Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — ECT

Variables aléatoires discrètes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire discrète $X$ est une application de l'univers $\Omega$ vers un ensemble fini de réels $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ .

Loi de probabilité : définie par $P(X=x_i) = p_i$ avec $\sum p_i = 1$ .
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i$ .
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ où $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ .
Loi Binomiale : $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ alors $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ .

Méthodes à maîtriser

Construction du tableau : Toujours vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.
Calcul de l'espérance : Utiliser la linéarité $E(aX+b) = aE(X)+b$ .
Loi binomiale : Identifier le nombre d'épreuves $n$ , le succès $p$ et le nombre de succès $k$ .

Exemples corrigés

Exemple : $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(3, 0.5)$ . $P(X=1) = \binom{3}{1} (0.5)^1 (0.5)^2 = 3 \times 0.5 \times 0.25 = 0.375$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $V(X) \geq 0$ .
Confondre $E(X^2)$ avec $(E(X))^2$ .
Utiliser la loi binomiale sans vérifier l'indépendance des épreuves.

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire discrète $X$ est une application de l'univers $\Omega$ vers un ensemble fini de réels ${x_1, x_2, \dots, x_n}$.

Loi de probabilité : définie par $P(X=x_i) = p_i$ avec $\sum p_i = 1$.
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i$.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ où $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$.
Loi Binomiale : $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ alors $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

Méthodes à maîtriser

Construction du tableau : Toujours vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.
Calcul de l'espérance : Utiliser la linéarité $E(aX+b) = aE(X)+b$.
Loi binomiale : Identifier le nombre d'épreuves $n$, le succès $p$ et le nombre de succès $k$.

Exemples corrigés

Exemple : $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(3, 0.5)$. $P(X=1) = \binom{3}{1} (0.5)^1 (0.5)^2 = 3 \times 0.5 \times 0.25 = 0.375$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $V(X) \geq 0$.
Confondre $E(X^2)$ avec $(E(X))^2$.
Utiliser la loi binomiale sans vérifier l'indépendance des épreuves.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Variables aléatoires discrètes

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Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , alors $E(X)$ est égale à :

Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, alors $E(X)$ est égale à :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'espérance peut être négative ?

Oui, l'espérance est une moyenne pondérée. Si les valeurs prises par la variable aléatoire sont négatives, l'espérance sera négative.

💡 À retenir : L'espérance n'est pas une probabilité, elle n'est pas limitée à l'intervalle [0, 1].

Kifach n3ref wach nst3mel la loi binomiale wla la ?

Chof wach 3ndek tajriba kat3awed bzaf d l-merrat (n).
Chof wach kol merra 3ndek ghir 2 natijat (njah aw fachal).
Chof wach l-ihtimal (p) tayb9a howa howa.

💡 À retenir : Ila t7e99o had 3 d chourout, diri loi binomiale direct.

C'est quoi la différence entre V(X) et sigma(X) ?

$V(X)$ est la variance, elle mesure la dispersion au carré. $\sigma(X)$ est l'écart-type, c'est la racine carrée de la variance.

💡 À retenir : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ , il est plus facile à interpréter car il a la même unité que $X$ .

$V(X)$ est la variance, elle mesure la dispersion au carré. $\sigma(X)$ est l'écart-type, c'est la racine carrée de la variance.

💡 À retenir : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$, il est plus facile à interpréter car il a la même unité que $X$.

Chno hiya l-far9 bin variable aléatoire discrète w variable continue ?

Discrète = qiyam li momkin n7sbohom (1, 2, 3...). Continue = qiyam f intervalle (mathalan l-waqt).

💡 À retenir : F l-ECT, kankhedmo ghir b discrète.

Est-ce que la somme des probabilités peut être différente de 1 ?

Jamais. Si la somme est différente de 1, alors ton tableau de loi de probabilité est faux.

💡 À retenir : $\sum P(X=x_i) = 1$ est la condition sine qua non.

Jamais. Si la somme est différente de 1, alors ton tableau de loi de probabilité est faux.

💡 À retenir : $\sum P(X=x_i) = 1$ est la condition sine qua non.

Kifach n7seb V(X) ila kan l-calcul s3ib ?

St3mli l-formula $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ . Hssbi $E(X^2)$ bohdha b l-qiyam dyal $x_i^2$ .

💡 À retenir : $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ .

St3mli l-formula $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. Hssbi $E(X^2)$ bohdha b l-qiyam dyal $x_i^2$.

💡 À retenir : $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$.

Si X et Y sont indépendantes, est-ce que V(X+Y) = V(X) + V(Y) ?

Oui, c'est une propriété fondamentale des variables aléatoires indépendantes.

💡 À retenir : La variance de la somme est la somme des variances seulement si elles sont indépendantes.

Est-ce que P(X=k) peut être supérieure à 1 ?

Non, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

💡 À retenir : Si tu trouves un résultat > 1, vérifie tes calculs de factorielles ou de puissances.

C'est quoi l'intérêt de l'espérance dans la vie réelle ?

Elle permet de prévoir le résultat moyen d'un jeu ou d'un investissement sur le long terme.

💡 À retenir : C'est le "gain moyen" espéré.

Comment calculer P(X leq 2) ?

Il faut sommer les probabilités : $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ .

💡 À retenir : Pour les variables discrètes, on additionne les probabilités des valeurs concernées.

Il faut sommer les probabilités : $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.

💡 À retenir : Pour les variables discrètes, on additionne les probabilités des valeurs concernées.

Est-ce que la loi binomiale s'applique si on tire sans remise ?

Non, car les probabilités changent à chaque tirage. Il faut le tirage avec remise pour avoir l'indépendance.

💡 À retenir : Loi binomiale = indépendance = avec remise.

Pourquoi on utilise binom{n}{k} ?

C'est le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ essais.

💡 À retenir : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

C'est le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ essais.

💡 À retenir : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules : 3 rouges et 2 blanches. On tire 2 boules simultanément. $X$ est le nombre de boules rouges obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Exercice 1

Une urne contient 5 boules : 3 rouges et 2 blanches. On tire 2 boules simultanément. $X$ est le nombre de boules rouges obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

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Exercice 2

Un QCM comporte 10 questions. Chaque question a 4 choix dont 1 seul est juste. Un étudiant répond au hasard. $X$ est le nombre de bonnes réponses.

Quelle est la loi de $X$ ?
Calculer $P(X=2)$ .

Exercice 2

Un QCM comporte 10 questions. Chaque question a 4 choix dont 1 seul est juste. Un étudiant répond au hasard. $X$ est le nombre de bonnes réponses.

Quelle est la loi de $X$ ?
Calculer $P(X=2)$.

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Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E(X)=2$ et $E(X^2)=8$ . Soit $Y = 3X - 1$ . Calculer $V(Y)$ .

Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E(X)=2$ et $E(X^2)=8$. Soit $Y = 3X - 1$. Calculer $V(Y)$.

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