Raisonnement logique · Prépa concours post-bac — CPGE (dossier & entretien)

Suites numériques et raisonnement par récurrence

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \in I}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$ .
Raisonnement par récurrence : Pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ $n \geq n_{0}$ :
1. Initialisation : Vérifier $P(n_0)$ .
2. Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ vraie.
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .

Méthodes à maîtriser

Pour la récurrence, bien rédiger l'hypothèse de récurrence : "Supposons que $P(n)$ est vraie".
Pour la monotonie, si $u_n > 0$ , comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Pour les limites, utiliser les théorèmes de comparaison et de convergence monotone (si $u_n$ est croissante et majorée, elle converge).

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n = 2^n - 1$ pour $u_{n+1} = 2u_n + 1$ avec $u_0 = 0$ . Initialisation : $u_0 = 2^0 - 1 = 0$ (Vrai). Hérédité : Supposons $u_n = 2^n - 1$ . Alors $u_{n+1} = 2(2^n - 1) + 1 = 2^{n+1} - 2 + 1 = 2^{n+1} - 1$ . (Vrai).

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'ensemble de définition (ex: $n \geq 0$ ou $n \geq 1$ ).
Confondre la suite arithmétique ( $u_n = u_0 + nr$ ) et géométrique ( $u_n = u_0 \cdot q^n$ ).
Dans la récurrence, oublier de conclure par la phrase type.

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \in I}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$.
Raisonnement par récurrence : Pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ :
1. Initialisation : Vérifier $P(n_0)$.
2. Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ vraie.
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.

Méthodes à maîtriser

Pour la récurrence, bien rédiger l'hypothèse de récurrence : "Supposons que $P(n)$ est vraie".
Pour la monotonie, si $u_n > 0$, comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Pour les limites, utiliser les théorèmes de comparaison et de convergence monotone (si $u_n$ est croissante et majorée, elle converge).

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n = 2^n - 1$ pour $u_{n+1} = 2u_n + 1$ avec $u_0 = 0$. Initialisation : $u_0 = 2^0 - 1 = 0$ (Vrai). Hérédité : Supposons $u_n = 2^n - 1$. Alors $u_{n+1} = 2(2^n - 1) + 1 = 2^{n+1} - 2 + 1 = 2^{n+1} - 1$. (Vrai).

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'ensemble de définition (ex: $n \geq 0$ ou $n \geq 1$).
Confondre la suite arithmétique ($u_n = u_0 + nr$) et géométrique ($u_n = u_0 \cdot q^n$).
Dans la récurrence, oublier de conclure par la phrase type.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Suites numériques et raisonnement par récurrence

1/4

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=3$ et $u_0=2$ . La valeur de $u_{10}$ est :

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=3$ et $u_0=2$. La valeur de $u_{10}$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Calcule $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ , elle est arithmétique.
Calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$ ). Si le résultat est une constante $q$ , elle est géométrique.

💡 À retenir : La différence constante définit l'arithmétique, le rapport constant définit la géométrique.

Calcule $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$, elle est arithmétique.
Calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$). Si le résultat est une constante $q$, elle est géométrique.

💡 À retenir : La différence constante définit l'arithmétique, le rapport constant définit la géométrique.

Kifach n-b-in belli silsila m-majorée b-chi 3adad M?

Tu peux utiliser la récurrence : suppose $u_n \leq M$ et montre que $u_{n+1} \leq M$ .
Tu peux étudier la fonction associée $f(x)$ si $u_{n+1} = f(u_n)$ et montrer que $f([a, M]) \subset [a, M]$ .

💡 À retenir : La récurrence est l'outil le plus puissant pour les bornes.

Tu peux utiliser la récurrence : suppose $u_n \leq M$ et montre que $u_{n+1} \leq M$.
Tu peux étudier la fonction associée $f(x)$ si $u_{n+1} = f(u_n)$ et montrer que $f([a, M]) \subset [a, M]$.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil le plus puissant pour les bornes.

Est-ce que toute suite croissante est convergente ?

Non. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ (ex: $u_n = n$ ). Pour qu'elle soit convergente, il faut qu'elle soit croissante ET majorée.

💡 À retenir : Théorème de la convergence monotone : Croissante + Majorée = Convergente.

Non. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ (ex: $u_n = n$). Pour qu'elle soit convergente, il faut qu'elle soit croissante ET majorée.

💡 À retenir : Théorème de la convergence monotone : Croissante + Majorée = Convergente.

Chno hiya l-farq bin l'hypothèse de récurrence w l'initialisation ?

L'initialisation est une vérification concrète pour le premier terme (ex: $n=0$ ).
L'hypothèse est une supposition théorique pour un rang $n$ quelconque, qui sert d'outil pour démontrer le rang suivant ( $n+1$ ).

💡 À retenir : L'initialisation ancre la suite, l'hérédité propage la propriété.

L'initialisation est une vérification concrète pour le premier terme (ex: $n=0$).
L'hypothèse est une supposition théorique pour un rang $n$ quelconque, qui sert d'outil pour démontrer le rang suivant ($n+1$).

💡 À retenir : L'initialisation ancre la suite, l'hérédité propage la propriété.

Kifach n-7seb l-limite dyal silsila u{n+1} = f(un) ?

Si la suite converge vers $l$ , alors $l$ est solution de l'équation $f(l) = l$ .
Vérifie d'abord que la suite est convergente (monotone et bornée).

💡 À retenir : La limite vérifie l'équation du point fixe.

Si la suite converge vers $l$, alors $l$ est solution de l'équation $f(l) = l$.
Vérifie d'abord que la suite est convergente (monotone et bornée).

💡 À retenir : La limite vérifie l'équation du point fixe.

Peut-on utiliser la récurrence pour tout type de suite ?

Oui, le raisonnement par récurrence est un outil logique universel pour les propriétés dépendant d'un entier naturel $n$ .

💡 À retenir : C'est la méthode reine pour les suites définies par récurrence.

Oui, le raisonnement par récurrence est un outil logique universel pour les propriétés dépendant d'un entier naturel $n$.

💡 À retenir : C'est la méthode reine pour les suites définies par récurrence.

Est-ce que la limite d'une suite est toujours un nombre réel ?

Non, une suite peut diverger vers $+\infty$ ou $-\infty$ . Dans ce cas, on dit qu'elle n'admet pas de limite finie.

💡 À retenir : Une suite convergente a une limite finie.

Non, une suite peut diverger vers $+\infty$ ou $-\infty$. Dans ce cas, on dit qu'elle n'admet pas de limite finie.

💡 À retenir : Une suite convergente a une limite finie.

Chno l-3alaqa bin un w Sn (somme) ?

$S_n$ est la somme des termes de la suite. Pour une arithmétique : $S_n = \frac{nombre \ de \ termes}{2} \times (premier + dernier)$ .

💡 À retenir : Apprends par cœur les formules de sommes pour les suites usuelles.

$S_n$ est la somme des termes de la suite. Pour une arithmétique : $S_n = \frac{nombre \ de \ termes}{2} \times (premier + dernier)$.

💡 À retenir : Apprends par cœur les formules de sommes pour les suites usuelles.

Comment montrer qu'une suite est bornée ?

Il faut montrer qu'elle est à la fois majorée (il existe $M$ tel que $u_n \leq M$ ) et minorée (il existe $m$ tel que $u_n \geq m$ ).

💡 À retenir : $m \leq u_n \leq M$ .

Il faut montrer qu'elle est à la fois majorée (il existe $M$ tel que $u_n \leq M$) et minorée (il existe $m$ tel que $u_n \geq m$).

💡 À retenir : $m \leq u_n \leq M$.

Est-ce que u{n+1} - un peut dépendre de n ?

Oui, si la suite n'est ni arithmétique ni géométrique. Dans ce cas, le signe de cette différence te donne la monotonie.

💡 À retenir : Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , la suite est strictement croissante.

Oui, si la suite n'est ni arithmétique ni géométrique. Dans ce cas, le signe de cette différence te donne la monotonie.

💡 À retenir : Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est strictement croissante.

Pourquoi on commence souvent la récurrence par n=0 ou n=1 ?

Parce que les suites sont généralement définies à partir de ces indices dans le programme. Il faut toujours regarder l'énoncé.

💡 À retenir : L'indice de départ est imposé par la définition de la suite.

Comment prouver qu'une suite est géométrique ?

Il faut montrer que le rapport $u_{n+1} / u_n$ est une constante $q$ qui ne dépend pas de $n$ .

💡 À retenir : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ .

Il faut montrer que le rapport $u_{n+1} / u_n$ est une constante $q$ qui ne dépend pas de $n$.

💡 À retenir : $u_{n+1} = q \cdot u_n$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Montrer par récurrence que $0 \leq u_n \leq 2$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Montrer par récurrence que $0 \leq u_n \leq 2$.
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Raisonnement logique pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Raisonnement logique

Logique propositionnelle et connecteurs logiques Quantificateurs et raisonnements mathématiques Ensembles et opérations sur les ensembles Applications et fonctions Relations d'équivalence et relations d'ordre Dénombrement et combinatoire Probabilités discrètes et raisonnement probabiliste Analyse de séquences logiques et tests psychotechniques Algorithmique et structures de contrôle