Nombres complexes (Partie 2)

1. Oui, dans l'ensemble $\mathbb{C}$, on écrit $\Delta = -|\Delta| = i^2 |\Delta|$.
2. Ainsi, $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}$.
3. Cela permet d'obtenir les deux solutions complexes conjuguées.

💡 À retenir : Si $\Delta < 0$, les racines sont toujours de la forme $\frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.

1. Tu calcules d'abord l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ qui est $z_B - z_A$.
2. Tu calcules ensuite le module de ce nombre complexe : $AB = |z_B - z_A|$.
3. Si $z_B - z_A = x + iy$, alors $AB = \sqrt{x^2 + y^2}$.

💡 À retenir : La distance $AB$ est toujours un nombre réel positif.

1. Oui, si les coefficients $a, b$ et $c$ de l'équation sont des nombres réels.
2. Si $\Delta < 0$, les racines sont $z_1 = \alpha + i\beta$ et $z_2 = \alpha - i\beta$.
3. Si les coefficients ne sont pas réels (hors programme SVT), ce n'est pas forcément le cas.

💡 À retenir : Pour $a, b, c \in \mathbb{R}$, si $z$ est solution, alors $\bar{z}$ est aussi solution.

1. Soient $z_A$ et $z_B$ les affixes respectives de $A$ et $B$.
2. L'affixe du milieu $I$ est la moyenne des affixes : $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$.
3. Tu additionnes les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles avant de diviser par 2.

💡 À retenir : Le milieu est le point dont l'affixe est la demi-somme des affixes des extrémités.

1. Un point $M(z)$ appartient à l'axe des réels si sa partie imaginaire est nulle.
2. Si $z = x + iy$, il faut que $y = 0$.
3. Le nombre complexe $z$ est alors un nombre réel.

💡 À retenir : $M \in (\text{axe des réels}) \iff z = \bar{z}$.

1. Algébriquement, on dit qu'il y a une solution "double".
2. Dans la pratique, on écrit $z_0 = -\frac{b}{2a}$.
3. Il n'y a qu'un seul point image dans le plan complexe.

💡 À retenir : Une solution double signifie que le polynôme peut s'écrire $a(z - z_0)^2$.

1. Non, le module est par définition une distance.
2. $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, ce qui est toujours $\geq 0$.
3. Si tu trouves un résultat négatif, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : Le module est toujours un réel positif ou nul.

1. Les points sont alignés si le vecteur $\vec{AB}$ et le vecteur $\vec{AC}$ sont colinéaires.
2. Cela signifie que le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.
3. Si ce rapport est réel, alors les points sont alignés.

💡 À retenir : Rapport réel $\iff$ points alignés.

1. C'est possible, mais c'est beaucoup plus long et complexe.
2. La méthode du discriminant est la méthode standard et la plus rapide pour le bac.
3. Reste sur la méthode du discriminant pour éviter les erreurs.

💡 À retenir : La méthode du discriminant est suffisante et recommandée.

1. Car les racines sont $\frac{-b}{2a} - i\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $\frac{-b}{2a} + i\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.
2. Ces deux nombres ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées.
3. C'est la définition même de deux nombres conjugués.

💡 À retenir : La symétrie des racines par rapport à l'axe réel est due aux coefficients réels.

1. Oui, l'origine $O$ a pour affixe $z_O = 0 + 0i = 0$.
2. C'est le seul point dont le module est nul.
3. Il sert de référence pour calculer les affixes des vecteurs $\vec{OM}$.

💡 À retenir : L'affixe de l'origine est $0$.

1. Tu utilises l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
2. $(1+i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2$.
3. Comme $i^2 = -1$, alors $(1+i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

💡 À retenir : N'oublie jamais que $i^2 = -1$ dans tous tes développements.