1. Identifie P(A) et P(A cap B). 2. Applique la formule PA(B) = frac{P(A cap B)}{P(A)}. 3. Si tu as un arbre, c'est la branche qui part de A vers B. 💡 À retenir : PA(B) est la probabilité de B "sachant que" A est déjà réalisé.

Mathématiques · BTS & DUT (EST) — BTS

Probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Univers $\Omega$ : Ensemble des résultats possibles.
Probabilité $P$ : Application de $\mathcal{P}(\Omega)$ vers $[0, 1]$ telle que $P(\Omega)=1$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Équiprobabilité : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$ .
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .
Loi binomiale : $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , alors $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ .

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les arrangements $A_n^k$ (ordre important) ou les combinaisons $C_n^k$ (ordre non important).
Arbre pondéré : Indispensable pour les probabilités conditionnelles et les tirages successifs.
Variable aléatoire : Dresser le tableau de la loi de probabilité $\sum P(X=x_i) = 1$ .

Exemples corrigés

Tirage : Dans une urne de 10 boules (4 rouges, 6 noires), tirer 2 boules simultanément. $P(\text{2 rouges}) = \frac{C_4^2}{C_{10}^2} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$ .
Loi binomiale : 5 épreuves de Bernoulli, $p=0.2$ . $P(X=1) = C_5^1 (0.2)^1 (0.8)^4 = 5 \times 0.2 \times 0.4096 = 0.4096$ .

Erreurs fréquentes

Confondre tirage avec remise (indépendant) et sans remise (dépendant).
Oublier que la somme des probabilités d'une loi doit valoir 1.
Utiliser $A_n^k$ au lieu de $C_n^k$ quand l'ordre n'importe pas.

L'essentiel du cours

Univers $\Omega$ : Ensemble des résultats possibles.
Probabilité $P$ : Application de $\mathcal{P}(\Omega)$ vers $[0, 1]$ telle que $P(\Omega)=1$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Équiprobabilité : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$.
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Loi binomiale : $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, alors $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les arrangements $A_n^k$ (ordre important) ou les combinaisons $C_n^k$ (ordre non important).
Arbre pondéré : Indispensable pour les probabilités conditionnelles et les tirages successifs.
Variable aléatoire : Dresser le tableau de la loi de probabilité $\sum P(X=x_i) = 1$.

Exemples corrigés

Tirage : Dans une urne de 10 boules (4 rouges, 6 noires), tirer 2 boules simultanément. $P(\text{2 rouges}) = \frac{C_4^2}{C_{10}^2} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
Loi binomiale : 5 épreuves de Bernoulli, $p=0.2$. $P(X=1) = C_5^1 (0.2)^1 (0.8)^4 = 5 \times 0.2 \times 0.4096 = 0.4096$.

Erreurs fréquentes

Confondre tirage avec remise (indépendant) et sans remise (dépendant).
Oublier que la somme des probabilités d'une loi doit valoir 1.
Utiliser $A_n^k$ au lieu de $C_n^k$ quand l'ordre n'importe pas.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Probabilités

1/4

Dans une urne de 10 boules, tirer 2 boules simultanément correspond à :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si je dois utiliser Cn^k ou An^k ?

Si l'ordre des éléments tirés est important (ex: podium, numéro de téléphone), utilise $A_n^k$ .
Si l'ordre n'a aucune importance (ex: main de cartes, tirage simultané), utilise $C_n^k$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ( $C_n^k$ ). Successif sans remise = Arrangement ( $A_n^k$ ).

Si l'ordre des éléments tirés est important (ex: podium, numéro de téléphone), utilise $A_n^k$.
Si l'ordre n'a aucune importance (ex: main de cartes, tirage simultané), utilise $C_n^k$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ($C_n^k$). Successif sans remise = Arrangement ($A_n^k$).

Kifach n3ref wach l-i7timalat mstaqila (indépendantes) wla la ?

Vérifie si le résultat du premier tirage influence le second.
Si tu remets la boule dans l'urne, les tirages sont indépendants.
Mathématiquement, $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

💡 À retenir : Avec remise = Indépendance. Sans remise = Dépendance.

Vérifie si le résultat du premier tirage influence le second.
Si tu remets la boule dans l'urne, les tirages sont indépendants.
Mathématiquement, $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

💡 À retenir : Avec remise = Indépendance. Sans remise = Dépendance.

Chno hiya l-far9 bin l-i7timal (probabilité) w l-amal (espérance) ?

L'i7timal est la chance qu'un événement arrive (entre 0 et 1).
L'amal (espérance) est la valeur moyenne théorique du résultat d'une variable aléatoire sur un grand nombre d'essais.

💡 À retenir : L'i7timal mesure la probabilité, l'amal mesure la moyenne.

Kifach n7seb PA(B) ?

Identifie $P(A)$ et $P(A \cap B)$ .
Applique la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
Si tu as un arbre, c'est la branche qui part de A vers B.

💡 À retenir : $P_A(B)$ est la probabilité de B "sachant que" A est déjà réalisé.

Identifie $P(A)$ et $P(A \cap B)$.
Applique la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Si tu as un arbre, c'est la branche qui part de A vers B.

💡 À retenir : $P_A(B)$ est la probabilité de B "sachant que" A est déjà réalisé.

Est-ce que la somme des probabilités peut être supérieure à 1 ?

Non, jamais. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l'univers doit être exactement égale à 1.

💡 À retenir : Si tu trouves $>1$ , tu as fait une erreur de calcul.

Non, jamais. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l'univers doit être exactement égale à 1.

💡 À retenir : Si tu trouves $>1$, tu as fait une erreur de calcul.

Comment calculer P(bar{A}) ?

Utilise la règle de l'événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
C'est très utile quand calculer $P(A)$ est difficile.

💡 À retenir : $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ .

Utilise la règle de l'événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
C'est très utile quand calculer $P(A)$ est difficile.

💡 À retenir : $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

C'est une fonction qui associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel.

💡 À retenir : Elle transforme les résultats de l'expérience en valeurs numériques.

Comment dresser la loi de probabilité d'une variable aléatoire ?

Détermine toutes les valeurs possibles $x_i$ que peut prendre $X$ .
Calcule $P(X=x_i)$ pour chaque valeur.
Présente les résultats dans un tableau.

💡 À retenir : La somme des $P(X=x_i)$ doit être égale à 1.

Détermine toutes les valeurs possibles $x_i$ que peut prendre $X$.
Calcule $P(X=x_i)$ pour chaque valeur.
Présente les résultats dans un tableau.

💡 À retenir : La somme des $P(X=x_i)$ doit être égale à 1.

C'est quoi la différence entre tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise : Les probabilités restent identiques à chaque tirage (indépendance).
Sans remise : Le nombre total de boules diminue, donc les probabilités changent (dépendance).

💡 À retenir : Sans remise = les probabilités changent.

Comment calculer la variance V(X) ?

Calcule l'espérance $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ .
Calcule $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ .
Utilise la formule $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .

💡 À retenir : La variance est toujours positive.

Calcule l'espérance $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.
Calcule $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$.
Utilise la formule $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

💡 À retenir : La variance est toujours positive.

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, on considère que les objets sont pris en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance.

💡 À retenir : Simultané = $C_n^k$ .

Non, dans un tirage simultané, on considère que les objets sont pris en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance.

💡 À retenir : Simultané = $C_n^k$.

Quand utiliser la loi binomiale ?

Quand l'expérience est répétée $n$ fois de façon identique.
Quand chaque épreuve n'a que deux issues (succès ou échec).
Quand les épreuves sont indépendantes.

💡 À retenir : $\mathcal{B}(n, p)$ nécessite indépendance et deux issues.

Quand l'expérience est répétée $n$ fois de façon identique.
Quand chaque épreuve n'a que deux issues (succès ou échec).
Quand les épreuves sont indépendantes.

💡 À retenir : $\mathcal{B}(n, p)$ nécessite indépendance et deux issues.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules noires. On tire 2 boules simultanément.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité d'obtenir 2 boules blanches.
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un dé équilibré à 6 faces est lancé 4 fois. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on obtient le chiffre 6.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Calculer $P(X=2)$ .

Exercice 2

Un dé équilibré à 6 faces est lancé 4 fois. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on obtient le chiffre 6.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Calculer $P(X=2)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Une entreprise produit des composants. 2% sont défectueux. On choisit 10 composants au hasard. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un composant défectueux.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Limites et continuité Dérivabilité et étude de fonctions Fonctions logarithmes et exponentielles Calcul intégral Équations différentielles Suites numériques Nombres complexes Matrices et systèmes linéaires