Statistiques · Commerce & gestion — FSJES — Économie & gestion

Échantillonnage et estimation

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'échantillonnage permet d'estimer les paramètres d'une population (moyenne $\mu$ , proportion $p$ ) à partir d'un échantillon de taille $n$ .

Moyenne de l'échantillon : $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ .
Intervalle de confiance pour la moyenne (si $\sigma$ connu) : $IC = [\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ; \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$ .
Intervalle de confiance pour une proportion : $IC = [f - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}} ; f + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}]$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier si l'on cherche une moyenne ou une proportion.
Déterminer la valeur critique $z_{\alpha/2}$ à partir de la table de la loi normale centrée réduite (ex: 1,96 pour 95%).
Vérifier les conditions d'application ( $n \geq 30$ pour la moyenne, $n \geq 30, np \geq 5, n(1-p) \geq 5$ pour la proportion).

Exemples corrigés

Exemple : $n=100$ , $\bar{x}=50$ , $\sigma=10$ , confiance 95% ( $z=1,96$ ). $IC = [50 - 1,96 \frac{10}{\sqrt{100}} ; 50 + 1,96 \frac{10}{\sqrt{100}}] = [50 - 1,96 ; 50 + 1,96] = [48,04 ; 51,96]$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de diviser $\sigma$ par $\sqrt{n}$ .
Confondre la valeur critique $z$ avec le niveau de confiance (ex: utiliser 0,95 au lieu de 1,96).
Ne pas vérifier la taille de l'échantillon avant de calculer.

L'essentiel du cours

L'échantillonnage permet d'estimer les paramètres d'une population (moyenne $\mu$, proportion $p$) à partir d'un échantillon de taille $n$.

Moyenne de l'échantillon : $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$.
Intervalle de confiance pour la moyenne (si $\sigma$ connu) : $IC = [\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ; \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$.
Intervalle de confiance pour une proportion : $IC = [f - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}} ; f + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}]$.

Méthodes à maîtriser

Identifier si l'on cherche une moyenne ou une proportion.
Déterminer la valeur critique $z_{\alpha/2}$ à partir de la table de la loi normale centrée réduite (ex: 1,96 pour 95%).
Vérifier les conditions d'application ($n \geq 30$ pour la moyenne, $n \geq 30, np \geq 5, n(1-p) \geq 5$ pour la proportion).

Exemples corrigés

Exemple : $n=100$, $\bar{x}=50$, $\sigma=10$, confiance 95% ($z=1,96$). $IC = [50 - 1,96 \frac{10}{\sqrt{100}} ; 50 + 1,96 \frac{10}{\sqrt{100}}] = [50 - 1,96 ; 50 + 1,96] = [48,04 ; 51,96]$.

Erreurs fréquentes

Oublier de diviser $\sigma$ par $\sqrt{n}$.
Confondre la valeur critique $z$ avec le niveau de confiance (ex: utiliser 0,95 au lieu de 1,96).
Ne pas vérifier la taille de l'échantillon avant de calculer.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Échantillonnage et estimation

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Pour un échantillon de 100 personnes, si l'écart-type est 10, l'erreur type est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une estimation ponctuelle et par intervalle ?

L'estimation ponctuelle donne une valeur unique (ex: la moyenne est 50).
L'estimation par intervalle donne une fourchette de valeurs avec un degré de confiance (ex: la moyenne est entre 48 et 52 avec 95% de confiance).

💡 À retenir : L'intervalle est plus fiable car il prend en compte l'incertitude liée à l'échantillonnage.

Kifach n-3ref wach n-khdem b-la loi normale f l-intervalle de confiance ?

Ila kan l-échantillon kbir ( $n \geq 30$ ), kandiro t-taqrib dyal la loi normale.
Ila kan l-échantillon sghir, kandiro des méthodes khra (à vérifier par le professeur).

💡 À retenir : F l-examen, dima $n$ kat-koun kbira, donc khedmi b-la loi normale ( $z=1,96$ ou $z=2,58$ ).

Ila kan l-échantillon kbir ($n \geq 30$), kandiro t-taqrib dyal la loi normale.
Ila kan l-échantillon sghir, kandiro des méthodes khra (à vérifier par le professeur).

💡 À retenir : F l-examen, dima $n$ kat-koun kbira, donc khedmi b-la loi normale ($z=1,96$ ou $z=2,58$).

Chno hiya l-fayda dyal l-échantillonnage ?

Economie de temps : on ne peut pas interroger toute la population.
Economie d'argent : c'est moins coûteux.

💡 À retenir : L'échantillonnage permet d'avoir une idée sur la population totale sans tout mesurer.

Est-ce que la taille de l'échantillon influence la précision ?

Oui, plus $n$ est grand, plus l'intervalle est étroit, donc plus l'estimation est précise.

💡 À retenir : La précision augmente avec la racine carrée de la taille de l'échantillon.

Oui, plus $n$ est grand, plus l'intervalle est étroit, donc plus l'estimation est précise.

💡 À retenir : La précision augmente avec la racine carrée de la taille de l'échantillon.

Comment choisir le niveau de confiance ?

Il est généralement fixé par l'étude (souvent 95% ou 99%). Plus le niveau est élevé, plus l'intervalle est large.

💡 À retenir : Un niveau de 95% correspond à $z=1,96$ .

Il est généralement fixé par l'étude (souvent 95% ou 99%). Plus le niveau est élevé, plus l'intervalle est large.

💡 À retenir : Un niveau de 95% correspond à $z=1,96$.

Kifach n-7seb z{alpha/2} ila t-3tatni 90% ?

$\alpha = 1 - 0,90 = 0,10$ .
$\alpha/2 = 0,05$ .
On cherche dans la table $P(Z < z) = 1 - 0,05 = 0,95$ .
$z = 1,645$ .

💡 À retenir : Utilise toujours la table de la loi normale centrée réduite.

$\alpha = 1 - 0,90 = 0,10$.
$\alpha/2 = 0,05$.
On cherche dans la table $P(Z < z) = 1 - 0,05 = 0,95$.
$z = 1,645$.

💡 À retenir : Utilise toujours la table de la loi normale centrée réduite.

Est-ce que l'estimateur est toujours égal au paramètre ?

Non, l'estimateur est une variable aléatoire, il varie d'un échantillon à l'autre.

💡 À retenir : L'estimateur est une approximation, pas une valeur exacte.

Pourquoi on utilise sqrt{n} au dénominateur ?

C'est lié à l'erreur type (écart-type de la moyenne), qui diminue quand la taille de l'échantillon augmente.

💡 À retenir : Plus on a de données, moins l'erreur est grande.

Si n < 30, est-ce que je peux utiliser la loi normale ?

En principe non, il faut utiliser la loi de Student (à vérifier par le professeur si au programme).

💡 À retenir : Respecte toujours les conditions de validité du cours.

Est-ce que l'intervalle de confiance dépend de la moyenne de la population ?

Non, on ne connaît jamais la moyenne de la population, c'est justement ce qu'on cherche à estimer.

💡 À retenir : On utilise la moyenne de l'échantillon ( $\bar{x}$ ) pour estimer celle de la population ( $\mu$ ).

Non, on ne connaît jamais la moyenne de la population, c'est justement ce qu'on cherche à estimer.

💡 À retenir : On utilise la moyenne de l'échantillon ($\bar{x}$) pour estimer celle de la population ($\mu$).

Quelle est la différence entre variance et écart-type ?

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, l'écart-type est sa racine carrée.

💡 À retenir : L'écart-type est dans la même unité que la variable étudiée.

Est-ce qu'on peut avoir un intervalle de confiance à 100% ?

Non, car cela demanderait un intervalle infini.

💡 À retenir : On cherche toujours un compromis entre précision et confiance.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une entreprise souhaite estimer le salaire moyen de ses 500 employés. Un échantillon aléatoire de 100 employés donne une moyenne de 8000 DH avec un écart-type de 1200 DH. Calculer l'intervalle de confiance à 95% de la moyenne des salaires.

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Exercice 2

Dans un sondage sur 400 clients, 120 sont satisfaits. Estimer la proportion de clients satisfaits avec un intervalle de confiance à 95%.

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Exercice 3

On veut estimer la moyenne d'une population avec une erreur maximale de 50 DH et un écart-type de 500 DH (confiance 95%). Quelle doit être la taille de l'échantillon $n$ ?

Exercice 3

On veut estimer la moyenne d'une population avec une erreur maximale de 50 DH et un écart-type de 500 DH (confiance 95%). Quelle doit être la taille de l'échantillon $n$ ?

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