Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie de $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ ) vers $\mathbb{R}$ .
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \in \mathbb{R}$ .
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (si $u_n > 0$ ).
Limites de suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue et $u_n$ converge vers $\ell$ , alors $f(\ell) = \ell$ .
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ .

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n > 0$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ . Initialisation : $u_0 > 0$ (donné). Hérédité : Si $u_n > 0$ , alors $u_n+2 > 2 > 0$ , donc $\sqrt{u_n+2} > 0$ .
Limite : Si $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ et $u_n \to \ell$ , alors $\ell = \frac{1}{2}\ell + 1 \implies \ell = 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la condition de continuité de $f$ pour résoudre $f(\ell) = \ell$ .
Confondre "majorée" avec "convergente" (une suite peut être majorée sans converger, ex: $u_n = (-1)^n$ ).
Mal rédiger l'hérédité : ne pas supposer $u_n$ vrai pour démontrer $u_{n+1}$ .

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie de $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) vers $\mathbb{R}$.
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \in \mathbb{R}$.
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (si $u_n > 0$).
Limites de suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue et $u_n$ converge vers $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n > 0$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$. Initialisation : $u_0 > 0$ (donné). Hérédité : Si $u_n > 0$, alors $u_n+2 > 2 > 0$, donc $\sqrt{u_n+2} > 0$.
Limite : Si $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ et $u_n \to \ell$, alors $\ell = \frac{1}{2}\ell + 1 \implies \ell = 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier la condition de continuité de $f$ pour résoudre $f(\ell) = \ell$.
Confondre "majorée" avec "convergente" (une suite peut être majorée sans converger, ex: $u_n = (-1)^n$).
Mal rédiger l'hérédité : ne pas supposer $u_n$ vrai pour démontrer $u_{n+1}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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La limite de $u_n = \frac{2n^2 + 1}{n^2 + n}$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment montrer qu'une suite n'est pas convergente ?

Montrer qu'elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ .
Ou montrer qu'elle n'a pas de limite (ex: $u_n = (-1)^n$ ).

💡 À retenir : Une suite qui oscille entre deux valeurs ne converge pas.

Montrer qu'elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.
Ou montrer qu'elle n'a pas de limite (ex: $u_n = (-1)^n$).

💡 À retenir : Une suite qui oscille entre deux valeurs ne converge pas.

Est-ce que un to ell implique u{n+1} to ell ?

Oui, car $u_{n+1}$ est une suite extraite de $u_n$ (décalée d'un rang). La limite reste la même.

💡 À retenir : Le décalage d'un rang ne change pas la limite.

Oui, car $u_{n+1}$ est une suite extraite de $u_n$ (décalée d'un rang). La limite reste la même.

💡 À retenir : Le décalage d'un rang ne change pas la limite.

Comment démontrer qu'une suite est bornée ?

On cherche deux réels $m$ et $M$ tels que $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n$ .
Souvent, on utilise le raisonnement par récurrence pour prouver cet encadrement.
Si la suite est monotone et convergente, elle est bornée par son premier terme et sa limite.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour prouver qu'une suite reste dans un intervalle donné.

On cherche deux réels $m$ et $M$ tels que $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n$.
Souvent, on utilise le raisonnement par récurrence pour prouver cet encadrement.
Si la suite est monotone et convergente, elle est bornée par son premier terme et sa limite.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour prouver qu'une suite reste dans un intervalle donné.

kifach n7seb l-limite d chi suite li 3ndha u{n+1} = f(un) ?

Vérifie que la suite est convergente (souvent en montrant qu'elle est monotone et bornée).
Résous l'équation $f(x) = x$ dans l'intervalle où se trouve la suite.
La limite $\ell$ est la solution de cette équation.

💡 À retenir : Si $f$ est continue, la limite ne peut être qu'un point fixe de $f$ .

Vérifie que la suite est convergente (souvent en montrant qu'elle est monotone et bornée).
Résous l'équation $f(x) = x$ dans l'intervalle où se trouve la suite.
La limite $\ell$ est la solution de cette équation.

💡 À retenir : Si $f$ est continue, la limite ne peut être qu'un point fixe de $f$.

Est-ce qu'une suite croissante est toujours convergente ?

Non. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ (elle est divergente). Pour qu'elle converge, il faut impérativement qu'elle soit majorée.

💡 À retenir : Croissance + Majoration = Convergence.

Non. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ (elle est divergente). Pour qu'elle converge, il faut impérativement qu'elle soit majorée.

💡 À retenir : Croissance + Majoration = Convergence.

chno hiya l-farq bin suite arithmétique o géométrique ?

Arithmétique : on ajoute une constante $r$ à chaque terme ( $u_{n+1} = u_n + r$ ).
Géométrique : on multiplie par une constante $q$ à chaque terme ( $u_{n+1} = q \cdot u_n$ ).

💡 À retenir : Arithmétique = Addition, Géométrique = Multiplication.

Arithmétique : on ajoute une constante $r$ à chaque terme ($u_{n+1} = u_n + r$).
Géométrique : on multiplie par une constante $q$ à chaque terme ($u_{n+1} = q \cdot u_n$).

💡 À retenir : Arithmétique = Addition, Géométrique = Multiplication.

Comment montrer qu'une suite est croissante ?

Calcule la différence $d_n = u_{n+1} - u_n$ .
Étudie le signe de $d_n$ .
Si $d_n \geq 0$ , alors la suite est croissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence est la méthode universelle.

Calcule la différence $d_n = u_{n+1} - u_n$.
Étudie le signe de $d_n$.
Si $d_n \geq 0$, alors la suite est croissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence est la méthode universelle.

kifach n-biyen bli joj d s-silsilat motajawirat ?

Montre que la première est croissante et la deuxième est décroissante.
Calcule la limite de leur différence : $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ .

💡 À retenir : Les deux conditions doivent être vérifiées simultanément.

Montre que la première est croissante et la deuxième est décroissante.
Calcule la limite de leur différence : $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$.

💡 À retenir : Les deux conditions doivent être vérifiées simultanément.

Si lim un = 0, est-ce que la suite est nécessairement bornée ?

Oui, toute suite convergente est bornée. Comme elle tend vers 0, elle finit par rester dans un intervalle proche de 0, et les premiers termes sont en nombre fini, donc on peut trouver un maximum et un minimum.

💡 À retenir : Convergence implique bornée.

Peut-on utiliser la dérivée pour étudier la monotonie d'une suite ?

Oui, si $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur $[n_0, +\infty[$ . Si $f$ est croissante, alors la suite $(u_n)$ est croissante.

💡 À retenir : La monotonie de la fonction induit la monotonie de la suite.

Oui, si $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur $[n_0, +\infty[$. Si $f$ est croissante, alors la suite $(u_n)$ est croissante.

💡 À retenir : La monotonie de la fonction induit la monotonie de la suite.

Qu'est-ce qu'une suite extraite ?

C'est une suite obtenue en ne gardant que certains termes de la suite initiale (ex: $u_{2n}$ est la suite des termes de rang pair).

💡 À retenir : Si une suite converge vers $\ell$ , toutes ses suites extraites convergent vers $\ell$ .

C'est une suite obtenue en ne gardant que certains termes de la suite initiale (ex: $u_{2n}$ est la suite des termes de rang pair).

💡 À retenir : Si une suite converge vers $\ell$, toutes ses suites extraites convergent vers $\ell$.

Pourquoi on utilise la récurrence pour les suites ?

Parce que le terme $u_{n+1}$ dépend directement du terme précédent $u_n$ . La récurrence est donc l'outil naturel pour propager une propriété de $u_n$ à $u_{n+1}$ .

💡 À retenir : La récurrence est le "moteur" des suites définies par récurrence.

Parce que le terme $u_{n+1}$ dépend directement du terme précédent $u_n$. La récurrence est donc l'outil naturel pour propager une propriété de $u_n$ à $u_{n+1}$.

💡 À retenir : La récurrence est le "moteur" des suites définies par récurrence.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Montrer par récurrence que $0 < u_n < 2$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Montrer par récurrence que $0 < u_n < 2$.
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

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Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=3$ et $u_5 = 17$ .

Calculer $u_0$ .
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=3$ et $u_5 = 17$.

Calculer $u_0$.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

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Exercice 3

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1, v_0=2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}$ , $v_{n+1} = \sqrt{u_{n+1}v_n}$ . Montrer que les suites sont adjacentes.

Exercice 3

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1, v_0=2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}$, $v_{n+1} = \sqrt{u_{n+1}v_n}$. Montrer que les suites sont adjacentes.

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