Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dérivabilité en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Monotonie : Si $f' \geq 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante. Si $f' > 0$ , elle est strictement croissante.
Concavité : Si $f'' \geq 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f'' \leq 0$ , elle est concave.
Point d'inflexion : Point où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Méthodes à maîtriser

Étude des branches infinies : Calculer $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ puis $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax)$ .
Utilisation du TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) pour montrer l'existence de solutions.
Application du théorème de Rolle pour prouver l'existence d'un point à tangente horizontale.

Exemples corrigés

Tangente : Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$ , $f'(x)=2x$ , donc $f'(1)=2$ . $y=2(x-1)+1 = 2x-1$ .
Dérivée : $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que $f$ est dérivable avant d'utiliser $f'$ .
Confondre le signe de $f'$ (croissance) et le signe de $f''$ (concavité).
Mauvaise interprétation des asymptotes obliques ( $y=ax+b$ ).

L'essentiel du cours

Dérivabilité en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Monotonie : Si $f' \geq 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante. Si $f' > 0$, elle est strictement croissante.
Concavité : Si $f'' \geq 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f'' \leq 0$, elle est concave.
Point d'inflexion : Point où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Méthodes à maîtriser

Étude des branches infinies : Calculer $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ puis $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax)$.
Utilisation du TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) pour montrer l'existence de solutions.
Application du théorème de Rolle pour prouver l'existence d'un point à tangente horizontale.

Exemples corrigés

Tangente : Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$, $f'(x)=2x$, donc $f'(1)=2$. $y=2(x-1)+1 = 2x-1$.
Dérivée : $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que $f$ est dérivable avant d'utiliser $f'$.
Confondre le signe de $f'$ (croissance) et le signe de $f''$ (concavité).
Mauvaise interprétation des asymptotes obliques ($y=ax+b$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dérivabilité et étude de fonctions

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Si $f'(x) = (x-2)^2$ , alors $f$ est :

Si $f'(x) = (x-2)^2$, alors $f$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?

Il faut calculer la limite du taux d'accroissement $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . Si cette limite est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable.

💡 À retenir : Si la limite est $\infty$ , la fonction n'est pas dérivable (tangente verticale).

Il faut calculer la limite du taux d'accroissement $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Si cette limite est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable.

💡 À retenir : Si la limite est $\infty$, la fonction n'est pas dérivable (tangente verticale).

Kifach n3ref wach l-man7ana 3endo branche parabolique ?

Khassek t7seb $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ . Ila 3tatk 0, l-man7ana 3endo branche parabolique f-l-ittijah dyal l-me7war dyal l-afasil (axe des abscisses).

💡 À retenir : Si la limite est $\infty$ , c'est vers l'axe des ordonnées.

Khassek t7seb $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$. Ila 3tatk 0, l-man7ana 3endo branche parabolique f-l-ittijah dyal l-me7war dyal l-afasil (axe des abscisses).

💡 À retenir : Si la limite est $\infty$, c'est vers l'axe des ordonnées.

Quelle est la différence entre un extremum et un point d'inflexion ?

Un extremum est un point où la fonction change de sens de variation (max ou min).
Un point d'inflexion est un point où la fonction change de courbure (concave vers convexe ou inversement).

💡 À retenir : $f'(x)=0$ pour un extremum, $f''(x)=0$ pour un point d'inflexion.

Un extremum est un point où la fonction change de sens de variation (max ou min).
Un point d'inflexion est un point où la fonction change de courbure (concave vers convexe ou inversement).

💡 À retenir : $f'(x)=0$ pour un extremum, $f''(x)=0$ pour un point d'inflexion.

Chno hiya l-far9 bin l-iichti9a9 3la l-yamin o 3la l-yassar ?

Kandiroha bach nchoufo wach l-fonction "mcherka" (point anguleux). Ila kan $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ , l-fonction machi dérivable f-a.

💡 À retenir : La courbe présente un "coin" (point anguleux) si les dérivées à droite et à gauche diffèrent.

Kandiroha bach nchoufo wach l-fonction "mcherka" (point anguleux). Ila kan $f'_d(a) \neq f'_g(a)$, l-fonction machi dérivable f-a.

💡 À retenir : La courbe présente un "coin" (point anguleux) si les dérivées à droite et à gauche diffèrent.

Est-ce qu'une fonction continue est toujours dérivable ?

Non, la continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante. Exemple : $f(x)=|x|$ est continue en 0 mais pas dérivable en 0.

💡 À retenir : Dérivable $\implies$ Continue, mais Continue $\nRightarrow$ Dérivable.

Non, la continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante. Exemple : $f(x)=|x|$ est continue en 0 mais pas dérivable en 0.

💡 À retenir : Dérivable $\implies$ Continue, mais Continue $\nRightarrow$ Dérivable.

Kifach n-déterminer l-mou3adala dyal l-mou9arib l-ma2il ?

Khassek t-vérifier wach $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$ . Ila t-7e99at, $y=ax+b$ houwa l-mou9arib.

💡 À retenir : $a = \lim \frac{f(x)}{x}$ et $b = \lim (f(x)-ax)$ .

Khassek t-vérifier wach $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$. Ila t-7e99at, $y=ax+b$ houwa l-mou9arib.

💡 À retenir : $a = \lim \frac{f(x)}{x}$ et $b = \lim (f(x)-ax)$.

Comment étudier la concavité d'une fonction ?

Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ .
Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe. Si $f''(x) < 0$ , elle est concave.

💡 À retenir : Le signe de $f''$ donne la forme de la courbure.

Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.
Étudier le signe de $f''(x)$.
Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe. Si $f''(x) < 0$, elle est concave.

💡 À retenir : Le signe de $f''$ donne la forme de la courbure.

Le théorème de Rolle, à quoi ça sert ?

Il sert à prouver qu'il existe au moins un point $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$ , à condition que $f(a)=f(b)$ et que $f$ soit continue et dérivable.

💡 À retenir : Utile pour démontrer l'existence de racines de la dérivée.

Il sert à prouver qu'il existe au moins un point $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$, à condition que $f(a)=f(b)$ et que $f$ soit continue et dérivable.

💡 À retenir : Utile pour démontrer l'existence de racines de la dérivée.

Pourquoi on calcule la dérivée seconde ?

On la calcule pour déterminer la concavité de la courbe et pour identifier les points d'inflexion.

💡 À retenir : $f''$ est l'outil principal pour la géométrie de la courbe.

On la calcule pour déterminer la concavité de la courbe et pour identifier les points d'inflexion.

💡 À retenir : $f''$ est l'outil principal pour la géométrie de la courbe.

Est-ce que la dérivée d'une fonction paire est impaire ?

Oui, si $f$ est dérivable et paire, alors $f'$ est impaire. De même, la dérivée d'une fonction impaire est paire.

💡 À retenir : La parité s'inverse par dérivation.

Oui, si $f$ est dérivable et paire, alors $f'$ est impaire. De même, la dérivée d'une fonction impaire est paire.

💡 À retenir : La parité s'inverse par dérivation.

Comment justifier qu'une fonction est dérivable sur un intervalle ?

Il faut dire qu'elle est une somme, produit ou quotient de fonctions usuelles (polynômes, etc.) dérivables sur cet intervalle.

💡 À retenir : Toujours citer les opérations sur les fonctions dérivables.

Peut-on avoir une asymptote horizontale et oblique ?

Non, pas en même temps vers $+\infty$ . Une fonction a soit une asymptote horizontale, soit oblique, soit une branche parabolique.

💡 À retenir : Le comportement à l'infini est unique.

Non, pas en même temps vers $+\infty$. Une fonction a soit une asymptote horizontale, soit oblique, soit une branche parabolique.

💡 À retenir : Le comportement à l'infini est unique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Étudier les variations de $f$ .
Déterminer les points d'inflexion.
Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Étudier les variations de $f$.
Déterminer les points d'inflexion.
Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.

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Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$ . Étudier les branches infinies de $f$ en $+\infty$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$. Étudier les branches infinies de $f$ en $+\infty$.

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Exercice 3

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une solution unique dans $]0, 1[$ .

Exercice 3

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une solution unique dans $]0, 1[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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