Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ avec $A(2, 5)$ et $B(1, 3)$ ?
❓ Questions fréquentes
C'est quoi un repère orthonormé ?
C'est un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ où les deux axes sont perpendiculaires (ortho) et où la longueur des vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ est égale à 1 (normé).
💡 À retenir : On utilise le symbole "O.N" pour orthonormé.
Kifach n7seb l'milieu dyal chi qit'a?
Pour calculer le milieu $I$ d'un segment $[AB]$, tu fais la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées :
Additionne les abscisses : $x_A + x_B$.
Divise par 2.
Fais la même chose pour les ordonnées.
💡 À retenir : Le milieu est toujours une moyenne.
Est-ce que l'ordre des points change le résultat pour le vecteur vec{AB} ?
Oui, absolument. Le vecteur $\vec{AB}$ va de $A$ vers $B$. Le vecteur $\vec{BA}$ va de $B$ vers $A$. Ils sont opposés : $\vec{AB} = -\vec{BA}$.
💡 À retenir : Toujours faire (Fin - Début).
Chno hiya l'farq bin l'abscisse o l'ordonnée ?
L'abscisse est la valeur sur l'axe horizontal (l'axe des $x$). L'ordonnée est la valeur sur l'axe vertical (l'axe des $y$).
💡 À retenir : L'abscisse est toujours en premier dans le couple $(x, y)$.
Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?
Deux vecteurs $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ sont colinéaires si leur déterminant est nul : $x \cdot y' - y \cdot x' = 0$.
💡 À retenir : Le déterminant se calcule en faisant une "croix".
Oui, la formule $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ ne fonctionne que si le repère est orthonormé. Sinon, il faut utiliser d'autres outils (comme le théorème d'Al-Kashi, mais c'est hors programme ici).
💡 À retenir : Vérifie toujours l'énoncé avant de calculer une distance.
Est-ce qu'un point peut avoir des coordonnées négatives ?
Oui, tout à fait. Si le point est situé à gauche de l'axe des ordonnées ou en dessous de l'axe des abscisses, ses coordonnées seront négatives.
💡 À retenir : Les signes dépendent du quadrant où se trouve le point.
Peut-on calculer la distance entre deux points dans un repère non orthonormé ?
Non, pas avec la formule classique. Il faut que les axes soient perpendiculaires et de même unité pour que le théorème de Pythagore soit vérifié.
💡 À retenir : La formule de distance est une application directe de Pythagore.
C'est quoi un vecteur nul ?
C'est un vecteur dont les coordonnées sont $(0, 0)$. Il correspond à un point dont le début et la fin sont identiques.
💡 À retenir : On le note $\vec{0}$.
Est-ce que les coordonnées d'un vecteur changent si on déplace le vecteur ?
Non, un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur. Si tu le déplaces sans le tourner ni l'étirer, ses coordonnées restent les mêmes.
💡 À retenir : Un vecteur est "libre" dans le plan.
Pourquoi on divise par 2 pour le milieu ?
Parce que le milieu est exactement au milieu de la distance entre les deux points. C'est la définition mathématique d'une moyenne.
💡 À retenir : Milieu = Moyenne.
Comment placer un point M(2, -3) dans un repère ?
Pars de l'origine $O$.
Avance de 2 unités vers la droite sur l'axe des abscisses.
Descends de 3 unités parallèlement à l'axe des ordonnées.
💡 À retenir : Toujours commencer par l'abscisse.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soient $A(1, 2)$ et $B(3, 6)$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$.
Un repère du plan est défini par un point O (origine) et deux vecteurs non colinéaires i et j. On le note (O,i,j).
Les coordonnées d'un point M sont notées M(xM,yM).
Pour deux points A(xA,yA) et B(xB,yB), le vecteur AB a pour coordonnées : AB(xB−xA,yB−yA).
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées : I(2xA+xB,2yA+yB).
Dans un repère orthonormé, la distance AB est : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.
Méthodes à maîtriser
Lire les coordonnées d'un point sur un graphique.
Calculer les coordonnées d'un vecteur connaissant deux points.
Calculer les coordonnées du milieu d'un segment.
Calculer la distance entre deux points (uniquement dans un repère orthonormé).
Exemples corrigés
Vecteur : Soient A(1,2) et B(3,5). AB(3−1,5−2)=AB(2,3).
Milieu : Soient A(1,2) et B(3,4). I(21+3,22+4)=I(2,3).
Distance : Soient A(0,0) et B(3,4). AB=(3−0)2+(4−0)2=9+16=25=5.
Erreurs fréquentes
Inverser l'abscisse et l'ordonnée.
Oublier les parenthèses lors du calcul des coordonnées d'un vecteur (ex: xB−xA devient xA−xB).
Confondre la formule du milieu (addition) avec celle du vecteur (soustraction).
Appliquer la formule de la distance dans un repère qui n'est pas orthonormé (à vérifier par le professeur).
Quelles sont les coordonnées du vecteur AB avec A(2,5) et B(1,3) ?
(1,2)
(−1,−2)
(3,8)
(1,−2)
C'est un repère (O,i,j) où les deux axes sont perpendiculaires (ortho) et où la longueur des vecteurs i et j est égale à 1 (normé).
💡 À retenir : On utilise le symbole "O.N" pour orthonormé.
Pour calculer le milieu I d'un segment [AB], tu fais la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées :
Additionne les abscisses : xA+xB.
Divise par 2.
Fais la même chose pour les ordonnées.
💡 À retenir : Le milieu est toujours une moyenne.
Oui, absolument. Le vecteur AB va de A vers B. Le vecteur BA va de B vers A. Ils sont opposés : AB=−BA.
💡 À retenir : Toujours faire (Fin - Début).
L'abscisse est la valeur sur l'axe horizontal (l'axe des x). L'ordonnée est la valeur sur l'axe vertical (l'axe des y).
💡 À retenir : L'abscisse est toujours en premier dans le couple (x,y).
Deux vecteurs u(x,y) et v(x′,y′) sont colinéaires si leur déterminant est nul : x⋅y′−y⋅x′=0.
💡 À retenir : Le déterminant se calcule en faisant une "croix".
Oui, la formule AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2 ne fonctionne que si le repère est orthonormé. Sinon, il faut utiliser d'autres outils (comme le théorème d'Al-Kashi, mais c'est hors programme ici).
💡 À retenir : Vérifie toujours l'énoncé avant de calculer une distance.
C'est un vecteur dont les coordonnées sont (0,0). Il correspond à un point dont le début et la fin sont identiques.
💡 À retenir : On le note 0.
Pars de l'origine O.
Avance de 2 unités vers la droite sur l'axe des abscisses.
Descends de 3 unités parallèlement à l'axe des ordonnées.
💡 À retenir : Toujours commencer par l'abscisse.
Exercice 1
Soient A(1,2) et B(3,6) dans un repère orthonormé (O,i,j).
Calculer les coordonnées du vecteur AB.
Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AB].