Applications et fonctions

Dans le programme marocain, la distinction est précise :

1. Fonction : C'est une relation où chaque élément de l'ensemble de départ a au plus une image (0 ou 1). Son domaine de définition $D_f$ peut être un sous-ensemble de l'ensemble de départ.
2. Application : C'est une fonction où chaque élément de l'ensemble de départ a exactement une image. Autrement dit, $D_f = E$.
3. Toute application est une fonction, mais l'inverse n'est pas vrai.

💡 À retenir : Pour une application, on ne se pose pas la question du domaine de définition, il est déjà donné par l'ensemble de départ.

Pour montrer qu'une application $f: E \to F$ est surjective, suis ces étapes :

1. Prends un élément quelconque $y$ dans l'ensemble d'arrivée $F$.
2. Cherche s'il existe un élément $x$ dans l'ensemble de départ $E$ tel que $f(x) = y$.
3. Concrètement, tu résous l'équation $f(x) = y$ où l'inconnue est $x$.
4. Si tu trouves au moins une solution $x$ qui appartient bien à $E$ pour n'importe quel $y$, alors $f$ est surjective.

💡 À retenir : Surjection veut dire que l'équation $f(x)=y$ a toujours au moins une solution dans $E$.

Oui, absolument. Il ne faut pas confondre deux notions :

1. L'application réciproque $f^{-1}$ : Elle n'existe que si $f$ est bijective. C'est une fonction qui va de $F$ vers $E$.
2. L'image réciproque d'une partie $B$ : Notée $f^{-1}(B)$, elle représente l'ensemble des éléments de $E$ dont l'image est dans $B$. Elle est définie pour n'importe quelle application, même si elle n'est pas injective ou surjective.

💡 À retenir : $f^{-1}(\text{ensemble})$ est un ensemble, alors que $f^{-1}(\text{élément})$ n'existe que pour les bijections.

1. $f(A)$ (Image directe) : Tu as un morceau $A$ de l'ensemble de départ, et tu regardes où arrivent tous ses points dans l'ensemble de l'arrivée. C'est un sous-ensemble de $F$.
2. $f^{-1}(B)$ (Image réciproque) : Tu as un morceau $B$ de l'ensemble d'arrivée, et tu cherches tous les points de départ qui "atterrissent" dans $B$. C'est un sous-ensemble de $E$.

💡 À retenir : $f(A) \subset \text{Arrivée}$ et $f^{-1}(B) \subset \text{Départ}$.

Parfois, manipuler $f(x)=f(x')$ est difficile. On utilise alors la contraposée de la définition :

1. La définition est : $f(x)=f(x') \implies x=x'$.
2. La contraposée est : $x \neq x' \implies f(x) \neq f(x')$.
3. Tu supposes que tu as deux éléments différents $x$ et $x'$, et tu démontres par le calcul que leurs images ne peuvent pas être égales.

💡 À retenir : La contraposée est très utile pour les fonctions définies par morceaux ou avec des valeurs absolues.

Pour calculer $(g \circ f)(x)$ :

1. Tu commences par l'intérieur : calcule d'abord $f(x)$.
2. Ensuite, tu prends ce résultat et tu l'utilises comme "entrée" pour la fonction $g$.
3. Exemple : si $f(x) = x+1$ et $g(x) = x^2$, alors $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)^2$.
4. Attention : l'ordre est important ! En général, $g \circ f \neq f \circ g$.

💡 À retenir : $g \circ f$ se lit "$g$ rond $f$" et signifie "$g$ après $f$".

Oui, la composition de deux injections est une injection.

1. Supposons $(g \circ f)(x) = (g \circ f)(x')$.
2. Cela signifie $g(f(x)) = g(f(x'))$.
3. Comme $g$ est injective, on en déduit $f(x) = f(x')$.
4. Comme $f$ est injective, on en déduit $x = x'$.
5. La propriété est donc démontrée. C'est aussi vrai pour la surjectivité et la bijectivité.

💡 À retenir : La composition préserve l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité.

Pas globalement. Pour qu'une application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ soit bijective (et donc admette une réciproque), elle doit être strictement monotone (et continue, à vérifier par le professeur). Si une fonction n'est pas monotone, comme $f(x)=x^2$, elle n'est pas injective sur $\mathbb{R}$. On doit alors restreindre son domaine (ex: sur $\mathbb{R}^+$) pour pouvoir définir une réciproque (ici $\sqrt{x}$).

💡 À retenir : La bijectivité est la condition sine qua non pour l'existence de l'application réciproque.

Pour une application continue $f$ sur un intervalle $I = [a, b]$ :

1. Si $f$ est croissante, $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
2. Si $f$ est décroissante, $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.
3. Si elle n'est pas monotone, l'image est l'intervalle $[m, M]$ où $m$ est le minimum et $M$ le maximum de $f$ sur $I$.

💡 À retenir : L'image d'un intervalle par une application continue est un intervalle.

$Id_E$ est l'application "Identité" de l'ensemble $E$.

1. Elle est définie de $E$ vers $E$ par $Id_E(x) = x$ pour tout $x \in E$.
2. Elle ne change rien à l'élément.
3. Elle est fondamentale pour définir la réciproque : $f \circ f^{-1} = Id_F$ et $f^{-1} \circ f = Id_E$.

💡 À retenir : L'identité est l'élément neutre pour la composition des applications.

Non, ce n'est pas toujours vrai.

1. On a toujours $f(f^{-1}(B)) \subset B$.
2. L'égalité $f(f^{-1}(B)) = B$ est vraie si et seulement si $f$ est surjective (ou au moins si $B$ est inclus dans l'image de $f$).
3. Par contre, $f^{-1}(f(A)) = A$ est vrai si et seulement si $f$ est injective.

💡 À retenir : Ces égalités dépendent des propriétés d'injectivité et de surjectivité de $f$.

En préparation aux concours (CPGE), les applications sont le langage de base des mathématiques. Elles permettent de :

1. Comparer la taille des ensembles (dénombrement).
2. Formaliser les transformations géométriques ou algébriques.
3. Structurer le raisonnement (si on prouve qu'une relation est une bijection, on prouve l'existence et l'unicité d'une solution).

💡 À retenir : Maîtriser les applications, c'est maîtriser la structure des raisonnements mathématiques avancés.