Cas continu : $X$ prend ses valeurs dans un intervalle $[a, b]$. La probabilité est donnée par une fonction de densité $f$ telle que $\int_a^b f(x) dx = 1$. $P(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(x) dx$.
Méthodes à maîtriser
Construction d'une loi de probabilité : Dresser un tableau avec les valeurs $x_i$ et les probabilités $p_i$ correspondantes.
Calcul des paramètres : Toujours calculer $E(X)$ avant $V(X)$ pour éviter les erreurs de signe.
Calcul d'intégrales : Pour le cas continu, maîtriser les primitives usuelles pour calculer $P(a \leq X \leq b)$.
Exemples corrigés
Exemple discret : Un dé équilibré. $X$ est le numéro sorti. $E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3,5$.
Exemple continu : $f(x) = \frac{1}{2}x$ sur $[0, 2]$. $P(0 \leq X \leq 1) = \int_0^1 \frac{1}{2}x dx = [\frac{1}{4}x^2]_0^1 = 0,25$.
Erreurs fréquentes
Oublier que la somme des probabilités doit être égale à 1.
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$ lors du calcul de la variance.
Dans le cas continu, oublier que $P(X=a) = 0$.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Pour calculer l'espérance $E(X)$, tu multiplies chaque valeur $x_i$ par sa probabilité $p_i$, puis tu fais la somme de tous ces produits : $E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n$.
💡 À retenir : L'espérance est la valeur moyenne théorique.
Chno l'farq bin variable discret o variable continu ?
Le variable discret prend des valeurs isolées (ex: 1, 2, 3).
Le variable continu prend toutes les valeurs d'un intervalle (ex: entre 1 et 2, il y a une infinité de nombres).
💡 À retenir : Discret = comptage, Continu = mesure.
Kifach n3ref wach l'loi dial l'ihtimal s7i7a ?
Il faut vérifier deux conditions :
Chaque probabilité $p_i$ doit être comprise entre 0 et 1 ($0 \leq p_i \leq 1$).
La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1 ($\sum p_i = 1$).
💡 À retenir : Si la somme est différente de 1, le tableau est faux.
Pourquoi la variance est toujours positive ?
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Comme elle est calculée à partir de carrés d'écarts $(x_i - E(X))^2$, le résultat est mathématiquement toujours positif ou nul.
💡 À retenir : Une variance négative indique une erreur de calcul.
Est-ce que P(X=a) est toujours égal à 0 pour une variable continue ?
Oui, car pour une variable continue, la probabilité est représentée par l'aire sous la courbe. L'aire d'un segment (une ligne) est nulle.
💡 À retenir : Pour le continu, on calcule toujours $P(a \leq X \leq b)$.
Comment interpréter l'écart-type ?
L'écart-type indique si les valeurs sont proches de la moyenne (faible écart-type) ou très dispersées (grand écart-type).
💡 À retenir : Plus il est petit, plus les données sont homogènes.
Est-ce que l'espérance peut être négative ?
Oui, si les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont négatives, l'espérance sera négative.
💡 À retenir : L'espérance suit le signe des valeurs de $X$.
C'est quoi la fonction de répartition ?
C'est la fonction $F(x) = P(X \leq x)$. Elle permet de calculer la probabilité cumulée jusqu'à une valeur donnée.
💡 À retenir : $F(x)$ est toujours croissante.
Pourquoi on utilise E(X^2) - (E(X))^2 pour la variance ?
C'est la formule de König-Huygens. Elle simplifie grandement les calculs par rapport à la définition classique $\sum p_i(x_i - E(X))^2$.
💡 À retenir : C'est la méthode la plus rapide en examen.
Est-ce que la loi de probabilité change si on multiplie X par une constante a ?
Oui, les valeurs $x_i$ deviennent $a \cdot x_i$. L'espérance devient $a \cdot E(X)$ et la variance devient $a^2 \cdot V(X)$.
💡 À retenir : La variance est multipliée par le carré du coefficient.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Une urne contient 4 boules : 2 numérotées 1, une numérotée 2 et une numérotée 3. On tire une boule. $X$ est le numéro obtenu.
Une variable aléatoire X est une application qui associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel.
Cas discret : X(Ω)={x1,x2,...,xn}. La loi est définie par P(X=xi)=pi avec ∑pi=1.
Espérance : E(X)=∑i=1nxipi.
Variance : V(X)=E(X2)−(E(X))2 où E(X2)=∑xi2pi.
Écart-type : σ(X)=V(X).
Cas continu : X prend ses valeurs dans un intervalle [a,b]. La probabilité est donnée par une fonction de densité f telle que ∫abf(x)dx=1. P(c≤X≤d)=∫cdf(x)dx.
Méthodes à maîtriser
Construction d'une loi de probabilité : Dresser un tableau avec les valeurs xi et les probabilités pi correspondantes.
Calcul des paramètres : Toujours calculer E(X) avant V(X) pour éviter les erreurs de signe.
Calcul d'intégrales : Pour le cas continu, maîtriser les primitives usuelles pour calculer P(a≤X≤b).
Exemples corrigés
Exemple discret : Un dé équilibré. X est le numéro sorti. E(X)=61+2+3+4+5+6=3,5.
Exemple continu : f(x)=21x sur [0,2]. P(0≤X≤1)=∫0121xdx=[41x2]01=0,25.
Erreurs fréquentes
Oublier que la somme des probabilités doit être égale à 1.
Confondre E(X2) et (E(X))2 lors du calcul de la variance.
Dans le cas continu, oublier que P(X=a)=0.
On utilise la propriété de l'événement contraire : P(X>a)=1−P(X≤a).
💡 À retenir : La somme totale des probabilités est toujours 1.
Pour calculer l'espérance E(X), tu multiplies chaque valeur xi par sa probabilité pi, puis tu fais la somme de tous ces produits : E(X)=x1p1+x2p2+...+xnpn.
💡 À retenir : L'espérance est la valeur moyenne théorique.
Il faut vérifier deux conditions :
Chaque probabilité pi doit être comprise entre 0 et 1 (0≤pi≤1).
La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1 (∑pi=1).
💡 À retenir : Si la somme est différente de 1, le tableau est faux.
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Comme elle est calculée à partir de carrés d'écarts (xi−E(X))2, le résultat est mathématiquement toujours positif ou nul.
💡 À retenir : Une variance négative indique une erreur de calcul.
Oui, car pour une variable continue, la probabilité est représentée par l'aire sous la courbe. L'aire d'un segment (une ligne) est nulle.
💡 À retenir : Pour le continu, on calcule toujours P(a≤X≤b).
Oui, si les valeurs prises par la variable aléatoire X sont négatives, l'espérance sera négative.
💡 À retenir : L'espérance suit le signe des valeurs de X.
C'est la fonction F(x)=P(X≤x). Elle permet de calculer la probabilité cumulée jusqu'à une valeur donnée.
💡 À retenir : F(x) est toujours croissante.
C'est la formule de König-Huygens. Elle simplifie grandement les calculs par rapport à la définition classique ∑pi(xi−E(X))2.
💡 À retenir : C'est la méthode la plus rapide en examen.
Oui, les valeurs xi deviennent a⋅xi. L'espérance devient a⋅E(X) et la variance devient a2⋅V(X).
💡 À retenir : La variance est multipliée par le carré du coefficient.
Exercice 1
Une urne contient 4 boules : 2 numérotées 1, une numérotée 2 et une numérotée 3. On tire une boule. X est le numéro obtenu.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Calculer l'espérance E(X).
Calculer la variance V(X).
Exercice 2
Soit X une variable aléatoire continue de densité f(x)=kx sur [0,2] et 0 ailleurs.
Déterminer la valeur de k.
Calculer P(0≤X≤1).
Exercice 3
Un jeu consiste à lancer un dé truqué où P(1)=0,1,P(2)=0,2,P(3)=0,4,P(4)=0,3.