Mathématiques · BTS & DUT (EST) — BTS

Matrices et systèmes linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une matrice $A$ de type $(n, p)$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.
Opérations : Addition (même type), multiplication par un scalaire, produit matriciel $A \times B$ (possible si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ ).
Matrice identité $I_n$ : Matrice carrée avec des $1$ sur la diagonale et $0$ ailleurs.
Déterminant : Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , $\det(A) = ad - bc$ .
Inversibilité : $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ . Alors $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer le produit de deux matrices.
Calculer le déterminant d'une matrice $2 \times 2$ et $3 \times 3$ (Sarrus).
Résoudre un système $AX = B$ en utilisant $X = A^{-1}B$ si $A$ est inversible.
Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour échelonner une matrice.

Exemples corrigés

Produit : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times3 + 2\times4 \\ 0\times3 + 1\times4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
Inverse : Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $\det(A) = 4 - 6 = -2$ . $A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A \times B$ et $B \times A$ (le produit matriciel n'est pas commutatif).
Oublier que $\det(A) = 0$ signifie que la matrice n'est pas inversible.
Faire des erreurs de signe lors du calcul du déterminant $3 \times 3$ .

L'essentiel du cours

Une matrice $A$ de type $(n, p)$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.
Opérations : Addition (même type), multiplication par un scalaire, produit matriciel $A \times B$ (possible si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$).
Matrice identité $I_n$ : Matrice carrée avec des $1$ sur la diagonale et $0$ ailleurs.
Déterminant : Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$, $\det(A) = ad - bc$.
Inversibilité : $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Alors $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer le produit de deux matrices.
Calculer le déterminant d'une matrice $2 \times 2$ et $3 \times 3$ (Sarrus).
Résoudre un système $AX = B$ en utilisant $X = A^{-1}B$ si $A$ est inversible.
Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour échelonner une matrice.

Exemples corrigés

Produit : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times3 + 2\times4 \ 0\times3 + 1\times4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \ 4 \end{pmatrix}$.
Inverse : Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\det(A) = 4 - 6 = -2$. $A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A \times B$ et $B \times A$ (le produit matriciel n'est pas commutatif).
Oublier que $\det(A) = 0$ signifie que la matrice n'est pas inversible.
Faire des erreurs de signe lors du calcul du déterminant $3 \times 3$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Matrices et systèmes linéaires

1/4

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Le déterminant de $A$ est :

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Le déterminant de $A$ est :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une matrice carrée ?

Une matrice est dite carrée si elle possède le même nombre de lignes et de colonnes. On dit qu'elle est d'ordre $n$ si elle a $n$ lignes et $n$ colonnes.

💡 À retenir : Seules les matrices carrées peuvent être inversibles.

Une matrice est dite carrée si elle possède le même nombre de lignes et de colonnes. On dit qu'elle est d'ordre $n$ si elle a $n$ lignes et $n$ colonnes.

💡 À retenir : Seules les matrices carrées peuvent être inversibles.

Kifach n7seb l-mo7adid dyal matrice 3x3?

Utilise la règle de Sarrus : recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice.
Fais la somme des produits des trois diagonales descendantes.
Soustrais la somme des produits des trois diagonales montantes.

💡 À retenir : Fais très attention aux signes lors des multiplications.

Est-ce que A times B = B times A est toujours vrai ?

Non, en général, le produit matriciel n'est pas commutatif. $A \times B$ peut être différent de $B \times A$ , voire l'un peut exister et l'autre non.

💡 À retenir : L'ordre des matrices dans un produit est crucial.

Non, en général, le produit matriciel n'est pas commutatif. $A \times B$ peut être différent de $B \times A$, voire l'un peut exister et l'autre non.

💡 À retenir : L'ordre des matrices dans un produit est crucial.

Chno hiya l-matrice li makatqbelch l-qalbe?

Hiya l-matrice li l-mo7adid dyalha (déterminant) kaysawi 0. F had l-hala, ma3ndnach $A^{-1}$ .

💡 À retenir : Si $\det(A) = 0$ , le système $AX=B$ n'a pas de solution unique.

Hiya l-matrice li l-mo7adid dyalha (déterminant) kaysawi 0. F had l-hala, ma3ndnach $A^{-1}$.

💡 À retenir : Si $\det(A) = 0$, le système $AX=B$ n'a pas de solution unique.

Comment savoir si un système a une solution unique ?

Un système $AX = B$ possède une solution unique si et seulement si la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire $\det(A) \neq 0$ .

💡 À retenir : Si $\det(A) \neq 0$ , alors $X = A^{-1}B$ .

Un système $AX = B$ possède une solution unique si et seulement si la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire $\det(A) \neq 0$.

💡 À retenir : Si $\det(A) \neq 0$, alors $X = A^{-1}B$.

Kifach nkhdem b pivot de Gauss?

Kanst3mlo l-3amaliyat 3la s-sotour (tbdal, darb, jm3) bach nrdou l-matrice triangle (sifrat ta7t l-qotr).
Mn b3d, kanbdaw n7sbo l-majahil mn l-louta l-lfouq.

💡 À retenir : C'est la méthode la plus efficace pour les systèmes $3 \times 3$ ou plus.

Kanst3mlo l-3amaliyat 3la s-sotour (tbdal, darb, jm3) bach nrdou l-matrice triangle (sifrat ta7t l-qotr).
Mn b3d, kanbdaw n7sbo l-majahil mn l-louta l-lfouq.

💡 À retenir : C'est la méthode la plus efficace pour les systèmes $3 \times 3$ ou plus.

Peut-on multiplier deux matrices de types différents ?

Oui, à condition que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la deuxième.

💡 À retenir : Si $A$ est $(n, p)$ et $B$ est $(p, m)$ , alors $A \times B$ est $(n, m)$ .

Oui, à condition que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la deuxième.

💡 À retenir : Si $A$ est $(n, p)$ et $B$ est $(p, m)$, alors $A \times B$ est $(n, m)$.

Qu'est-ce qu'une matrice identité ?

C'est une matrice carrée qui a des $1$ sur sa diagonale principale et des $0$ partout ailleurs. Elle joue le rôle de $1$ pour la multiplication matricielle ( $A \times I = A$ ).

💡 À retenir : $I_n$ est l'élément neutre de la multiplication.

C'est une matrice carrée qui a des $1$ sur sa diagonale principale et des $0$ partout ailleurs. Elle joue le rôle de $1$ pour la multiplication matricielle ($A \times I = A$).

💡 À retenir : $I_n$ est l'élément neutre de la multiplication.

Est-ce que la transposée d'une matrice est toujours possible ?

Oui, pour toute matrice $A$ de type $(n, p)$ , sa transposée $A^T$ est de type $(p, n)$ et s'obtient en échangeant les lignes et les colonnes.

💡 À retenir : La ligne $i$ devient la colonne $i$ .

Oui, pour toute matrice $A$ de type $(n, p)$, sa transposée $A^T$ est de type $(p, n)$ et s'obtient en échangeant les lignes et les colonnes.

💡 À retenir : La ligne $i$ devient la colonne $i$.

Pourquoi on utilise les matrices dans les systèmes ?

Pour simplifier l'écriture et permettre une résolution algorithmique (informatique) rapide des systèmes complexes.

💡 À retenir : $AX=B$ est une notation compacte très puissante.

Pour simplifier l'écriture et permettre une résolution algorithmique (informatique) rapide des systèmes complexes.

💡 À retenir : $AX=B$ est une notation compacte très puissante.

Chhal mn 7al kayn f n-nizma?

Kayn 3 d l-7alat : 7al wa7id (inversible), 0 7al (mustahila), awla malanihaya dyal l-7ouloul.

💡 À retenir : Tout dépend du déterminant et de la compatibilité du système.

Est-ce que le déterminant d'une matrice 2 times 2 peut être négatif ?

Oui, tout à fait. Le déterminant est un nombre réel qui peut être positif, négatif ou nul.

💡 À retenir : Le signe n'empêche pas l'inversibilité, seul le zéro le fait.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ .

Calculer $\det(A)$ .
Déterminer $A^{-1}$ .
Résoudre le système : $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$ .

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$.

Calculer $\det(A)$.
Déterminer $A^{-1}$.
Résoudre le système : $\begin{cases} x + 2y = 5 \ 3x + 4y = 11 \end{cases}$.

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Exercice 2

Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système : $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ x + 4y + 9z = 36 \end{cases}$

Exercice 2

Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système : $\begin{cases} x + y + z = 6 \ x + 2y + 3z = 14 \ x + 4y + 9z = 36 \end{cases}$

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Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Calculer $\det(A)$ .
La matrice $A$ est-elle inversible ? Justifier.

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculer $\det(A)$.
La matrice $A$ est-elle inversible ? Justifier.

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