Mathématiques · BTS & DUT (EST) — BTS

Fonctions logarithmes et exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction $\ln$ est définie sur $]0, +\infty[$ , dérivable, et $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ .
La fonction $\exp$ est définie sur $\mathbb{R}$ , dérivable, et $(\exp x)' = \exp x$ .
Propriétés fondamentales : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln(a^r) = r \ln a$ ; $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ ; $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ .
Limites usuelles : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ ; $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre une équation avec $\ln$ : Isoler le $\ln$ , puis appliquer l'exponentielle. Attention au domaine de définition.
Résoudre une équation avec $\exp$ : Isoler l'exponentielle, puis appliquer le $\ln$ .
Étude de signe : Utiliser les propriétés de croissance des fonctions.
Calcul de dérivée composée : $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ et $(e^u)' = u' e^u$ .

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x+1) = 2$ : $x+1 = e^2 \implies x = e^2 - 1$ .
Dériver $f(x) = e^{x^2}$ : $f'(x) = 2x e^{x^2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition (ex: $\ln(x^2)$ n'est pas $2\ln x$ si $x < 0$ ).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (c'est faux !).
Se tromper dans le signe de la dérivée d'une fonction composée.

L'essentiel du cours

La fonction $\ln$ est définie sur $]0, +\infty[$, dérivable, et $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
La fonction $\exp$ est définie sur $\mathbb{R}$, dérivable, et $(\exp x)' = \exp x$.
Propriétés fondamentales : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln(a^r) = r \ln a$ ; $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ ; $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$.
Limites usuelles : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ ; $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre une équation avec $\ln$ : Isoler le $\ln$, puis appliquer l'exponentielle. Attention au domaine de définition.
Résoudre une équation avec $\exp$ : Isoler l'exponentielle, puis appliquer le $\ln$.
Étude de signe : Utiliser les propriétés de croissance des fonctions.
Calcul de dérivée composée : $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ et $(e^u)' = u' e^u$.

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x+1) = 2$ : $x+1 = e^2 \implies x = e^2 - 1$.
Dériver $f(x) = e^{x^2}$ : $f'(x) = 2x e^{x^2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition (ex: $\ln(x^2)$ n'est pas $2\ln x$ si $x < 0$).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (c'est faux !).
Se tromper dans le signe de la dérivée d'une fonction composée.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions logarithmes et exponentielles

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La valeur de $\ln(e^2)$ est :

❓ Questions fréquentes

Quelle est la différence entre ln(x^2) et 2ln(x) ?

$\ln(x^2)$ est défini pour tout $x \neq 0$ car $x^2 > 0$ .
$2\ln(x)$ est défini uniquement pour $x > 0$ .
Pour $x > 0$ , ils sont égaux. Pour $x < 0$ , $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

💡 À retenir : Ne jamais sortir le carré sans mettre la valeur absolue.

$\ln(x^2)$ est défini pour tout $x \neq 0$ car $x^2 > 0$.
$2\ln(x)$ est défini uniquement pour $x > 0$.
Pour $x > 0$, ils sont égaux. Pour $x < 0$, $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

💡 À retenir : Ne jamais sortir le carré sans mettre la valeur absolue.

Kifach n7seb l'limite dial x^2 e^x f -infty ?

On pose $X = -x$ . Quand $x \to -\infty$ , $X \to +\infty$ .
L'expression devient $(-X)^2 e^{-X} = \frac{X^2}{e^X}$ .
D'après les croissances comparées, $\frac{e^X}{X^n} \to +\infty$ , donc son inverse tend vers 0.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte toujours sur les polynômes en $-\infty$ .

On pose $X = -x$. Quand $x \to -\infty$, $X \to +\infty$.
L'expression devient $(-X)^2 e^{-X} = \frac{X^2}{e^X}$.
D'après les croissances comparées, $\frac{e^X}{X^n} \to +\infty$, donc son inverse tend vers 0.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte toujours sur les polynômes en $-\infty$.

Est-ce que ln(e^x) = x est toujours vrai ?

Oui, car la fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction $\exp$ sur $\mathbb{R}$ . Pour tout réel $x$ , $\ln(e^x) = x$ .

💡 À retenir : $\ln$ et $\exp$ s'annulent mutuellement.

Oui, car la fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction $\exp$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, $\ln(e^x) = x$.

💡 À retenir : $\ln$ et $\exp$ s'annulent mutuellement.

Chno hiya l'primitive dial f(x) = frac{1}{x} ?

La primitive est $F(x) = \ln|x| + C$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier la valeur absolue si l'intervalle n'est pas précisé.

La primitive est $F(x) = \ln|x| + C$.

💡 À retenir : Ne pas oublier la valeur absolue si l'intervalle n'est pas précisé.

Comment résoudre e^{2x} - 3e^x + 2 = 0 ?

Poser $X = e^x$ avec $X > 0$ .
L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$ .
Les racines sont $X=1$ et $X=2$ .
$e^x = 1 \implies x = 0$ et $e^x = 2 \implies x = \ln 2$ .

💡 À retenir : Utiliser le changement de variable pour les équations du second degré.

Poser $X = e^x$ avec $X > 0$.
L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$.
Les racines sont $X=1$ et $X=2$.
$e^x = 1 \implies x = 0$ et $e^x = 2 \implies x = \ln 2$.

💡 À retenir : Utiliser le changement de variable pour les équations du second degré.

Kifach n3ref wach l'fonction f(x) = ln x tzaida aw na9sa ?

On calcule la dérivée : $f'(x) = \frac{1}{x}$ .
Pour $x > 0$ , $f'(x) > 0$ .
Donc la fonction est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ .

💡 À retenir : Une dérivée positive signifie une fonction croissante.

On calcule la dérivée : $f'(x) = \frac{1}{x}$.
Pour $x > 0$, $f'(x) > 0$.
Donc la fonction est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

💡 À retenir : Une dérivée positive signifie une fonction croissante.

Pourquoi ln(0) n'existe pas ?

La fonction $\ln$ est définie sur $]0, +\infty[$ . En $0^+$ , la courbe admet une asymptote verticale car $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ .

💡 À retenir : Le logarithme n'est défini que pour les nombres strictement positifs.

La fonction $\ln$ est définie sur $]0, +\infty[$. En $0^+$, la courbe admet une asymptote verticale car $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$.

💡 À retenir : Le logarithme n'est défini que pour les nombres strictement positifs.

Quelle est la dérivée de ln(3x+2) ?

On utilise la formule $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ . Ici $u = 3x+2$ , donc $u' = 3$ . La dérivée est $\frac{3}{3x+2}$ .

💡 À retenir : Toujours dériver l'intérieur du logarithme.

On utilise la formule $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. Ici $u = 3x+2$, donc $u' = 3$. La dérivée est $\frac{3}{3x+2}$.

💡 À retenir : Toujours dériver l'intérieur du logarithme.

Est-ce que e^{a+b} = e^a + e^b ?

Non, c'est une erreur classique. La règle est $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

💡 À retenir : L'exponentielle transforme la somme en produit.

Non, c'est une erreur classique. La règle est $e^{a+b} = e^a \times e^b$.

💡 À retenir : L'exponentielle transforme la somme en produit.

Chno hiya l'limite dial ln x f +infty ?

La limite est $+\infty$ . La fonction $\ln$ croît très lentement, mais elle tend vers $+\infty$ .

💡 À retenir : $\ln$ ne possède pas d'asymptote horizontale en $+\infty$ .

La limite est $+\infty$. La fonction $\ln$ croît très lentement, mais elle tend vers $+\infty$.

💡 À retenir : $\ln$ ne possède pas d'asymptote horizontale en $+\infty$.

Comment étudier la position relative de f(x) = e^x et y=x ?

Étudier le signe de $g(x) = e^x - x$ .
Le minimum de $g$ est atteint en $x=0$ et vaut $g(0) = 1$ .
Comme $1 > 0$ , alors $e^x > x$ pour tout $x$ .

💡 À retenir : L'exponentielle est toujours au-dessus de la droite $y=x$ .

Étudier le signe de $g(x) = e^x - x$.
Le minimum de $g$ est atteint en $x=0$ et vaut $g(0) = 1$.
Comme $1 > 0$, alors $e^x > x$ pour tout $x$.

💡 À retenir : L'exponentielle est toujours au-dessus de la droite $y=x$.

Est-ce que la fonction f(x) = ln(x^2+1) est paire ?

Le domaine est $\mathbb{R}$ (car $x^2+1 > 0$ ).
$f(-x) = \ln((-x)^2+1) = \ln(x^2+1) = f(x)$ .
Oui, elle est paire.

💡 À retenir : Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ .

Le domaine est $\mathbb{R}$ (car $x^2+1 > 0$).
$f(-x) = \ln((-x)^2+1) = \ln(x^2+1) = f(x)$.
Oui, elle est paire.

💡 À retenir : Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln x$ .

Calculer les limites aux bornes.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Montrer que $f(x) \geq 1$ pour tout $x > 0$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln x$.

Calculer les limites aux bornes.
Dresser le tableau de variations de $f$.
Montrer que $f(x) \geq 1$ pour tout $x > 0$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$.

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Exercice 3

Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(x^2+e^x)$ .

Exercice 3

Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(x^2+e^x)$.

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