Dérivation et étude des fonctions

1. Le signe de $f'(x)$ indique le sens de variation de la fonction.
2. $f'(x) > 0$ signifie que la fonction monte (croissante).
3. $f'(x) < 0$ signifie que la fonction descend (décroissante).

💡 À retenir : $f'$ est le "moteur" des variations.

1. Calcule la différence $d(x) = f(x) - (ax+b)$.
2. Étudie le signe de $d(x)$.
3. Si $d(x) > 0$, la courbe est au-dessus de la droite.
4. Si $d(x) < 0$, la courbe est en dessous.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.

1. Calcule la dérivée seconde $f''(x)$.
2. Cherche les valeurs où $f''(x) = 0$.
3. Vérifie si $f''(x)$ change de signe en traversant ces valeurs.
4. Si $f''(x)$ s'annule et change de signe, alors le point est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Le changement de signe de $f''(x)$ est obligatoire pour confirmer le point d'inflexion.

1. La concavité dépend du signe de $f''(x)$.
2. Si $f''(x) \geq 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut, comme un sourire).
3. Si $f''(x) \leq 0$, la courbe est concave (tournée vers le bas, comme une colline).

💡 À retenir : $f'' > 0$ (convexe), $f'' < 0$ (concave).

1. Calcule $f(a)$ (l'image du point).
2. Calcule la dérivée $f'(x)$ puis trouve $f'(a)$.
3. Applique la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
4. Simplifie l'expression pour obtenir $y = mx + p$.

💡 À retenir : La formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ est indispensable.

1. Calcule $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$).
2. Calcule $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax) = b$.
3. Conclus que la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe.

💡 À retenir : Il faut toujours calculer les deux limites pour confirmer l'asymptote.

1. C'est le cas où $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$.
2. Et $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$.
3. La courbe s'écarte de plus en plus vers le haut ou le bas en suivant l'axe $(Oy)$.

💡 À retenir : Si le rapport tend vers l'infini, la branche est parabolique.

1. Non, pas forcément.
2. Il faut que $f'(x)$ change de signe en $a$.
3. Si $f'(x)$ est positif avant $a$ et négatif après, c'est un maximum.
4. Si $f'(x)$ ne change pas de signe, ce n'est pas un extremum.

💡 À retenir : Le changement de signe est la condition nécessaire.

1. Utilise la définition : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
2. Si la limite est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$.
3. Sinon, elle ne l'est pas.

💡 À retenir : La limite doit être un nombre réel.

1. La formule est $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
2. Il faut que $u(x) > 0$ pour que la fonction soit dérivable.

💡 À retenir : Ne pas oublier de diviser par $2\sqrt{u}$.

1. Oui, une en $+\infty$ et une en $-\infty$.
2. Par exemple, une fonction peut tendre vers 2 en $+\infty$ et vers -3 en $-\infty$.

💡 À retenir : Vérifie toujours les deux limites à l'infini.

1. Cela signifie que la fonction n'est pas dérivable en $a$.
2. Graphiquement, la courbe admet une demi-tangente verticale au point $a$.

💡 À retenir : Une limite infinie du taux d'accroissement = tangente verticale.