Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour tous $a, b \in I$, l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est définie par :
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$
Propriétés fondamentales :
Positivité : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a \leq b$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$.
Méthodes à maîtriser
Calcul direct : Utiliser les primitives usuelles (puissances, exponentielles, logarithmes).
Intégration par parties (IPP) : Pour calculer $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx$, on utilise la formule :
$$\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]{a}^{b} - \int{a}^{b} u'(x)v(x) dx$$
Astuce : Choisir $u(x)$ selon l'ordre (Logarithme > Polynôme > Exponentielle).
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est :
$$\mathcal{A} = \int{a}^{b} |f(x)| dx \times |\vec{i}| \times |\vec{j}|$$
Exemples corrigés
Calculer $I = \int_{0}^{1} x e^x dx$.
Posons $u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1$ et $v'(x) = e^x \Rightarrow v(x) = e^x$.
$I = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (1 \cdot e^1 - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$.
Erreurs fréquentes
Oublier que l'intégrale est un nombre réel (pas une fonction).
Est-ce que le résultat d'une intégrale peut être négatif ?
Oui, tout à fait. L'intégrale représente une "aire algébrique". Si la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[a, b]$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx$ sera un nombre négatif. C'est seulement lorsqu'on demande l'aire géométrique que l'on doit utiliser la valeur absolue pour obtenir un résultat positif.
💡 À retenir : Le signe de l'intégrale dépend du signe de la fonction sur l'intervalle donné.
Kifach n7seb l'intégrale ila kant l'fonction fiha l'ln ?
Pour intégrer une fonction avec $\ln(x)$, on utilise généralement l'intégration par parties (IPP).
Tu poses $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x)$ le reste de la fonction.
Tu calcules $u'(x) = 1/x$ et $v(x)$ la primitive de $v'(x)$.
Tu appliques la formule : $[uv] - \int u'v$.
💡 À retenir : L'IPP est ton meilleur outil quand tu vois un produit de deux fonctions différentes (ex: $x \ln x$).
Est-ce que je dois toujours chercher la primitive avant de calculer ?
Oui, c'est l'étape indispensable. Sans primitive, tu ne peux pas appliquer le théorème fondamental. Si tu ne trouves pas la primitive directement, vérifie si tu peux transformer l'expression (développement, factorisation) ou utiliser l'IPP.
💡 À retenir : L'intégrale est le pont entre les primitives et le calcul de surfaces.
Chno hiya l'relation bin l'intégrale o l'aire ?
L'intégrale est l'outil mathématique, l'aire est son interprétation géométrique. Si $f(x) \geq 0$, l'intégrale $\int_a^b f(x) dx$ est exactement l'aire sous la courbe. Si $f(x)$ est négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire.
💡 À retenir : Aire = $\int_a^b |f(x)| dx$ (en unités d'aire).
Kifach n3ref chkoun li ghadi nakhod u(x) o chkoun v'(x) f l'IPP ?
Utilise la règle "LPES" (Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus). Tu donnes à $u(x)$ la priorité selon cet ordre. Par exemple, dans $x \ln x$, $\ln x$ est prioritaire, donc $u(x) = \ln x$.
💡 À retenir : $u(x)$ doit être la fonction la plus facile à dériver.
Est-ce que la relation de Chasles s'applique même si les bornes ne sont pas dans l'ordre ?
Oui, la relation $\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c$ est toujours vraie, peu importe l'ordre de $a, b, c$. C'est une propriété algébrique très puissante.
💡 À retenir : Chasles permet de découper une intégrale en plusieurs morceaux pour simplifier le calcul.
Wach l'intégrale dyal f(x) cdot g(x) hiya int f cdot int g ?
Non, surtout pas ! C'est une erreur très grave. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales. Tu dois soit développer, soit utiliser l'IPP.
💡 À retenir : Il n'existe pas de formule simple pour l'intégrale d'un produit.
Comment calculer l'intégrale d'une fonction définie par morceaux ?
Tu utilises la relation de Chasles pour découper l'intégrale aux points de changement de définition de la fonction. Par exemple, si $f$ change en $c$, alors $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$.
💡 À retenir : Découpe ton domaine d'intégration aux points de rupture.
Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver le résultat ?
À l'examen national, tu dois rédiger toutes les étapes. La calculatrice ne sert qu'à vérifier ton résultat final. Si tu écris juste le résultat sans les étapes de primitive, tu n'auras aucun point.
💡 À retenir : La méthode et la rédaction sont plus importantes que le résultat numérique.
Que faire si je ne trouve pas de primitive évidente ?
Vérifie si la fonction ne ressemble pas à une forme connue comme $u' \cdot u^n$ ou $u'/u$. Sinon, relis bien l'énoncé, il y a souvent une question précédente qui demande de montrer que $F(x)$ est une primitive de $f(x)$.
💡 À retenir : Utilise toujours les questions précédentes pour t'aider.
Est-ce que l'unité d'aire est toujours 1 cm^2 ?
Non, l'unité d'aire est $|\vec{i}| \times |\vec{j}|$. Si le repère est orthonormé, c'est $1 \times 1 = 1$ unité d'aire. Si on te donne des valeurs comme $1 cm$, alors l'unité est $1 cm^2$.
💡 À retenir : Vérifie toujours l'unité donnée dans l'énoncé.
Pourquoi on ajoute toujours la constante c dans les primitives mais pas dans l'intégrale ?
Dans une intégrale définie, la constante $c$ s'annule lors du calcul $F(b) - F(a)$ car $(F(b)+c) - (F(a)+c) = F(b) - F(a)$. C'est pour cela qu'on ne l'écrit pas.
💡 À retenir : La constante disparaît toujours dans le calcul d'une intégrale définie.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. Pour tous a,b∈I, l'intégrale de f de a à b est définie par :
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)Propriétés fondamentales :
Relation de Chasles : ∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx.
Positivité : Si f(x)≥0 sur [a,b] avec a≤b, alors ∫abf(x)dx≥0.
Méthodes à maîtriser
Calcul direct : Utiliser les primitives usuelles (puissances, exponentielles, logarithmes).
Intégration par parties (IPP) : Pour calculer ∫abu(x)v′(x)dx, on utilise la formule :
∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x)dxAstuce : Choisir u(x) selon l'ordre (Logarithme > Polynôme > Exponentielle).
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites x=a et x=b est :
A=∫ab∣f(x)∣dx×∥i∥×∥j∥
Exemples corrigés
Calculer I=∫01xexdx.
Posons u(x)=x⇒u′(x)=1 et v′(x)=ex⇒v(x)=ex.
I=[xex]01−∫01exdx=(1⋅e1−0)−[ex]01=e−(e−1)=1.
Erreurs fréquentes
Oublier que l'intégrale est un nombre réel (pas une fonction).
Inverser les bornes : ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx.
Oublier la valeur absolue lors du calcul d'aire si la fonction change de signe.
Quelle est la valeur de ∫013x2dx ?
Oui, tout à fait. L'intégrale représente une "aire algébrique". Si la fonction f est négative sur l'intervalle [a,b], alors ∫abf(x)dx sera un nombre négatif. C'est seulement lorsqu'on demande l'aire géométrique que l'on doit utiliser la valeur absolue pour obtenir un résultat positif.
💡 À retenir : Le signe de l'intégrale dépend du signe de la fonction sur l'intervalle donné.
Pour intégrer une fonction avec ln(x), on utilise généralement l'intégration par parties (IPP).
Tu poses u(x)=ln(x) et v′(x) le reste de la fonction.
Tu calcules u′(x)=1/x et v(x) la primitive de v′(x).
Tu appliques la formule : [uv]−∫u′v.
💡 À retenir : L'IPP est ton meilleur outil quand tu vois un produit de deux fonctions différentes (ex: xlnx).
L'intégrale est l'outil mathématique, l'aire est son interprétation géométrique. Si f(x)≥0, l'intégrale ∫abf(x)dx est exactement l'aire sous la courbe. Si f(x) est négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire.
💡 À retenir : Aire = ∫ab∣f(x)∣dx (en unités d'aire).
Utilise la règle "LPES" (Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus). Tu donnes à u(x) la priorité selon cet ordre. Par exemple, dans xlnx, lnx est prioritaire, donc u(x)=lnx.
💡 À retenir : u(x) doit être la fonction la plus facile à dériver.
Oui, la relation ∫ab+∫bc=∫ac est toujours vraie, peu importe l'ordre de a,b,c. C'est une propriété algébrique très puissante.
💡 À retenir : Chasles permet de découper une intégrale en plusieurs morceaux pour simplifier le calcul.
Tu utilises la relation de Chasles pour découper l'intégrale aux points de changement de définition de la fonction. Par exemple, si f change en c, alors ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.
💡 À retenir : Découpe ton domaine d'intégration aux points de rupture.
Vérifie si la fonction ne ressemble pas à une forme connue comme u′⋅un ou u′/u. Sinon, relis bien l'énoncé, il y a souvent une question précédente qui demande de montrer que F(x) est une primitive de f(x).
💡 À retenir : Utilise toujours les questions précédentes pour t'aider.
Non, l'unité d'aire est ∥i∥×∥j∥. Si le repère est orthonormé, c'est 1×1=1 unité d'aire. Si on te donne des valeurs comme 1cm, alors l'unité est 1cm2.
💡 À retenir : Vérifie toujours l'unité donnée dans l'énoncé.
Dans une intégrale définie, la constante c s'annule lors du calcul F(b)−F(a) car (F(b)+c)−(F(a)+c)=F(b)−F(a). C'est pour cela qu'on ne l'écrit pas.
💡 À retenir : La constante disparaît toujours dans le calcul d'une intégrale définie.
Exercice 1
Calculer l'intégrale suivante : I=∫1exln(x)dx.
Exercice 2
Calculer J=∫01(x+1)exdx en utilisant l'intégration par parties.
Exercice 3
Soit f(x)=x2+x1.
Déterminer deux réels a et b tels que f(x)=xa+x+1b.
Calculer l'aire du domaine délimité par Cf, l'axe des abscisses et les droites x=1 et x=2.