Raisonnement logique · Prépa concours post-bac — CPGE (dossier & entretien)

Relations d'équivalence et relations d'ordre

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Propriétés d'une relation binaire

Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire sur un ensemble $E$ .

Réflexive : $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$ .
Symétrique : $\forall (x, y) \in E^2, x \mathcal{R} y \implies y \mathcal{R} x$ .
Antisymétrique : $\forall (x, y) \in E^2, (x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} x) \implies x = y$ .
Transitive : $\forall (x, y, z) \in E^3, (x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} z) \implies x \mathcal{R} z$ .

2. Relation d'équivalence

Une relation $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.

Classe d'équivalence de $x$ : $Cl(x) = \{y \in E / x \mathcal{R} y\}$ .
Ensemble quotient : $E/\mathcal{R} = \{Cl(x) / x \in E\}$ .
Propriété : Les classes d'équivalence forment une partition de $E$ .

3. Relation d'ordre

Une relation $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. On la note souvent $\le$ ou $\preceq$ .

Ordre total : $\forall (x, y) \in E^2, x \mathcal{R} y \text{ ou } y \mathcal{R} x$ .
Ordre partiel : S'il existe au moins deux éléments non comparables.

4. Éléments remarquables

Soit $A$ une partie d'un ensemble ordonné $(E, \preceq)$ .

$M \in E$ est un majorant de $A$ si $\forall x \in A, x \preceq M$ .
$m \in E$ est un minorant de $A$ si $\forall x \in A, m \preceq x$ .
La borne supérieure $\sup(A)$ est le plus petit des majorants (s'il existe).
La borne inférieure $\inf(A)$ est le plus grand des minorants (s'il existe).

Méthodes à maîtriser

Démontrer une équivalence : Vérifier systématiquement les 3 propriétés (R, S, T).
Déterminer une classe d'équivalence : Résoudre l'équation $x \mathcal{R} y$ d'inconnue $y$ .
Démontrer l'antisymétrie : Partir de $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} x$ pour aboutir à $x = y$ par calcul.
Comparer deux éléments : Pour un ordre total, tester si $x \preceq y$ ou $y \preceq x$ . Pour un ordre partiel, accepter que certains éléments ne soient pas liés.

Exemples corrigés

Congruence modulo $n$ : $x \equiv y [n]$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{Z}$ . Les classes sont $\{\dot{0}, \dot{1}, \dots, \dot{n-1}\}$ .
Inclusion : La relation $\subseteq$ sur $\mathcal{P}(E)$ est une relation d'ordre partiel (si $E$ a plus d'un élément).
Divisibilité : Dans $\mathbb{N}^*$ , la relation $a|b$ est un ordre partiel.

Erreurs fréquentes

Confondre symétrie (équivalence) et antisymétrie (ordre).
Oublier de vérifier la réflexivité pour les éléments aux bornes.
Affirmer qu'un ordre est total sans vérifier que tous les couples sont comparables (ex: la divisibilité dans $\mathbb{N}$ n'est pas totale car 2 ne divise pas 3 et 3 ne divise pas 2).
Confondre majorant (peut ne pas être dans $A$ ) et plus grand élément (doit être dans $A$ ).

L'essentiel du cours

1. Propriétés d'une relation binaire

Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire sur un ensemble $E$.

Réflexive : $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$.
Symétrique : $\forall (x, y) \in E^2, x \mathcal{R} y \implies y \mathcal{R} x$.
Antisymétrique : $\forall (x, y) \in E^2, (x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} x) \implies x = y$.
Transitive : $\forall (x, y, z) \in E^3, (x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} z) \implies x \mathcal{R} z$.

2. Relation d'équivalence

Une relation $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.

Classe d'équivalence de $x$ : $Cl(x) = {y \in E / x \mathcal{R} y}$.
Ensemble quotient : $E/\mathcal{R} = {Cl(x) / x \in E}$.
Propriété : Les classes d'équivalence forment une partition de $E$.

3. Relation d'ordre

Une relation $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. On la note souvent $\le$ ou $\preceq$.

Ordre total : $\forall (x, y) \in E^2, x \mathcal{R} y \text{ ou } y \mathcal{R} x$.
Ordre partiel : S'il existe au moins deux éléments non comparables.

4. Éléments remarquables

Soit $A$ une partie d'un ensemble ordonné $(E, \preceq)$.

$M \in E$ est un majorant de $A$ si $\forall x \in A, x \preceq M$.
$m \in E$ est un minorant de $A$ si $\forall x \in A, m \preceq x$.
La borne supérieure $\sup(A)$ est le plus petit des majorants (s'il existe).
La borne inférieure $\inf(A)$ est le plus grand des minorants (s'il existe).

Méthodes à maîtriser

Démontrer une équivalence : Vérifier systématiquement les 3 propriétés (R, S, T).
Déterminer une classe d'équivalence : Résoudre l'équation $x \mathcal{R} y$ d'inconnue $y$.
Démontrer l'antisymétrie : Partir de $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} x$ pour aboutir à $x = y$ par calcul.
Comparer deux éléments : Pour un ordre total, tester si $x \preceq y$ ou $y \preceq x$. Pour un ordre partiel, accepter que certains éléments ne soient pas liés.

Exemples corrigés

Congruence modulo $n$ : $x \equiv y [n]$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{Z}$. Les classes sont ${\dot{0}, \dot{1}, \dots, \dot{n-1}}$.
Inclusion : La relation $\subseteq$ sur $\mathcal{P}(E)$ est une relation d'ordre partiel (si $E$ a plus d'un élément).
Divisibilité : Dans $\mathbb{N}^*$, la relation $a|b$ est un ordre partiel.

Erreurs fréquentes

Confondre symétrie (équivalence) et antisymétrie (ordre).
Oublier de vérifier la réflexivité pour les éléments aux bornes.
Affirmer qu'un ordre est total sans vérifier que tous les couples sont comparables (ex: la divisibilité dans $\mathbb{N}$ n'est pas totale car 2 ne divise pas 3 et 3 ne divise pas 2).
Confondre majorant (peut ne pas être dans $A$) et plus grand élément (doit être dans $A$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Relations d'équivalence et relations d'ordre

1/4

Soit $\mathcal{R}$ une relation sur $\mathbb{Z}$ définie par $x \mathcal{R} y \iff x^2 = y^2$ . Cette relation est :

Soit $\mathcal{R}$ une relation sur $\mathbb{Z}$ définie par $x \mathcal{R} y \iff x^2 = y^2$. Cette relation est :

❓ Questions fréquentes

Chno l-farq bin relation d'ordre o relation d'équivalence?

La différence réside dans la deuxième propriété :

Une relation d'équivalence est symétrique ( $x \mathcal{R} y \implies y \mathcal{R} x$ ). Elle sert à regrouper des objets qui se ressemblent selon un critère.
Une relation d'ordre est antisymétrique ( $(x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} x) \implies x = y$ ). Elle sert à classer ou hiérarchiser les objets.
Les deux partagent la réflexivité et la transitivité.

💡 À retenir : L'équivalence "égalise" (classes), l'ordre "range" (hiérarchie).

La différence réside dans la deuxième propriété :

Une relation d'équivalence est symétrique ($x \mathcal{R} y \implies y \mathcal{R} x$). Elle sert à regrouper des objets qui se ressemblent selon un critère.
Une relation d'ordre est antisymétrique ($(x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} x) \implies x = y$). Elle sert à classer ou hiérarchiser les objets.
Les deux partagent la réflexivité et la transitivité.

💡 À retenir : L'équivalence "égalise" (classes), l'ordre "range" (hiérarchie).

Kifach n-montrer bli wa7d l-relation transitive?

Pour montrer la transitivité :

On prend trois éléments quelconques $x, y, z$ de l'ensemble $E$ .
On suppose que les deux hypothèses sont vraies : $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} z$ .
On utilise les définitions mathématiques de ces deux relations pour démontrer, par calcul ou logique, que $x \mathcal{R} z$ est vrai.

💡 À retenir : La transitivité est le "pont" qui permet de passer de $x$ à $z$ via $y$ .

Pour montrer la transitivité :

On prend trois éléments quelconques $x, y, z$ de l'ensemble $E$.
On suppose que les deux hypothèses sont vraies : $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} z$.
On utilise les définitions mathématiques de ces deux relations pour démontrer, par calcul ou logique, que $x \mathcal{R} z$ est vrai.

💡 À retenir : La transitivité est le "pont" qui permet de passer de $x$ à $z$ via $y$.

Chno hiya classe d'équivalence b-darija?

Classe d'équivalence dial wa7d l-3onsor $x$ hiya l-majmo3a li fiha ga3 l-3anassir $y$ li "kaychebho" l $x$ 3la hssab dik l-3alaqa.

Ga3 l-3anassir li f nfs l-classe binathom relation d'équivalence.
Ila khditi ay joj classes mkhtalfin, rah ma3ndhom hta 3onsor mchtrka (intersection vide).

💡 À retenir : Une classe d'équivalence est un "sac" regroupant des éléments équivalents.

Classe d'équivalence dial wa7d l-3onsor $x$ hiya l-majmo3a li fiha ga3 l-3anassir $y$ li "kaychebho" l $x$ 3la hssab dik l-3alaqa.

Ga3 l-3anassir li f nfs l-classe binathom relation d'équivalence.
Ila khditi ay joj classes mkhtalfin, rah ma3ndhom hta 3onsor mchtrka (intersection vide).

💡 À retenir : Une classe d'équivalence est un "sac" regroupant des éléments équivalents.

Est-ce qu'une relation peut être à la fois d'équivalence et d'ordre ?

Oui, mais c'est un cas très particulier :

Si $\mathcal{R}$ est à la fois symétrique et antisymétrique, alors $(x \mathcal{R} y \implies y \mathcal{R} x)$ et $(x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} x \implies x = y)$ .
Cela implique que $x \mathcal{R} y \implies x = y$ .
La seule relation possible est la relation d'égalité ( $=$ ).

💡 À retenir : Seule l'égalité est à la fois une équivalence et un ordre.

Oui, mais c'est un cas très particulier :

Si $\mathcal{R}$ est à la fois symétrique et antisymétrique, alors $(x \mathcal{R} y \implies y \mathcal{R} x)$ et $(x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} x \implies x = y)$.
Cela implique que $x \mathcal{R} y \implies x = y$.
La seule relation possible est la relation d'égalité ($=$).

💡 À retenir : Seule l'égalité est à la fois une équivalence et un ordre.

Comment prouver qu'un ordre est partiel ?

Pour prouver qu'un ordre est partiel (et non total) :

Il suffit de trouver un contre-exemple.
On cherche deux éléments $x$ et $y$ de l'ensemble tels que l'on n'a ni $x \mathcal{R} y$ , ni $y \mathcal{R} x$ .
Exemple : Dans $(\mathcal{P}(\{1,2\}), \subseteq)$ , les ensembles $\{1\}$ et $\{2\}$ ne sont pas comparables.

💡 À retenir : Ordre partiel = existence d'éléments non comparables.

Pour prouver qu'un ordre est partiel (et non total) :

Il suffit de trouver un contre-exemple.
On cherche deux éléments $x$ et $y$ de l'ensemble tels que l'on n'a ni $x \mathcal{R} y$, ni $y \mathcal{R} x$.
Exemple : Dans $(\mathcal{P}({1,2}), \subseteq)$, les ensembles ${1}$ et ${2}$ ne sont pas comparables.

💡 À retenir : Ordre partiel = existence d'éléments non comparables.

Quelle est la différence entre un majorant et la borne supérieure ?

Un majorant est n'importe quel élément plus grand que tous les éléments d'une partie $A$ . Il peut y en avoir une infinité.
La borne supérieure ( $\sup$ ) est le plus petit de tous ces majorants.
Si elle existe, la borne supérieure est unique.

💡 À retenir : $\sup(A) = \min(\text{Majorants de } A)$ .

Un majorant est n'importe quel élément plus grand que tous les éléments d'une partie $A$. Il peut y en avoir une infinité.
La borne supérieure ($\sup$) est le plus petit de tous ces majorants.
Si elle existe, la borne supérieure est unique.

💡 À retenir : $\sup(A) = \min(\text{Majorants de } A)$.

Pourquoi vérifie-t-on l'antisymétrie pour un ordre ?

L'antisymétrie garantit qu'on ne peut pas avoir deux éléments distincts qui se "précèdent" mutuellement.

Sans elle, on pourrait avoir $x \le y$ et $y \le x$ avec $x \neq y$ , ce qui créerait une boucle.
L'antisymétrie assure que le cheminement de l'ordre est unidirectionnel vers le "plus grand".

💡 À retenir : L'antisymétrie empêche les cycles dans un classement.

L'antisymétrie garantit qu'on ne peut pas avoir deux éléments distincts qui se "précèdent" mutuellement.

Sans elle, on pourrait avoir $x \le y$ et $y \le x$ avec $x \neq y$, ce qui créerait une boucle.
L'antisymétrie assure que le cheminement de l'ordre est unidirectionnel vers le "plus grand".

💡 À retenir : L'antisymétrie empêche les cycles dans un classement.

C'est quoi l'ensemble quotient E/mathcal{R} ?

L'ensemble quotient est un nouvel ensemble dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles (les classes d'équivalence).

On "simplifie" l'ensemble $E$ en considérant que tous les éléments équivalents ne forment plus qu'un seul point.
Exemple : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l'ensemble quotient de $\mathbb{Z}$ par la congruence modulo $n$ .

💡 À retenir : $E/\mathcal{R}$ transforme la relation d'équivalence en une égalité entre classes.

L'ensemble quotient est un nouvel ensemble dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles (les classes d'équivalence).

On "simplifie" l'ensemble $E$ en considérant que tous les éléments équivalents ne forment plus qu'un seul point.
Exemple : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l'ensemble quotient de $\mathbb{Z}$ par la congruence modulo $n$.

💡 À retenir : $E/\mathcal{R}$ transforme la relation d'équivalence en une égalité entre classes.

Peut-on avoir une relation symétrique et antisymétrique ?

Oui, comme vu précédemment, cela force les éléments en relation à être égaux.

Si $x \mathcal{R} y$ , par symétrie $y \mathcal{R} x$ .
Par antisymétrie, puisque $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} x$ , alors $x = y$ .
La relation est donc incluse dans l'identité.

💡 À retenir : Symétrie + Antisymétrie $\implies$ Identité.

Oui, comme vu précédemment, cela force les éléments en relation à être égaux.

Si $x \mathcal{R} y$, par symétrie $y \mathcal{R} x$.
Par antisymétrie, puisque $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} x$, alors $x = y$.
La relation est donc incluse dans l'identité.

💡 À retenir : Symétrie + Antisymétrie $\implies$ Identité.

Comment trouver la borne supérieure d'un ensemble fini ?

Dans un ensemble muni d'un ordre total :

Si l'ensemble $A$ est fini, il possède toujours un plus grand élément.
Ce plus grand élément est alors la borne supérieure.
Dans un ordre partiel, un ensemble fini peut ne pas avoir de borne supérieure s'il a plusieurs éléments maximaux non comparables.

💡 À retenir : Pour un ensemble fini en ordre total, $\sup(A) = \max(A)$ .

Dans un ensemble muni d'un ordre total :

Si l'ensemble $A$ est fini, il possède toujours un plus grand élément.
Ce plus grand élément est alors la borne supérieure.
Dans un ordre partiel, un ensemble fini peut ne pas avoir de borne supérieure s'il a plusieurs éléments maximaux non comparables.

💡 À retenir : Pour un ensemble fini en ordre total, $\sup(A) = \max(A)$.

Est-ce que la relation "strictement inférieur" (<) est une relation d'ordre ?

Non, selon la définition stricte du programme :

Une relation d'ordre doit être réflexive ( $x \mathcal{R} x$ ).
Or, $x < x$ est faux pour tout $x$ .
On appelle $<$ une relation d'ordre strict, mais ce n'est pas une "relation d'ordre" au sens du cours (qui exige la réflexivité).

💡 À retenir : Une relation d'ordre au sens du Bac est toujours réflexive ( $\le$ ).

Non, selon la définition stricte du programme :

Une relation d'ordre doit être réflexive ($x \mathcal{R} x$).
Or, $x < x$ est faux pour tout $x$.
On appelle $<$ une relation d'ordre strict, mais ce n'est pas une "relation d'ordre" au sens du cours (qui exige la réflexivité).

💡 À retenir : Une relation d'ordre au sens du Bac est toujours réflexive ($\le$).

Une relation peut-elle n'être ni d'équivalence ni d'ordre ?

Oui, c'est très fréquent.

Exemple : La relation "est perpendiculaire à" sur l'ensemble des droites du plan.
Elle n'est pas réflexive (une droite n'est pas perpendiculaire à elle-même).
Elle est symétrique mais pas transitive.

💡 À retenir : La plupart des relations aléatoires ne sont ni l'une ni l'autre.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^*$ . On définit sur $E$ la relation $\mathcal{R}$ par : $\forall (x, y) \in E^2, x \mathcal{R} y \iff x \cdot y > 0$

Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $E$ .
Déterminer les classes d'équivalence de $1$ et de $-1$ .
En déduire l'ensemble quotient $E/\mathcal{R}$ .

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^*$. On définit sur $E$ la relation $\mathcal{R}$ par : $$\forall (x, y) \in E^2, x \mathcal{R} y \iff x \cdot y > 0$$

Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $E$.
Déterminer les classes d'équivalence de $1$ et de $-1$.
En déduire l'ensemble quotient $E/\mathcal{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On considère l'ensemble $E = \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$ . On définit sur $E$ la relation $\preceq$ par : $(a, b) \preceq (c, d) \iff (a < c) \text{ ou } (a = c \text{ et } b \le d)$

Montrer que $\preceq$ est une relation d'ordre sur $E$ .
Cet ordre est-il total ? Justifier.
Soit $A = \{(1, n) / n \in \mathbb{N}^*\}$ . La partie $A$ admet-elle un majorant dans $E$ ? Admet-elle une borne supérieure ?

Exercice 2

On considère l'ensemble $E = \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$. On définit sur $E$ la relation $\preceq$ par : $$(a, b) \preceq (c, d) \iff (a < c) \text{ ou } (a = c \text{ et } b \le d)$$

Montrer que $\preceq$ est une relation d'ordre sur $E$.
Cet ordre est-il total ? Justifier.
Soit $A = {(1, n) / n \in \mathbb{N}^*}$. La partie $A$ admet-elle un majorant dans $E$ ? Admet-elle une borne supérieure ?

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Exercice 3

Soit $f : E \to F$ une application. On définit sur $E$ la relation $\mathcal{R}$ par : $\forall (x, y) \in E^2, x \mathcal{R} y \iff f(x) = f(y)$

Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence.
Soit $x \in E$ . Exprimer $Cl(x)$ à l'aide de l'image réciproque d'un singleton par $f$ .
Montrer que l'application $\bar{f} : E/\mathcal{R} \to f(E)$ définie par $\bar{f}(Cl(x)) = f(x)$ est une bijection.

Exercice 3

Soit $f : E \to F$ une application. On définit sur $E$ la relation $\mathcal{R}$ par : $$\forall (x, y) \in E^2, x \mathcal{R} y \iff f(x) = f(y)$$

Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence.
Soit $x \in E$. Exprimer $Cl(x)$ à l'aide de l'image réciproque d'un singleton par $f$.
Montrer que l'application $\bar{f} : E/\mathcal{R} \to f(E)$ définie par $\bar{f}(Cl(x)) = f(x)$ est une bijection.

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