Statistiques · Commerce & gestion — FSJES — Économie & gestion

Lois de probabilité usuelles (Binomiale, Poisson, Normale)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Loi Binomiale $B(n, p)$ : Utilisée pour $n$ $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli.
- $P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
- $E(X) = n \cdot p$ ; $V(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$
Loi de Poisson $P(\lambda)$ : Utilisée pour compter des événements rares.
- $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$
- $E(X) = \lambda$ ; $V(X) = \lambda$
Loi Normale $N(\mu, \sigma^2)$ : Loi continue définie par la densité $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$ $f (x) = \frac{1}{σ 2 π} e^{- \frac{1}{2} (\frac{x - μ}{σ})^{2}}$ .
- Pour calculer $P(X \leq x)$ , on utilise la variable centrée réduite $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ où $Z \sim N(0,1)$ .

Méthodes à maîtriser

Reconnaître la loi : Binomiale (n fini, succès/échec), Poisson (événements rares, pas de borne supérieure), Normale (données continues, moyenne et écart-type connus).
Utilisation de la table $N(0,1)$ : Savoir lire $P(Z \leq z)$ et utiliser la symétrie $P(Z \geq z) = 1 - P(Z \leq z)$ .
Passage de Binomiale à Poisson : Si $n \geq 30$ , $p \leq 0.1$ et $n \cdot p < 10$ , on peut approximer $B(n, p)$ par $P(\lambda)$ avec $\lambda = n \cdot p$ .

Exemples corrigés

Binomiale : $X \sim B(5, 0.2)$ . $P(X=1) = C_5^1 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^4 = 5 \cdot 0.2 \cdot 0.4096 = 0.4096$ .
Normale : $X \sim N(100, 25)$ . Calculer $P(X \leq 110)$ . $Z = \frac{110-100}{5} = 2$ . Donc $P(X \leq 110) = \Pi(2) \approx 0.9772$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $P(X=k) = 0$ pour une loi continue (Normale).
Confondre $\sigma$ (écart-type) et $\sigma^2$ (variance) dans la notation $N(\mu, \sigma^2)$ .
Utiliser la loi binomiale alors que les tirages sont sans remise (il faut alors utiliser la loi hypergéométrique, mais attention : si la population est grande, on peut approximer par la binomiale).

L'essentiel du cours

Loi Binomiale $B(n, p)$ : Utilisée pour $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli.
- $P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
- $E(X) = n \cdot p$ ; $V(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$
Loi de Poisson $P(\lambda)$ : Utilisée pour compter des événements rares.
- $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$
- $E(X) = \lambda$ ; $V(X) = \lambda$
Loi Normale $N(\mu, \sigma^2)$ : Loi continue définie par la densité $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$.
- Pour calculer $P(X \leq x)$, on utilise la variable centrée réduite $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ où $Z \sim N(0,1)$.

Méthodes à maîtriser

Reconnaître la loi : Binomiale (n fini, succès/échec), Poisson (événements rares, pas de borne supérieure), Normale (données continues, moyenne et écart-type connus).
Utilisation de la table $N(0,1)$ : Savoir lire $P(Z \leq z)$ et utiliser la symétrie $P(Z \geq z) = 1 - P(Z \leq z)$.
Passage de Binomiale à Poisson : Si $n \geq 30$, $p \leq 0.1$ et $n \cdot p < 10$, on peut approximer $B(n, p)$ par $P(\lambda)$ avec $\lambda = n \cdot p$.

Exemples corrigés

Binomiale : $X \sim B(5, 0.2)$. $P(X=1) = C_5^1 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^4 = 5 \cdot 0.2 \cdot 0.4096 = 0.4096$.
Normale : $X \sim N(100, 25)$. Calculer $P(X \leq 110)$. $Z = \frac{110-100}{5} = 2$. Donc $P(X \leq 110) = \Pi(2) \approx 0.9772$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $P(X=k) = 0$ pour une loi continue (Normale).
Confondre $\sigma$ (écart-type) et $\sigma^2$ (variance) dans la notation $N(\mu, \sigma^2)$.
Utiliser la loi binomiale alors que les tirages sont sans remise (il faut alors utiliser la loi hypergéométrique, mais attention : si la population est grande, on peut approximer par la binomiale).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Lois de probabilité usuelles (Binomiale, Poisson, Normale)

1/4

Pour une loi binomiale $B(n, p)$ , l'espérance est :

Pour une loi binomiale $B(n, p)$, l'espérance est :

❓ Questions fréquentes

Peut-on avoir une probabilité supérieure à 1 ?

Non, jamais. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : $0 \leq P(X) \leq 1$ .

Non, jamais. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : $0 \leq P(X) \leq 1$.

Quelle est la différence entre une variable discrète et continue ?

Une variable discrète prend des valeurs isolées (ex: nombre de clients, nombre de pièces défectueuses). On utilise des sommes.
Une variable continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (ex: poids, temps d'attente, chiffre d'affaires). On utilise des intégrales (ou la table de la loi normale).

💡 À retenir : Discrète = comptage (entiers) ; Continue = mesure (réels).

Kifach n3ref wach nst3mel loi binomiale wla Poisson ?

Loi Binomiale : Tu as un nombre fixe d'essais ( $n$ ) et une probabilité de succès constante ( $p$ ).
Loi de Poisson : Tu n'as pas de nombre d'essais défini, mais un taux moyen d'occurrence ( $\lambda$ ) sur une période ou une surface donnée.

💡 À retenir : Si tu as $n$ et $p$ , c'est Binomiale. Si tu as une moyenne par unité de temps, c'est Poisson.

Loi Binomiale : Tu as un nombre fixe d'essais ($n$) et une probabilité de succès constante ($p$).
Loi de Poisson : Tu n'as pas de nombre d'essais défini, mais un taux moyen d'occurrence ($\lambda$) sur une période ou une surface donnée.

💡 À retenir : Si tu as $n$ et $p$, c'est Binomiale. Si tu as une moyenne par unité de temps, c'est Poisson.

Est-ce que la somme des probabilités d'une loi normale est égale à 1 ?

Oui, comme pour toute loi de probabilité, l'aire totale sous la courbe de Gauss est égale à 1.

💡 À retenir : $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$ .

Oui, comme pour toute loi de probabilité, l'aire totale sous la courbe de Gauss est égale à 1.

💡 À retenir : $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$.

Chno hiya "centrage et réduction" f loi normale ?

C'est une technique pour transformer n'importe quelle loi normale $N(\mu, \sigma^2)$ en une loi normale centrée réduite $N(0,1)$ pour pouvoir utiliser la table statistique.

On soustrait la moyenne : $X - \mu$ .
On divise par l'écart-type : $(X - \mu) / \sigma$ .

💡 À retenir : $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ permet de lire directement les probabilités dans la table.

C'est une technique pour transformer n'importe quelle loi normale $N(\mu, \sigma^2)$ en une loi normale centrée réduite $N(0,1)$ pour pouvoir utiliser la table statistique.

On soustrait la moyenne : $X - \mu$.
On divise par l'écart-type : $(X - \mu) / \sigma$.

💡 À retenir : $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ permet de lire directement les probabilités dans la table.

Kifach n7seb P(X geq k) f loi binomiale ila kan n kbir ?

Si $n$ est très grand, le calcul direct est long. Tu peux utiliser l'événement contraire : $P(X \geq k) = 1 - P(X < k)$ . Si les conditions sont réunies, tu peux aussi approximer par la loi normale.

💡 À retenir : L'événement contraire simplifie souvent les calculs.

Si $n$ est très grand, le calcul direct est long. Tu peux utiliser l'événement contraire : $P(X \geq k) = 1 - P(X < k)$. Si les conditions sont réunies, tu peux aussi approximer par la loi normale.

💡 À retenir : L'événement contraire simplifie souvent les calculs.

C'est quoi le paramètre lambda dans la loi de Poisson ?

$\lambda$ représente le nombre moyen d'événements qui se produisent dans l'intervalle de temps ou d'espace considéré.

💡 À retenir : $\lambda = E(X) = V(X)$ .

$\lambda$ représente le nombre moyen d'événements qui se produisent dans l'intervalle de temps ou d'espace considéré.

💡 À retenir : $\lambda = E(X) = V(X)$.

La loi normale est-elle symétrique ?

Oui, la courbe de Gauss est parfaitement symétrique par rapport à sa moyenne $\mu$ .

💡 À retenir : $P(X \leq \mu) = 0.5$ .

Oui, la courbe de Gauss est parfaitement symétrique par rapport à sa moyenne $\mu$.

💡 À retenir : $P(X \leq \mu) = 0.5$.

Pourquoi on utilise Cn^k dans la loi binomiale ?

Parce que l'ordre des succès n'a pas d'importance. $C_n^k$ compte le nombre de façons différentes de choisir $k$ succès parmi $n$ essais.

💡 À retenir : $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

Parce que l'ordre des succès n'a pas d'importance. $C_n^k$ compte le nombre de façons différentes de choisir $k$ succès parmi $n$ essais.

💡 À retenir : $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Est-ce que la variance peut être négative ?

Non, la variance est une somme de carrés, elle est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $V(X) \geq 0$ .

Non, la variance est une somme de carrés, elle est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $V(X) \geq 0$.

Est-ce que la loi normale s'arrête à 3 ou 4 écarts-types ?

Théoriquement, la courbe s'étend de $-\infty$ à $+\infty$ . Mais pratiquement, à plus de 3 ou 4 écarts-types, la probabilité est tellement proche de 0 qu'on la considère comme nulle.

💡 À retenir : 99.7% des données sont situées dans l'intervalle $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$ .

Théoriquement, la courbe s'étend de $-\infty$ à $+\infty$. Mais pratiquement, à plus de 3 ou 4 écarts-types, la probabilité est tellement proche de 0 qu'on la considère comme nulle.

💡 À retenir : 99.7% des données sont situées dans l'intervalle $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$.

Quelle est la différence entre espérance et moyenne ?

Dans le cadre des variables aléatoires, l'espérance mathématique est la valeur théorique moyenne vers laquelle tend la moyenne d'un grand nombre d'observations.