Oscillations mécaniques

1. Le régime périodique est théorique : il n'y a aucun frottement, l'amplitude reste constante pour toujours. Sur un graphe, c'est une sinusoïde parfaite.
2. Le régime pseudo-périodique est réel : il y a des frottements faibles, l'amplitude diminue à chaque oscillation. Sur le graphe, les sommets de la courbe descendent progressivement.
3. La "pseudo-période" $T$ est très proche de la période propre $T_0$ si l'amortissement est faible.

💡 À retenir : Pas de frottement = Périodique ; Frottement faible = Pseudo-périodique.

La phase $\phi$ (en radians) définit la position et le sens du mouvement de l'oscillateur à l'instant exact $t=0$.

1. On prend la solution $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \phi)$.
2. À $t=0$, on a $x(0) = X_m \cos(\phi)$.
3. On regarde les conditions initiales : si on lâche le solide de $X_{max}$ sans vitesse, alors $x(0) = X_m$, donc $\cos(\phi) = 1$, d'où $\phi = 0$.

💡 À retenir : $\phi$ se trouve toujours grâce aux conditions initiales à $t=0$.

Il y a deux méthodes principales :

1. Par la période : Tu mesures $T_0$ sur le graphe $x(t)$. Comme $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$, tu en déduis $k = \frac{4\pi^2 m}{T_0^2}$.
2. Par la force (statique) : Si tu as un graphe de la force $F$ en fonction de l'allongement $\Delta \ell$, la pente de la droite est égale à $k$ ($F = k \cdot \Delta \ell$).

💡 À retenir : La période $T_0$ est le moyen le plus courant en dynamique.

Pour obtenir une équation différentielle linéaire facile à résoudre, on utilise l'approximation de Taylor : $\sin(\theta) \approx \theta$ (en radians).

1. Cette approximation n'est valable que pour des angles inférieurs à environ $15^\circ$ (0,26 rad).
2. Si l'angle est grand, l'équation devient $\ddot{\theta} + \frac{mgh}{J_\Delta}\sin(\theta) = 0$, ce qui n'est plus un mouvement sinusoïdal simple.

💡 À retenir : "Petites oscillations" permet de remplacer $\sin(\theta)$ par $\theta$.

1. $T_0$ est la période propre : c'est la durée d'une oscillation complète (en secondes $s$).
2. $f_0$ (ou $N_0$) est la fréquence propre : c'est le nombre d'oscillations par seconde (en Hertz $Hz$).
3. La relation est simple : $f_0 = \frac{1}{T_0}$.

💡 À retenir : $T_0$ est un temps, $f_0$ est une cadence.

1. $[m] = M$ (masse).
2. Pour $k$ : d'après $F = k \cdot x$, on a $k = F/x$. Comme $F = m \cdot a$, alors $[k] = \frac{M \cdot L \cdot T^{-2}}{L} = M \cdot T^{-2}$.
3. On remplace dans la formule : $[\sqrt{m/k}] = \sqrt{\frac{M}{M \cdot T^{-2}}} = \sqrt{T^2} = T$.
4. Le résultat est bien un temps.

💡 À retenir : $2\pi$ n'a pas de dimension.

C'est la résistance d'un corps au changement de sa rotation.

1. Plus la masse est loin de l'axe de rotation, plus $J_\Delta$ est grand.
2. Pour une tige de longueur $L$ pivotant au centre : $J_\Delta = \frac{1}{12}mL^2$.
3. Pour une masse ponctuelle à une distance $d$ : $J_\Delta = m \cdot d^2$.

💡 À retenir : $J_\Delta$ joue en rotation le même rôle que la masse $m$ en translation.

Non. Pour un pendule simple, $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.

1. La masse $m$ n'apparaît pas dans la formule finale.
2. Deux pendules simples de même longueur $L$ auront la même période, qu'ils soient en plomb ou en bois (en négligeant l'air).

💡 À retenir : La période d'un pendule simple ne dépend que de $L$ et $g$.

Il faut regarder le signe de la vitesse initiale $v(0) = \dot{x}(0)$.

1. On dérive $x(t)$ : $\dot{x}(t) = - \frac{2\pi}{T_0} X_m \sin(\frac{2\pi}{T_0}t + \phi)$.
2. À $t=0$, $\dot{x}(0) = - \frac{2\pi}{T_0} X_m \sin(\phi)$.
3. Si $\dot{x}(0) > 0$, le solide part vers les $x$ positifs.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens du mouvement.

On utilise la formule du moment du couple de torsion : $M_c = C \cdot \theta$.

1. $M_c$ est un moment, son unité est le Newton-mètre ($N \cdot m$).
2. $\theta$ est un angle en radians ($rad$), qui est sans dimension.
3. Donc $C$ s'exprime en $N \cdot m \cdot rad^{-1}$.

💡 À retenir : $C$ est en $N \cdot m/rad$.

1. En vertical, le poids étire le ressort d'une longueur fixe $\Delta \ell_0$ à l'équilibre.
2. Lors du mouvement, cette force constante (le poids) est compensée par l'allongement initial.
3. L'équation différentielle reste $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$, donc $T_0$ ne change pas.

💡 À retenir : La position d'équilibre change, mais la période reste la même.

1. La pseudo-période $T$ augmente légèrement.
2. L'amplitude diminue plus vite.
3. Si on dépasse une valeur critique, les oscillations disparaissent (régime apériodique).

💡 À retenir : Plus de frottement = amortissement plus rapide.