A = PDP^{-1}$ .

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Déterminer les valeurs propres de $A$.
Montrer que $A$ est diagonalisable.
Déterminer une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A = PDP^{-1}$.

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