Mathématiques · BTS & DUT (EST) — BTS

Nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Forme algébrique : $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$ .
Conjugué : $\bar{z} = a - ib$ . Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ , $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ .
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Propriété : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ .
Argument : $\text{arg}(z) \equiv \theta [2\pi]$ .
Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \text{arg}(z)$ .
Équations du second degré : $az^2 + bz + c = 0$ . On calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta < 0$ , les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ .

Méthodes à maîtriser

Passage d'une forme à l'autre : Savoir calculer $r$ et $\theta$ pour passer de $a+ib$ à $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ .
Interprétation géométrique : $|z_B - z_A| = AB$ et $\text{arg}(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) [2\pi]$ .
Résolution d'équations : Utiliser le discriminant $\Delta$ même si les coefficients sont complexes (à vérifier par le professeur si coefficients complexes au programme).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Écrire $z = 1 + i$ sous forme exponentielle. $|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ . $z = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$ .
Exemple 2 : Résoudre $z^2 - 2z + 2 = 0$ . $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$ . $z_1 = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i$ et $z_2 = 1 + i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans l'argument.
Confondre $\bar{z}$ et $-z$ .
Faire des erreurs de signe lors du calcul de $\Delta$ .
Ne pas simplifier les fractions avec $i$ au dénominateur (multiplier par le conjugué).

L'essentiel du cours

Forme algébrique : $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$.
Conjugué : $\bar{z} = a - ib$. Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$.
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Propriété : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$.
Argument : $\text{arg}(z) \equiv \theta [2\pi]$.
Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \text{arg}(z)$.
Équations du second degré : $az^2 + bz + c = 0$. On calcule $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta < 0$, les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.

Méthodes à maîtriser

Passage d'une forme à l'autre : Savoir calculer $r$ et $\theta$ pour passer de $a+ib$ à $r(\cos \theta + i \sin \theta)$.
Interprétation géométrique : $|z_B - z_A| = AB$ et $\text{arg}(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) [2\pi]$.
Résolution d'équations : Utiliser le discriminant $\Delta$ même si les coefficients sont complexes (à vérifier par le professeur si coefficients complexes au programme).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Écrire $z = 1 + i$ sous forme exponentielle. $|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. $z = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$.
Exemple 2 : Résoudre $z^2 - 2z + 2 = 0$. $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$. $z_1 = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i$ et $z_2 = 1 + i$.

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans l'argument.
Confondre $\bar{z}$ et $-z$.
Faire des erreurs de signe lors du calcul de $\Delta$.
Ne pas simplifier les fractions avec $i$ au dénominateur (multiplier par le conjugué).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Nombres complexes

1/4

Le module de $z = 3 - 4i$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'argument dyal chi nombre complexe z = a+ib ?

Calcule d'abord le module $r = \sqrt{a^2+b^2}$ .
Écris $z = r(\frac{a}{r} + i\frac{b}{r})$ .
Cherche l'angle $\theta$ tel que $\cos \theta = \frac{a}{r}$ et $\sin \theta = \frac{b}{r}$ .

💡 À retenir : Utilise le cercle trigonométrique pour trouver $\theta$ précisément.

Calcule d'abord le module $r = \sqrt{a^2+b^2}$.
Écris $z = r(\frac{a}{r} + i\frac{b}{r})$.
Cherche l'angle $\theta$ tel que $\cos \theta = \frac{a}{r}$ et $\sin \theta = \frac{b}{r}$.

💡 À retenir : Utilise le cercle trigonométrique pour trouver $\theta$ précisément.

Est-ce que |z1 + z2| = |z1| + |z2| est toujours vrai ?

Non, c'est faux en général. C'est l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ . L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 À retenir : Ne distribue jamais le module sur une somme.

Non, c'est faux en général. C'est l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$. L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 À retenir : Ne distribue jamais le module sur une somme.

Chno hiya l'relation bin l'écriture exponentielle w l'écriture trigonométrique ?

C'est la formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ . Donc $r e^{i\theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ .

💡 À retenir : L'exponentielle est juste une notation simplifiée pour faciliter les calculs de produits et puissances.

C'est la formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. Donc $r e^{i\theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)$.

💡 À retenir : L'exponentielle est juste une notation simplifiée pour faciliter les calculs de produits et puissances.

Kifach n3ref wach no9ta M katnmi l'cercle ?

Si le cercle a pour centre $\Omega$ (affixe $\omega$ ) et rayon $R$ , alors $M$ appartient au cercle si et seulement si $|z_M - \omega| = R$ .

💡 À retenir : Le module représente la distance entre deux points.

Si le cercle a pour centre $\Omega$ (affixe $\omega$) et rayon $R$, alors $M$ appartient au cercle si et seulement si $|z_M - \omega| = R$.

💡 À retenir : Le module représente la distance entre deux points.

Comment calculer z^n pour n grand ?

Utilise la forme exponentielle : $z = r e^{i\theta} \implies z^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$ .

💡 À retenir : C'est la formule de Moivre.

Utilise la forme exponentielle : $z = r e^{i\theta} \implies z^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$.

💡 À retenir : C'est la formule de Moivre.

Est-ce que l'argument est unique ?

Non, l'argument est défini à $2k\pi$ près (avec $k \in \mathbb{Z}$ ). On parle souvent de l'argument principal dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

💡 À retenir : $arg(z) = \theta + 2k\pi$ .

Non, l'argument est défini à $2k\pi$ près (avec $k \in \mathbb{Z}$). On parle souvent de l'argument principal dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

💡 À retenir : $arg(z) = \theta + 2k\pi$.

Comment simplifier frac{z1}{z2} ?

Multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $\bar{z_2}$ .

💡 À retenir : Le but est d'avoir un nombre réel au dénominateur.

Multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $\bar{z_2}$.

💡 À retenir : Le but est d'avoir un nombre réel au dénominateur.

Est-ce que i est une solution de toutes les équations ?

Non, seulement si $i$ vérifie l'équation. Remplace $z$ par $i$ et vérifie si le résultat est 0.

💡 À retenir : $i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ .

Non, seulement si $i$ vérifie l'équation. Remplace $z$ par $i$ et vérifie si le résultat est 0.

💡 À retenir : $i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$.

Chno hiya l'interprétation géométrique dyal frac{zC - zA}{zB - zA} ?

Le module $|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}| = \frac{AC}{AB}$ et l'argument $\text{arg}(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) [2\pi]$ .

💡 À retenir : Cela permet de démontrer qu'un triangle est isocèle ou rectangle.

Le module $|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}| = \frac{AC}{AB}$ et l'argument $\text{arg}(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) [2\pi]$.

💡 À retenir : Cela permet de démontrer qu'un triangle est isocèle ou rectangle.

Comment trouver l'affixe d'un point après une rotation ?

Si $M'$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$ , alors $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$ .

💡 À retenir : $z' = \omega + e^{i\alpha}(z - \omega)$ .

Si $M'$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$, alors $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$.

💡 À retenir : $z' = \omega + e^{i\alpha}(z - \omega)$.

Est-ce que le conjugué d'un produit est le produit des conjugués ?

Oui, $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$ . C'est une propriété très utile pour simplifier les calculs.

💡 À retenir : Le conjugué respecte toutes les opérations (somme, produit, quotient).

Oui, $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$. C'est une propriété très utile pour simplifier les calculs.

💡 À retenir : Le conjugué respecte toutes les opérations (somme, produit, quotient).

Pourquoi on utilise souvent le nombre i ?

Parce qu'il permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans $\mathbb{R}$ , comme $z^2 + 1 = 0$ .

💡 À retenir : Les nombres complexes étendent les réels pour rendre toutes les équations polynomiales résolubles.

Parce qu'il permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans $\mathbb{R}$, comme $z^2 + 1 = 0$.

💡 À retenir : Les nombres complexes étendent les réels pour rendre toutes les équations polynomiales résolubles.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 - i$ .

Déterminer le module et un argument de $z_1$ et $z_2$ .
Écrire $Z = \frac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
En déduire $\cos(\frac{7\pi}{12})$ et $\sin(\frac{7\pi}{12})$ .

Exercice 1

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 - i$.

Déterminer le module et un argument de $z_1$ et $z_2$.
Écrire $Z = \frac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
En déduire $\cos(\frac{7\pi}{12})$ et $\sin(\frac{7\pi}{12})$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - (3+i)z + 2+2i = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - (3+i)z + 2+2i = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Dans le plan complexe, on considère les points $A(1+i)$ , $B(2-i)$ et $C(4+i)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ .

Exercice 3

Dans le plan complexe, on considère les points $A(1+i)$, $B(2-i)$ et $C(4+i)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Limites et continuité Dérivabilité et étude de fonctions Fonctions logarithmes et exponentielles Calcul intégral Équations différentielles Suites numériques Matrices et systèmes linéaires Probabilités