Nombres complexes (Partie 1)

1. Un nombre réel est un nombre qui peut s'écrire sous forme décimale ou fractionnaire (ex: 2, -5, $\pi$).
2. Un nombre complexe est une extension des réels qui inclut le nombre $i$ tel que $i^2 = -1$.
3. Tout réel est un complexe (avec une partie imaginaire nulle), mais l'inverse est faux.

💡 À retenir : L'ensemble des réels $\mathbb{R}$ est inclus dans l'ensemble des complexes $\mathbb{C}$.

1. Si tu as deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$.
2. L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est tout simplement $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$.
3. Tu soustrais la partie réelle de $A$ à celle de $B$, et la partie imaginaire de $A$ à celle de $B$.

💡 À retenir : L'affixe d'un vecteur est toujours "l'arrivée moins le départ".

1. Oui, absolument.
2. Si $z = a$ (avec $a \in \mathbb{R}$), alors $z = a + 0i$.
3. Son conjugué est $\bar{z} = a - 0i = a$.

💡 À retenir : Un nombre complexe est réel si et seulement si $z = \bar{z}$.

1. Le nombre $i$ permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans $\mathbb{R}$, comme $z^2 = -1$.
2. Il permet aussi de représenter des transformations géométriques dans le plan.
3. En SVT, cela sert surtout à manipuler des points et des vecteurs dans le plan complexe.

💡 À retenir : $i$ est l'unité imaginaire qui "complète" les mathématiques pour résoudre toutes les équations polynomiales.

1. Non, il ne faut jamais écrire $\sqrt{\Delta}$ avec une calculatrice si $\Delta < 0$.
2. Tu dois écrire $\Delta = -|\Delta| = i^2 |\Delta|$.
3. La racine sera alors $i\sqrt{|\Delta|}$.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$, la racine carrée d'un nombre négatif $-k$ est $i\sqrt{k}$.

1. Regarde la partie imaginaire de ton nombre $z = a + ib$.
2. Si $b = 0$, alors le point appartient à l'axe des réels.
3. Si $a = 0$, le point appartient à l'axe des imaginaires.

💡 À retenir : L'axe des réels est l'ensemble des points dont l'affixe a une partie imaginaire nulle.

1. Non, comme pour les réels, c'est une identité remarquable.
2. $(z_1 + z_2)^2 = z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2$.
3. Il ne faut pas oublier le terme $2z_1z_2$.

💡 À retenir : Les règles de calcul algébrique classiques restent valables dans $\mathbb{C}$.

1. Utilise la double distributivité comme pour $(a+b)(c+d)$.
2. Développe chaque terme.
3. Remplace $i^2$ par $-1$ et regroupe les parties réelles et imaginaires.

💡 À retenir : $(a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)$.

1. Oui, c'est une propriété fondamentale.
2. $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$.
3. Cela fonctionne aussi pour la multiplication : $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$.

💡 À retenir : Le conjugué "distribue" sur toutes les opérations élémentaires.

1. On veut éliminer $i$ du dénominateur pour obtenir une forme $a+ib$.
2. Comme $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$ (un réel), le dénominateur devient un nombre réel.
3. C'est la seule méthode pour simplifier une fraction complexe.

💡 À retenir : Multiplier par le conjugué transforme le dénominateur en un nombre réel.

(à vérifier par le professeur) : Non, le programme de SVT se limite à la forme algébrique et aux équations du second degré. La forme trigonométrique n'est pas au programme de cette filière.

💡 À retenir : Reste concentré sur la forme $a+ib$ et les équations.

1. Oui, dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, toute équation du second degré possède au moins une solution.
2. Si $\Delta = 0$, il y a une solution double.
3. Si $\Delta \neq 0$, il y a deux solutions distinctes.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$, le théorème fondamental de l'algèbre garantit l'existence de solutions.