📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
- Estimateur : Soit $X$ une variable aléatoire de loi dépendant d'un paramètre $\theta$. Un estimateur de $\theta$ est une variable aléatoire $T_n = f(X_1, ..., X_n)$.
- Qualités d'un estimateur :
- Sans biais : $E[T_n] = \theta$.
- Variance minimale : On cherche l'estimateur le plus précis.
- Estimation de la moyenne : Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, la moyenne empirique $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum X_i$ est un estimateur sans biais de $\mu$.
- Intervalle de confiance : Pour un niveau de confiance $1-\alpha$, l'intervalle est $I = [\bar{X}n - u{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X}n + u{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$, où $u_{1-\alpha/2}$ est le quantile de la loi normale centrée réduite.
Méthodes à maîtriser
- Vérifier si un estimateur est sans biais en calculant son espérance.
- Calculer la variance d'un estimateur pour comparer sa précision.
- Déterminer la taille minimale $n$ d'un échantillon pour une précision donnée (amplitude de l'intervalle).
- Utiliser la table de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$.
Exemples corrigés
- Exemple 1 : Soit $X_1, ..., X_n$ un échantillon. $E[\bar{X}_n] = E[\frac{1}{n}\sum X_i] = \frac{1}{n} \sum E[X_i] = \frac{1}{n} (n\mu) = \mu$. Donc $\bar{X}_n$ est sans biais.
- Exemple 2 : Pour un niveau de confiance de 95%, $\alpha = 0,05$, donc $u_{0,975} \approx 1,96$.
Erreurs fréquentes
- Confondre la variance de la population $\sigma^2$ et la variance de l'estimateur $\frac{\sigma^2}{n}$.
- Oublier de diviser par $\sqrt{n}$ dans la formule de l'intervalle de confiance.
- Utiliser la loi normale alors que l'échantillon est trop petit (n < 30) sans précision sur la loi de la population.