Mathématiques · 2ème Année Bac — SVT

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$ .
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L \in \mathbb{R}$ .
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ . Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Démontrer par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étudier la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (si $u_n > 0$ ).
Calculer une limite : Utiliser les opérations sur les limites, les suites géométriques ( $q^n$ ) ou le théorème de convergence monotone.
Utiliser $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue et la suite converge vers $l$ , alors $f(l) = l$ .

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ $u_{n} \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ .
- Initialisation : $u_0 \geq 1$ (vrai).
- Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$ , alors $u_n+2 \geq 3$ , donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$ .
Limite : $\lim_{n \to +\infty} (0,5)^n = 0$ car $-1 < 0,5 < 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre "majorée" et "convergente" (une suite majorée n'est pas forcément convergente, ex: $u_n = (-1)^n$ ).
Affirmer que $f(l)=l$ sans préciser que $f$ est continue.

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$.
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L \in \mathbb{R}$.
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Démontrer par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étudier la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (si $u_n > 0$).
Calculer une limite : Utiliser les opérations sur les limites, les suites géométriques ($q^n$) ou le théorème de convergence monotone.
Utiliser $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue et la suite converge vers $l$, alors $f(l) = l$.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.
- Initialisation : $u_0 \geq 1$ (vrai).
- Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$, alors $u_n+2 \geq 3$, donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$.
Limite : $\lim_{n \to +\infty} (0,5)^n = 0$ car $-1 < 0,5 < 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre "majorée" et "convergente" (une suite majorée n'est pas forcément convergente, ex: $u_n = (-1)^n$).
Affirmer que $f(l)=l$ sans préciser que $f$ est continue.

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La limite de la suite $u_n = \frac{3^n}{5^n}$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Pour une suite arithmétique, calcule $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ , elle est arithmétique.
Pour une suite géométrique, calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$ ). Si le résultat est une constante $q$ indépendante de $n$ , elle est géométrique.

💡 À retenir : La différence constante caractérise l'arithmétique, le quotient constant caractérise la géométrique.

Pour une suite arithmétique, calcule $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$, elle est arithmétique.
Pour une suite géométrique, calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$). Si le résultat est une constante $q$ indépendante de $n$, elle est géométrique.

💡 À retenir : La différence constante caractérise l'arithmétique, le quotient constant caractérise la géométrique.

Kifach n7seb l'hadd l'3am (terme général) dyal chi suite?

Si elle est arithmétique : utilise $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Si elle est géométrique : utilise $u_n = u_p \times q^{n-p}$ .
Si elle est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ , on ne peut pas toujours trouver une formule explicite.

💡 À retenir : Identifie d'abord la nature de la suite avant d'appliquer la formule.

Si elle est arithmétique : utilise $u_n = u_p + (n-p)r$.
Si elle est géométrique : utilise $u_n = u_p \times q^{n-p}$.
Si elle est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, on ne peut pas toujours trouver une formule explicite.

💡 À retenir : Identifie d'abord la nature de la suite avant d'appliquer la formule.

Est-ce qu'on peut utiliser la dérivée pour étudier la monotonie d'une suite ?

Oui, si la suite est définie par $u_n = f(n)$ . Si $f'(x) > 0$ sur $[n_0, +\infty[$ , alors la suite est croissante. Cependant, pour une suite définie par récurrence ( $u_{n+1} = f(u_n)$ ), on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou la position de $u_n$ par rapport à $l$ .

💡 À retenir : La dérivée est utile pour $u_n = f(n)$ , mais pas directement pour $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Oui, si la suite est définie par $u_n = f(n)$. Si $f'(x) > 0$ sur $[n_0, +\infty[$, alors la suite est croissante. Cependant, pour une suite définie par récurrence ($u_{n+1} = f(u_n)$), on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou la position de $u_n$ par rapport à $l$.

💡 À retenir : La dérivée est utile pour $u_n = f(n)$, mais pas directement pour $u_{n+1} = f(u_n)$.

Chno hiya l'far9 bin suite majorée o suite convergente ?

Une suite majorée signifie qu'il existe un nombre $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ .
Une suite convergente signifie que $u_n$ se rapproche d'un nombre réel précis quand $n$ devient très grand.
Une suite peut être majorée sans converger (ex: $u_n = (-1)^n$ ).

💡 À retenir : La convergence est une condition plus forte que la simple majoration.

Une suite majorée signifie qu'il existe un nombre $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$.
Une suite convergente signifie que $u_n$ se rapproche d'un nombre réel précis quand $n$ devient très grand.
Une suite peut être majorée sans converger (ex: $u_n = (-1)^n$).

💡 À retenir : La convergence est une condition plus forte que la simple majoration.

Comment démontrer qu'une suite est bornée ?

Il faut montrer qu'elle est à la fois majorée ( $u_n \leq M$ ) et minorée ( $u_n \geq m$ ).
La méthode la plus courante est la récurrence : on montre $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n$ .

💡 À retenir : Démontrer qu'une suite est bornée revient à encadrer $u_n$ par deux constantes.

Il faut montrer qu'elle est à la fois majorée ($u_n \leq M$) et minorée ($u_n \geq m$).
La méthode la plus courante est la récurrence : on montre $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n$.

💡 À retenir : Démontrer qu'une suite est bornée revient à encadrer $u_n$ par deux constantes.

Kifach nbiyen bli suite makhdama b recurrence?

Initialisation : Vérifie pour le premier terme (souvent $n=0$ ou $n=1$ ).
Hérédité : Suppose que la propriété est vraie au rang $n$ , puis montre qu'elle est vraie au rang $n+1$ .
Conclusion : Écris la phrase type : "D'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$ ".

💡 À retenir : L'hérédité est l'étape cruciale où tu utilises l'hypothèse de récurrence.

Initialisation : Vérifie pour le premier terme (souvent $n=0$ ou $n=1$).
Hérédité : Suppose que la propriété est vraie au rang $n$, puis montre qu'elle est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : Écris la phrase type : "D'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$".

💡 À retenir : L'hérédité est l'étape cruciale où tu utilises l'hypothèse de récurrence.

Si lim un = l, est-ce que u{n+1} tend aussi vers l ?

Oui, absolument. Si une suite $(u_n)$ converge vers $l$ , alors toute suite extraite ou décalée, comme $(u_{n+1})$ , converge également vers $l$ . C'est une propriété fondamentale des limites de suites.

💡 À retenir : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = l$ .

Oui, absolument. Si une suite $(u_n)$ converge vers $l$, alors toute suite extraite ou décalée, comme $(u_{n+1})$, converge également vers $l$. C'est une propriété fondamentale des limites de suites.

💡 À retenir : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = l$.

Pourquoi on étudie le signe de u{n+1} - un ?

C'est la méthode standard pour déterminer le sens de variation :

Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , alors $u_{n+1} > u_n$ (croissante).
Si $u_{n+1} - u_n < 0$ , alors $u_{n+1} < u_n$ (décroissante).

💡 À retenir : Le signe de la différence donne directement le sens de variation.

C'est la méthode standard pour déterminer le sens de variation :

Si $u_{n+1} - u_n > 0$, alors $u_{n+1} > u_n$ (croissante).
Si $u_{n+1} - u_n < 0$, alors $u_{n+1} < u_n$ (décroissante).

💡 À retenir : Le signe de la différence donne directement le sens de variation.

Est-ce qu'une suite croissante est toujours convergente ?

Non. Elle est convergente seulement si elle est aussi majorée. Par exemple, $u_n = n$ est croissante, mais elle tend vers $+\infty$ (elle n'est pas majorée).

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

Non. Elle est convergente seulement si elle est aussi majorée. Par exemple, $u_n = n$ est croissante, mais elle tend vers $+\infty$ (elle n'est pas majorée).

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

Comment calculer la limite d'une suite définie par u{n+1} = f(un) ?

Vérifie que la suite est convergente (souvent en montrant qu'elle est monotone et bornée).
Résous l'équation $f(l) = l$ .
La limite est la solution de cette équation (choisie selon l'intervalle où se trouve la suite).

💡 À retenir : Si $f$ est continue, la limite $l$ vérifie nécessairement $f(l) = l$ .

Vérifie que la suite est convergente (souvent en montrant qu'elle est monotone et bornée).
Résous l'équation $f(l) = l$.
La limite est la solution de cette équation (choisie selon l'intervalle où se trouve la suite).

💡 À retenir : Si $f$ est continue, la limite $l$ vérifie nécessairement $f(l) = l$.

C'est quoi des suites adjacentes ?

Ce sont deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que :

$(u_n)$ est croissante.
$(v_n)$ est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ . Elles convergent alors vers la même limite commune.

💡 À retenir : Elles se "serrent" l'une contre l'autre en tendant vers la même valeur.

Ce sont deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que :

$(u_n)$ est croissante.
$(v_n)$ est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. Elles convergent alors vers la même limite commune.

💡 À retenir : Elles se "serrent" l'une contre l'autre en tendant vers la même valeur.

Est-ce que je dois toujours calculer u0 pour la récurrence ?

Oui, c'est l'étape d'initialisation. Si la suite commence à $n=1$ , tu dois vérifier pour $n=1$ . C'est indispensable pour que le raisonnement soit valide.

💡 À retenir : Sans initialisation, la récurrence n'a aucune valeur mathématique.

Oui, c'est l'étape d'initialisation. Si la suite commence à $n=1$, tu dois vérifier pour $n=1$. C'est indispensable pour que le raisonnement soit valide.