Mathématiques · BTS & DUT (EST) — BTS

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ ).
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_0 + nr$ .
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$ .
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : 1) Initialisation, 2) Hérédité (supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ vraie), 3) Conclusion.
Étude de monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ .

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n > 0$ . Si $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ , alors $u_n > 0$ est vrai par récurrence.
Limite : Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et $u_n \to \ell$ , alors $f(\ell) = \ell$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre suite arithmétique ( $u_{n+1} - u_n = r$ ) et géométrique ( $u_{n+1}/u_n = q$ ).
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut aussi qu'elle soit croissante).

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$).
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_0 + nr$.
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$.
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : 1) Initialisation, 2) Hérédité (supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ vraie), 3) Conclusion.
Étude de monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n > 0$. Si $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$, alors $u_n > 0$ est vrai par récurrence.
Limite : Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et $u_n \to \ell$, alors $f(\ell) = \ell$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre suite arithmétique ($u_{n+1} - u_n = r$) et géométrique ($u_{n+1}/u_n = q$).
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut aussi qu'elle soit croissante).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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La suite $u_n = 5 \cdot 2^n$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une suite et une fonction ?

Une fonction est définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$ (valeurs continues), tandis qu'une suite est définie sur $\mathbb{N}$ (valeurs discrètes, comme des points isolés).

💡 À retenir : La suite est une fonction dont l'ensemble de départ est $\mathbb{N}$ .

Une fonction est définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$ (valeurs continues), tandis qu'une suite est définie sur $\mathbb{N}$ (valeurs discrètes, comme des points isolés).

💡 À retenir : La suite est une fonction dont l'ensemble de départ est $\mathbb{N}$.

Kifach n3ref wach suite arithmétique wla géométrique ?

Calcule $u_{n+1} - u_n$ . Si c'est un nombre constant $r$ , elle est arithmétique.
Calcule $u_{n+1} / u_n$ . Si c'est un nombre constant $q$ , elle est géométrique.

💡 À retenir : Arithmétique = addition, Géométrique = multiplication.

Calcule $u_{n+1} - u_n$. Si c'est un nombre constant $r$, elle est arithmétique.
Calcule $u_{n+1} / u_n$. Si c'est un nombre constant $q$, elle est géométrique.

💡 À retenir : Arithmétique = addition, Géométrique = multiplication.

Est-ce qu'une suite bornée est forcément convergente ?

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$ . Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle n'a pas de limite (elle oscille).

💡 À retenir : Bornée + monotone = convergente.

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$. Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle n'a pas de limite (elle oscille).

💡 À retenir : Bornée + monotone = convergente.

Chno hiya l'utilité dyal l'istidlal b tarajo3 ?

C'est l'outil principal pour démontrer des propriétés sur les suites qui dépendent d'un entier naturel $n$ (ex: $u_n > 0$ ou $u_n \leq 5$ ).

💡 À retenir : Sans récurrence, on ne peut pas prouver la plupart des propriétés des suites définies par récurrence.

C'est l'outil principal pour démontrer des propriétés sur les suites qui dépendent d'un entier naturel $n$ (ex: $u_n > 0$ ou $u_n \leq 5$).

💡 À retenir : Sans récurrence, on ne peut pas prouver la plupart des propriétés des suites définies par récurrence.

Kifach n7seb la limite dyal suite u{n+1} = f(un) ?

Tu dois d'abord prouver que la suite est convergente (monotone et bornée).
Tu résous l'équation $f(\ell) = \ell$ .

💡 À retenir : La limite est un point fixe de la fonction $f$ .

Tu dois d'abord prouver que la suite est convergente (monotone et bornée).
Tu résous l'équation $f(\ell) = \ell$.

💡 À retenir : La limite est un point fixe de la fonction $f$.

Si un to +infty et vn to -infty, que vaut un + vn ?

C'est une forme indéterminée. Il faut factoriser ou utiliser les règles de calcul sur les limites pour lever l'indétermination.

💡 À retenir : Ne jamais conclure directement sur une forme indéterminée.

Est-ce que toute suite croissante tend vers +infty ?

Non, seulement si elle n'est pas majorée. Si elle est majorée, elle converge vers une limite finie.

💡 À retenir : Croissante + majorée = convergente.

Comment montrer qu'une suite est adjacente ?

Il faut vérifier trois conditions : 1) $(u_n)$ croissante, 2) $(v_n)$ décroissante, 3) $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ .

💡 À retenir : Les suites adjacentes convergent vers la même limite.

Il faut vérifier trois conditions : 1) $(u_n)$ croissante, 2) $(v_n)$ décroissante, 3) $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$.

💡 À retenir : Les suites adjacentes convergent vers la même limite.

Est-ce que le terme général d'une suite est toujours une formule avec n ?

Oui, pour les suites explicites. Pour les suites récurrentes, on n'a pas toujours une formule explicite simple.

💡 À retenir : Une suite peut être définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ sans avoir de formule directe en $n$ .

Oui, pour les suites explicites. Pour les suites récurrentes, on n'a pas toujours une formule explicite simple.

💡 À retenir : Une suite peut être définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ sans avoir de formule directe en $n$.

Chno hiya l'importance dyal l'adad q f suite géométrique ?

Si $|q| < 1$ , la suite tend vers 0. Si $q = 1$ , elle est constante. Si $q > 1$ , elle diverge vers $\pm \infty$ .

💡 À retenir : La raison $q$ détermine le comportement à l'infini.

Si $|q| < 1$, la suite tend vers 0. Si $q = 1$, elle est constante. Si $q > 1$, elle diverge vers $\pm \infty$.

💡 À retenir : La raison $q$ détermine le comportement à l'infini.

Est-ce que je peux utiliser la dérivée pour étudier la monotonie d'une suite ?

Oui, si $u_n = f(n)$ , alors le signe de $f'(x)$ donne le sens de variation de la suite.

💡 À retenir : $f$ croissante sur $[0, +\infty[$ implique $(u_n)$ croissante.

Oui, si $u_n = f(n)$, alors le signe de $f'(x)$ donne le sens de variation de la suite.

💡 À retenir : $f$ croissante sur $[0, +\infty[$ implique $(u_n)$ croissante.

Pourquoi on étudie souvent u{n+1} - un ?

Parce que le signe de cette différence nous donne directement si la suite augmente (positif) ou diminue (négatif).

💡 À retenir : $u_{n+1} - u_n > 0 \iff$ suite croissante.

Parce que le signe de cette différence nous donne directement si la suite augmente (positif) ou diminue (négatif).

💡 À retenir : $u_{n+1} - u_n > 0 \iff$ suite croissante.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q = 1/3$ et $v_0 = 9$ .

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n$ .
Déterminer $\lim_{n \to +\infty} S_n$ .

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q = 1/3$ et $v_0 = 9$.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n$.
Déterminer $\lim_{n \to +\infty} S_n$.

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Exercice 3

Soit $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ avec $u_0 = 0$ .

Montrer que $0 \leq u_n \leq 3$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
Déterminer la limite de $(u_n)$ .

Exercice 3

Soit $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ avec $u_0 = 0$.

Montrer que $0 \leq u_n \leq 3$.
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
Déterminer la limite de $(u_n)$.

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