Mathématiques · Tronc Commun — Enseignement originel

النظمات الجذع المشترك للآداب والعلوم الإنسانية وجذع التعليم الأصيل

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ s'écrit sous la forme : $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$

Résoudre le système, c'est trouver tous les couples $(x, y)$ qui vérifient les deux équations simultanément.
Le déterminant du système est $\Delta = ab' - a'b$ .
Si $\Delta \neq 0$ , le système admet une solution unique.
Si $\Delta = 0$ , le système n'a pas de solution ou une infinité de solutions.

Méthodes à maîtriser

Méthode par substitution : Exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans la seconde.
Méthode par combinaison linéaire : Multiplier les équations par des nombres pour éliminer une inconnue par addition ou soustraction.

Exemples corrigés

Résoudre : $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$ En additionnant les deux lignes : $(x+2x) + (y-y) = 5+1 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ . On remplace $x$ dans la première : $2 + y = 5 \Rightarrow y = 3$ . La solution est le couple $(2, 3)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier d'écrire le couple $(x, y)$ à la fin.
Se tromper de signe lors de la multiplication d'une ligne par un nombre négatif.
Confondre les $x$ et les $y$ lors du remplacement.

L'essentiel du cours

Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ s'écrit sous la forme : $$\begin{cases} ax + by = c \ a'x + b'y = c' \end{cases}$$

Résoudre le système, c'est trouver tous les couples $(x, y)$ qui vérifient les deux équations simultanément.
Le déterminant du système est $\Delta = ab' - a'b$.
Si $\Delta \neq 0$, le système admet une solution unique.
Si $\Delta = 0$, le système n'a pas de solution ou une infinité de solutions.

Méthodes à maîtriser

Méthode par substitution : Exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans la seconde.
Méthode par combinaison linéaire : Multiplier les équations par des nombres pour éliminer une inconnue par addition ou soustraction.

Exemples corrigés

Résoudre : $\begin{cases} x + y = 5 \ 2x - y = 1 \end{cases}$ En additionnant les deux lignes : $(x+2x) + (y-y) = 5+1 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$. On remplace $x$ dans la première : $2 + y = 5 \Rightarrow y = 3$. La solution est le couple $(2, 3)$.

Erreurs fréquentes

Oublier d'écrire le couple $(x, y)$ à la fin.
Se tromper de signe lors de la multiplication d'une ligne par un nombre négatif.
Confondre les $x$ et les $y$ lors du remplacement.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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Quel est le déterminant du système $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ x - y = 0 \end{cases}$ ?

Quel est le déterminant du système $\begin{cases} 2x + y = 3 \ x - y = 0 \end{cases}$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'nadhma 3ndha 7al wahed awla la?

7seb l'mo7adida (déterminant) $\Delta = ab' - a'b$ .
Ila kan $\Delta \neq 0$ , l'nadhma 3ndha 7al wahed.
Ila kan $\Delta = 0$ , l'nadhma imma ma3ndhach 7al aw 3ndha bzaf.

💡 À retenir : Le déterminant est la clé pour connaître la nature des solutions.

7seb l'mo7adida (déterminant) $\Delta = ab' - a'b$.
Ila kan $\Delta \neq 0$, l'nadhma 3ndha 7al wahed.
Ila kan $\Delta = 0$, l'nadhma imma ma3ndhach 7al aw 3ndha bzaf.

💡 À retenir : Le déterminant est la clé pour connaître la nature des solutions.

Est-ce qu'on peut utiliser la méthode de substitution pour tous les systèmes ?

Oui, la substitution fonctionne pour tous les systèmes linéaires, mais elle peut devenir compliquée avec des fractions. Elle est recommandée quand l'un des coefficients est 1 ou -1.

💡 À retenir : Choisis la méthode la plus simple selon les coefficients.

Chno hiya tari9a li s'hla f'l'imti7an?

La méthode par combinaison linéaire est souvent la plus rapide et la moins sujette aux erreurs de calcul, surtout quand les coefficients sont des nombres entiers.

💡 À retenir : Entraîne-toi à la combinaison linéaire, c'est la méthode standard.

Si je trouve 0x + 0y = 5, ça veut dire quoi ?

Cela signifie que l'équation est impossible ( $0 = 5$ est faux). Donc, le système n'a aucune solution.

💡 À retenir : Une égalité fausse implique une absence de solution.

Cela signifie que l'équation est impossible ($0 = 5$ est faux). Donc, le système n'a aucune solution.

💡 À retenir : Une égalité fausse implique une absence de solution.

Comment vérifier si mon résultat est juste ?

Remplace $x$ et $y$ par les valeurs trouvées dans les deux équations initiales. Si les deux égalités sont vérifiées, ton résultat est correct.

💡 À retenir : La vérification est indispensable pour éviter les erreurs d'étourderie.

Remplace $x$ et $y$ par les valeurs trouvées dans les deux équations initiales. Si les deux égalités sont vérifiées, ton résultat est correct.

💡 À retenir : La vérification est indispensable pour éviter les erreurs d'étourderie.

Kifach n3ref wach l'nadhma 3ndha infinité de solutions?

Si après avoir simplifié, tu obtiens une égalité vraie comme $0 = 0$ , cela signifie que les deux équations représentent la même droite. Il y a donc une infinité de solutions.

💡 À retenir : $0=0$ signifie une infinité de solutions.

Si après avoir simplifié, tu obtiens une égalité vraie comme $0 = 0$, cela signifie que les deux équations représentent la même droite. Il y a donc une infinité de solutions.

💡 À retenir : $0=0$ signifie une infinité de solutions.

Est-ce que l'ordre des inconnues est important ?

Oui, le couple solution est toujours noté $(x, y)$ . Si tu trouves $x=3$ et $y=2$ , la solution est $(3, 2)$ , pas $(2, 3)$ .

💡 À retenir : L'ordre $(x, y)$ doit être respecté.

Oui, le couple solution est toujours noté $(x, y)$. Si tu trouves $x=3$ et $y=2$, la solution est $(3, 2)$, pas $(2, 3)$.

💡 À retenir : L'ordre $(x, y)$ doit être respecté.

Puis-je multiplier une seule équation par un nombre ?

Oui, tu peux multiplier tous les termes d'une équation par un même nombre non nul pour simplifier les calculs ou faciliter l'élimination.

💡 À retenir : Multiplier une équation ne change pas ses solutions.

Le déterminant peut-il être négatif ?

Oui, tout à fait. Le déterminant peut être positif, négatif ou nul. L'essentiel est qu'il soit différent de zéro pour avoir une solution unique.

💡 À retenir : Seule la valeur zéro du déterminant est un cas particulier.

Est-ce que les coefficients peuvent être des nombres décimaux ?

Oui, mais pour faciliter les calculs, il est souvent conseillé de multiplier toute l'équation par 10 ou 100 pour travailler avec des nombres entiers.

💡 À retenir : Transforme les décimaux en entiers pour éviter les erreurs.

Pourquoi on appelle ça "système linéaire" ?

Parce que chaque équation représente graphiquement une droite dans le plan. Résoudre le système revient à trouver le point d'intersection de ces deux droites.