Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — ECT

Probabilités sur un univers fini

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $\Omega$ un univers fini. Une probabilité $P$ sur $\Omega$ est une application de $\mathcal{P}(\Omega)$ dans $[0, 1]$ telle que $P(\Omega)=1$ et pour tout couple d'événements disjoints $(A, B)$ , $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Probabilité conditionnelle : Si $P(B) > 0$ , alors $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
Formule des probabilités totales : Si $(A_i)_{i \in I}$ est un système complet d'événements, alors $P(B) = \sum_{i \in I} P(B|A_i)P(A_i)$ .
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ .

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les combinaisons $\binom{n}{k}$ pour les tirages sans remise et sans ordre.
Arbres pondérés : Indispensables pour visualiser les probabilités conditionnelles.
Passage au complémentaire : Utiliser $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ pour simplifier les calculs (ex: "au moins un").

Exemples corrigés

Exemple : Tirage de 2 boules parmi 5 (3 rouges, 2 noires). $P(2 \text{ rouges}) = \frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{3}{10}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre tirage avec remise (indépendance) et sans remise (dépendance).
Oublier de vérifier que la somme des probabilités d'un système complet vaut 1.
Appliquer la formule $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ sans vérifier l'indépendance.

L'essentiel du cours

Probabilité conditionnelle : Si $P(B) > 0$, alors $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Formule des probabilités totales : Si $(A_i){i \in I}$ est un système complet d'événements, alors $P(B) = \sum{i \in I} P(B|A_i)P(A_i)$.
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les combinaisons $\binom{n}{k}$ pour les tirages sans remise et sans ordre.
Arbres pondérés : Indispensables pour visualiser les probabilités conditionnelles.
Passage au complémentaire : Utiliser $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ pour simplifier les calculs (ex: "au moins un").

Exemples corrigés

Exemple : Tirage de 2 boules parmi 5 (3 rouges, 2 noires). $P(2 \text{ rouges}) = \frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{3}{10}$.

Erreurs fréquentes

Confondre tirage avec remise (indépendance) et sans remise (dépendance).
Oublier de vérifier que la somme des probabilités d'un système complet vaut 1.
Appliquer la formule $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ sans vérifier l'indépendance.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Probabilités sur un univers fini

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Dans une urne de 5 boules, tirer 2 boules simultanément correspond à :

❓ Questions fréquentes

Wach n9der nkhdem b'l'arbre f'koulchi ?

Oui, l'arbre est très utile pour les expériences à deux ou trois étapes.

💡 À retenir : Si l'expérience a plus de 3 étapes, l'arbre devient illisible, privilégie les formules.

Comment calculer P(A cup B) si les événements ne sont pas disjoints ?

Utilise la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de soustraire l'intersection.

Utilise la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de soustraire l'intersection.

C'est quoi la différence entre "avec remise" et "sans remise" ?

Avec remise : Les tirages sont indépendants. La probabilité reste la même à chaque tirage.
Sans remise : Les tirages sont dépendants. La composition de l'urne change après chaque tirage.

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = combinaisons.

Kifach n3ref wach l'événements indépendants wla la ?

Calcule $P(A \cap B)$ .
Calcule $P(A) \times P(B)$ .
Si les deux résultats sont égaux, alors ils sont indépendants.

💡 À retenir : L'indépendance n'est pas intuitive, il faut toujours vérifier par le calcul.

Calcule $P(A \cap B)$.
Calcule $P(A) \times P(B)$.
Si les deux résultats sont égaux, alors ils sont indépendants.

💡 À retenir : L'indépendance n'est pas intuitive, il faut toujours vérifier par le calcul.

Chno hiya l'formule des probabilités totales ?

C'est une méthode pour calculer $P(B)$ quand on connaît $B$ par rapport à plusieurs cas possibles $A_i$ .

Vérifie que $(A_i)$ forment une partition de l'univers.
Applique $P(B) = \sum P(B|A_i)P(A_i)$ .

💡 À retenir : C'est l'outil principal pour les exercices avec des étapes successives.

C'est une méthode pour calculer $P(B)$ quand on connaît $B$ par rapport à plusieurs cas possibles $A_i$.

Vérifie que $(A_i)$ forment une partition de l'univers.
Applique $P(B) = \sum P(B|A_i)P(A_i)$.

💡 À retenir : C'est l'outil principal pour les exercices avec des étapes successives.

Chno hiya l'différence entre arrangement et combinaison ?

Arrangement : L'ordre compte (ex: podium).
Combinaison : L'ordre ne compte pas (ex: main de cartes).

💡 À retenir : Si on dit "tirage simultané", c'est toujours une combinaison.

Est-ce que P(A|B) = P(B|A) ?

Non, sauf cas très particuliers. Ce sont deux probabilités différentes.

💡 À retenir : Utilise la formule de Bayes pour passer de l'un à l'autre.

Kifach n7seb l'i7timal dyal "au moins un" ?

Utilise l'événement contraire : $P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun})$ .

💡 À retenir : C'est l'astuce la plus efficace pour gagner du temps.

Utilise l'événement contraire : $P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun})$.

💡 À retenir : C'est l'astuce la plus efficace pour gagner du temps.

Wach l'probabilité t9der tkon kber men 1 ?

Jamais. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

💡 À retenir : Si tu trouves un résultat $>1$ , vérifie immédiatement tes calculs.

Jamais. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

💡 À retenir : Si tu trouves un résultat $>1$, vérifie immédiatement tes calculs.

C'est quoi un système complet d'événements ?

C'est une famille d'événements $(A_i)$ tels que leur union est $\Omega$ et ils sont deux à deux disjoints.

💡 À retenir : Ils couvrent toutes les possibilités sans chevauchement.

C'est une famille d'événements $(A_i)$ tels que leur union est $\Omega$ et ils sont deux à deux disjoints.

💡 À retenir : Ils couvrent toutes les possibilités sans chevauchement.

Kifach n3ref wach nsta3mel l'arrangement A(n,k) ou la combinaison C(n,k) ?

Si l'ordre est important : $A_n^k$ .
Si l'ordre n'est pas important : $C_n^k$ .

💡 À retenir : "Simultanément" = Combinaison. "Successivement sans remise" = Arrangement.

Si l'ordre est important : $A_n^k$.
Si l'ordre n'est pas important : $C_n^k$.

💡 À retenir : "Simultanément" = Combinaison. "Successivement sans remise" = Arrangement.

Wach n9der nkhdem b'la loi binomiale f'had l'chapitre ?

Oui, si tu as une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

💡 À retenir : Vérifie bien l'indépendance avant d'appliquer $B(n, p)$ .

Oui, si tu as une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

💡 À retenir : Vérifie bien l'indépendance avant d'appliquer $B(n, p)$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire 3 boules simultanément. Calculer la probabilité d'obtenir :

Trois boules blanches.
Au moins une boule blanche.

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Exercice 2

Deux urnes $U_1$ (2B, 3N) et $U_2$ (4B, 1N). On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule. Quelle est la probabilité que la boule soit blanche ?

Exercice 2

Deux urnes $U_1$ (2B, 3N) et $U_2$ (4B, 1N). On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule. Quelle est la probabilité que la boule soit blanche ?

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Exercice 3

On lance un dé équilibré 3 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois le chiffre 6 ?

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