Mathématiques · Tronc Commun — Enseignement originel

المستقيم في المستوى الجذع المشترك آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans un repère $(O, I, J)$ , toute droite $(D)$ a une équation de la forme :

$ax + by + c = 0$ (Équation cartésienne, avec $(a, b) \neq (0, 0)$ ).
$y = mx + p$ (Équation réduite, si $b \neq 0$ ). $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$ (si elles ne sont pas parallèles aux axes).

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ .
Vérifier si un point appartient à une droite en remplaçant ses coordonnées dans l'équation.
Tracer une droite à partir de son équation.
Étudier la position relative de deux droites (parallélisme, intersection).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(D): y = 2x - 3$ . Le point $A(1, -1)$ appartient-il à $(D)$ ? Calcul : $2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$ . Comme $y_A = -1$ , alors $A \in (D)$ . Exemple 2 : Trouver le coefficient directeur de la droite passant par $A(1, 2)$ et $B(3, 6)$ . $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $b$ doit être non nul pour écrire $y = mx + p$ .
Confondre le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
Faire une erreur de signe lors du calcul de $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .

L'essentiel du cours

Dans un repère $(O, I, J)$, toute droite $(D)$ a une équation de la forme :

$ax + by + c = 0$ (Équation cartésienne, avec $(a, b) \neq (0, 0)$).
$y = mx + p$ (Équation réduite, si $b \neq 0$). $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$ (si elles ne sont pas parallèles aux axes).

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$.
Vérifier si un point appartient à une droite en remplaçant ses coordonnées dans l'équation.
Tracer une droite à partir de son équation.
Étudier la position relative de deux droites (parallélisme, intersection).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(D): y = 2x - 3$. Le point $A(1, -1)$ appartient-il à $(D)$ ? Calcul : $2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$. Comme $y_A = -1$, alors $A \in (D)$. Exemple 2 : Trouver le coefficient directeur de la droite passant par $A(1, 2)$ et $B(3, 6)$. $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $b$ doit être non nul pour écrire $y = mx + p$.
Confondre le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
Faire une erreur de signe lors du calcul de $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 المستقيم في المستوى الجذع المشترك آداب وعلوم انسانية

1/4

Quelle est l'équation d'une droite horizontale ?

❓ Questions fréquentes

Que signifie p dans y = mx + p ?

$p$ est l'ordonnée à l'origine. C'est le point où la droite coupe l'axe $(OJ)$ . Ses coordonnées sont $(0, p)$ .

$p$ est l'ordonnée à l'origine. C'est le point où la droite coupe l'axe $(OJ)$. Ses coordonnées sont $(0, p)$.

Si deux droites ont le même p, que peut-on dire ?

Elles se coupent toutes les deux sur l'axe $(OJ)$ au point de coordonnées $(0, p)$ .

Elles se coupent toutes les deux sur l'axe $(OJ)$ au point de coordonnées $(0, p)$.

Comment tracer une droite avec y = 2x - 1 ?

Choisis deux valeurs pour $x$ (ex: 0 et 1).
Calcule les $y$ correspondants : pour $x=0, y=-1$ ; pour $x=1, y=1$ .
Place les points $(0, -1)$ et $(1, 1)$ et trace la droite.

Choisis deux valeurs pour $x$ (ex: 0 et 1).
Calcule les $y$ correspondants : pour $x=0, y=-1$ ; pour $x=1, y=1$.
Place les points $(0, -1)$ et $(1, 1)$ et trace la droite.

Pourquoi le produit des pentes est -1 pour les droites perpendiculaires ?

C'est une propriété géométrique fondamentale. Si $m_1 \times m_2 = -1$ , alors l'angle entre les deux droites est de $90^\circ$ .

C'est une propriété géométrique fondamentale. Si $m_1 \times m_2 = -1$, alors l'angle entre les deux droites est de $90^\circ$.

Est-ce que je peux utiliser le théorème de Pythagore ici ?

Le théorème de Pythagore sert à calculer des distances, pas à trouver l'équation d'une droite, sauf pour vérifier si un triangle est rectangle.

Kifach n3ref wach wahed nuqta kayna f mstaqim?

Khoud l-i7datiyat (coordonnées) dyal nuqta $A(x_A, y_A)$ .
3ewed $x_A$ f blaset $x$ f mo3adalat lmostaqim.
Ila lqiti natija hiya $y_A$ , rah nuqta kayna. Ila lqiti raqam khor, rah makaynach.

💡 À retenir : L'appartenance se vérifie par le calcul : $y_A = m x_A + p$ .

Khoud l-i7datiyat (coordonnées) dyal nuqta $A(x_A, y_A)$.
3ewed $x_A$ f blaset $x$ f mo3adalat lmostaqim.
Ila lqiti natija hiya $y_A$, rah nuqta kayna. Ila lqiti raqam khor, rah makaynach.

💡 À retenir : L'appartenance se vérifie par le calcul : $y_A = m x_A + p$.

Chno hiya l-farq bin l-mo3adala l-cartésienne w l-mo3adala l-mojawwaha?

L-mo3adala l-cartésienne katb : $ax + by + c = 0$ . Katkhedem l-ga3 l-mstaqimat.
L-mo3adala l-mojawwaha (réduite) katb : $y = mx + p$ . Makatkhdemch ila kan lmostaqim 3amoudi (vertical).

💡 À retenir : L'équation réduite est plus facile pour tracer la droite.

L-mo3adala l-cartésienne katb : $ax + by + c = 0$. Katkhedem l-ga3 l-mstaqimat.
L-mo3adala l-mojawwaha (réduite) katb : $y = mx + p$. Makatkhdemch ila kan lmostaqim 3amoudi (vertical).

💡 À retenir : L'équation réduite est plus facile pour tracer la droite.

Kifach n7seb l-mil (coefficient directeur) ila 3tani jouj nuqat?

7ded $A(x_A, y_A)$ w $B(x_B, y_B)$ .
St3mel l-qa3ida : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .
7seb l-farq dyal l-arateb (ordonnées) 3la l-farq dyal l-afasib (abscisses).

💡 À retenir : Il ne faut jamais inverser $x$ et $y$ dans la formule.

7ded $A(x_A, y_A)$ w $B(x_B, y_B)$.
St3mel l-qa3ida : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
7seb l-farq dyal l-arateb (ordonnées) 3la l-farq dyal l-afasib (abscisses).

💡 À retenir : Il ne faut jamais inverser $x$ et $y$ dans la formule.

Peut-on avoir une droite sans coefficient directeur ?

Oui, les droites verticales (parallèles à l'axe des ordonnées) n'ont pas de coefficient directeur car le dénominateur $x_B - x_A$ serait nul. Leur équation est de la forme $x = k$ .

Oui, les droites verticales (parallèles à l'axe des ordonnées) n'ont pas de coefficient directeur car le dénominateur $x_B - x_A$ serait nul. Leur équation est de la forme $x = k$.

Comment savoir si deux droites sont parallèles ?

Elles sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur $m$ . Si elles sont verticales, elles sont parallèles entre elles.

Elles sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur $m$. Si elles sont verticales, elles sont parallèles entre elles.

Comment trouver l'intersection de deux droites ?

Il faut résoudre le système formé par les deux équations des droites. La solution $(x, y)$ est le point d'intersection.

Est-ce que y = 3 est une droite ?

Oui, c'est une droite horizontale parallèle à l'axe des abscisses. Son coefficient directeur est $m = 0$ .

Oui, c'est une droite horizontale parallèle à l'axe des abscisses. Son coefficient directeur est $m = 0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Déterminer l'équation réduite de la droite $(D)$ passant par $A(1, 2)$ et $B(3, 6)$ .

Exercice 1

Déterminer l'équation réduite de la droite $(D)$ passant par $A(1, 2)$ et $B(3, 6)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soient $(D_1): y = 3x + 1$ et $(D_2): y = -1/3 x + 2$ . Étudier leur position relative.

Exercice 2

Soient $(D_1): y = 3x + 1$ et $(D_2): y = -1/3 x + 2$. Étudier leur position relative.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Trouver le point d'intersection des droites $(D_1): y = x + 2$ et $(D_2): y = -x + 4$ .

Exercice 3

Trouver le point d'intersection des droites $(D_1): y = x + 2$ et $(D_2): y = -x + 4$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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