Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Connecteurs logiques : La table de vérité est l'outil fondamental. Rappel : $P \implies Q$ est équivalent à $(\text{non } Q) \implies (\text{non } P)$.
Quantificateurs : $\forall x \in E, P(x)$ signifie que $P$ est vraie pour tout élément. $\exists x \in E, P(x)$ signifie qu'il existe au moins un élément.
Récurrence : Pour montrer $P(n)$ pour $n \geq n_0$ :
Preuve par contraposée : Très utile pour les implications du type "Si $x^2$ est pair, alors $x$ est pair".
Rédaction de la récurrence : Toujours préciser "Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $P(n)$ est vraie".
Exemples corrigés
Exemple 1 : Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. On suppose $\sqrt{2} = p/q$ avec $p \wedge q = 1$. On trouve $p^2 = 2q^2$, donc $p$ est pair, $p=2k$, d'où $4k^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2k^2$, donc $q$ est pair. Contradiction car $p \wedge q = 1$.
Exemple 2 : Montrer par récurrence que $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.
La négation de $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$ est :
❓ Questions fréquentes
La négation de "x 0 et x < 5" est-elle "x <= 0 et x = 5" ?
Non, c'est une erreur classique. La négation de "et" est "ou". Donc c'est "x <= 0 ou x >= 5".
💡 À retenir : $\text{non}(A \text{ et } B) = (\text{non } A) \text{ ou } (\text{non } B)$.
Kifach n3ref wach nkhdem b l'absurde wla l'contraposée?
Ila chfti "montrer que si A alors B", ila ban lik l'3aks (non B => non A) sahel, khdem b l'contraposée. Ila ban lik l'3aks fih تناقض (contradiction), khdem b l'absurde.
💡 À retenir : L'intuition vient avec la pratique des exercices.
Comment nier une proposition avec plusieurs quantificateurs ?
Il faut inverser chaque quantificateur et nier la proposition finale. Par exemple, la négation de $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x+y > 0$ est $\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x+y \leq 0$.
💡 À retenir : On change $\forall$ en $\exists$ et $\exists$ en $\forall$, puis on nie la condition.
Kifach n7seb l'assertion "P ou Q" ila kant P khata?
Ila kant P khata, l'assertion "P ou Q" katkon s7i7a ghir ila kant Q s7i7a. Ila kant 7ta Q khata, l'assertion kamla katkon khata.
💡 À retenir : "Ou" est vrai si au moins une des deux propositions est vraie.
Est-ce que le raisonnement par l'absurde est obligatoire pour tout ?
Non, il ne faut l'utiliser que si les méthodes directes échouent. C'est souvent le dernier recours quand on ne voit pas de chemin logique clair.
💡 À retenir : Privilégier le raisonnement direct ou la contraposée avant l'absurde.
💡 À retenir : L'équivalence est une double implication.
Peut-on utiliser la récurrence pour montrer une égalité avec des réels ?
Oui, tant que la propriété dépend d'un entier naturel $n$. La récurrence est un outil puissant pour les suites ou les sommes indexées par $n$.
💡 À retenir : La récurrence s'applique uniquement sur $\mathbb{N}$.
Est-ce que l'ordre des quantificateurs est important ?
Oui, absolument. $\forall x, \exists y$ n'est pas la même chose que $\exists y, \forall x$. Le premier signifie que $y$ dépend de $x$, le second signifie qu'il existe un $y$ fixe pour tout $x$.
💡 À retenir : Ne jamais inverser les quantificateurs sans réfléchir.
Comment rédiger l'hérédité en récurrence ?
On écrit "Supposons que $P(n)$ est vraie". 2. On écrit "Montrons que $P(n+1)$ est vraie". 3. On utilise l'hypothèse de récurrence pour transformer l'expression de $P(n+1)$.
💡 À retenir : L'hypothèse de récurrence doit impérativement être utilisée.
Est-ce qu'on peut utiliser des exemples pour prouver une proposition universelle ?
Jamais ! Un exemple ne prouve rien pour le cas général. Pour prouver $\forall x$, il faut un raisonnement général. Par contre, un contre-exemple suffit pour prouver qu'une proposition est fausse.
💡 À retenir : Un exemple = contre-exemple (pour invalider), pas une preuve.
Chno lfarq bin l'implication o l'equivalence?
L'implication $P \implies Q$ kat3ni ila kant P s7i7a, khasse Q tkoun s7i7a. L'equivalence $P \iff Q$ kat3ni P o Q 3ndhom nafs l'etat (jouj s7a7 aw jouj khata).
💡 À retenir : L'équivalence est plus forte que l'implication.
Pourquoi on commence souvent la récurrence par n0=0 ou n0=1 ?
Parce que le domaine de définition de la propriété est souvent $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$. Il faut toujours commencer par la plus petite valeur pour laquelle la propriété est définie.
💡 À retenir : Toujours vérifier l'ensemble de validité.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $3^{2n} - 2^n$ est divisible par 7.
Connecteurs logiques : La table de vérité est l'outil fondamental. Rappel : P⟹Q est équivalent à (non Q)⟹(non P).
Quantificateurs : ∀x∈E,P(x) signifie que P est vraie pour tout élément. ∃x∈E,P(x) signifie qu'il existe au moins un élément.
Récurrence : Pour montrer P(n) pour n≥n0 :
Initialisation : Vérifier P(n0).
Hérédité : Supposer P(n) vraie, montrer P(n+1).
Raisonnement par l'absurde : Pour montrer P, on suppose non P et on cherche une contradiction (ex: 1=0).
Méthodes à maîtriser
Négation de propositions : non(∀x,P(x))⟺∃x,non P(x) et non(∃x,P(x))⟺∀x,non P(x).
Preuve par contraposée : Très utile pour les implications du type "Si x2 est pair, alors x est pair".
Rédaction de la récurrence : Toujours préciser "Soit n∈N tel que P(n) est vraie".
Exemples corrigés
Exemple 1 : Montrer que 2∈/Q. On suppose 2=p/q avec p∧q=1. On trouve p2=2q2, donc p est pair, p=2k, d'où 4k2=2q2⟹q2=2k2, donc q est pair. Contradiction car p∧q=1.
Exemple 2 : Montrer par récurrence que ∑k=1nk=2n(n+1).
💡 À retenir : L'équivalence est une double implication.
Oui, tant que la propriété dépend d'un entier naturel n. La récurrence est un outil puissant pour les suites ou les sommes indexées par n.
💡 À retenir : La récurrence s'applique uniquement sur N.
Oui, absolument. ∀x,∃y n'est pas la même chose que ∃y,∀x. Le premier signifie que y dépend de x, le second signifie qu'il existe un y fixe pour tout x.
💡 À retenir : Ne jamais inverser les quantificateurs sans réfléchir.
On écrit "Supposons que P(n) est vraie". 2. On écrit "Montrons que P(n+1) est vraie". 3. On utilise l'hypothèse de récurrence pour transformer l'expression de P(n+1).
💡 À retenir : L'hypothèse de récurrence doit impérativement être utilisée.
Jamais ! Un exemple ne prouve rien pour le cas général. Pour prouver ∀x, il faut un raisonnement général. Par contre, un contre-exemple suffit pour prouver qu'une proposition est fausse.
💡 À retenir : Un exemple = contre-exemple (pour invalider), pas une preuve.
L'implication P⟹Q kat3ni ila kant P s7i7a, khasse Q tkoun s7i7a. L'equivalence P⟺Q kat3ni P o Q 3ndhom nafs l'etat (jouj s7a7 aw jouj khata).
💡 À retenir : L'équivalence est plus forte que l'implication.
Parce que le domaine de définition de la propriété est souvent N ou N∗. Il faut toujours commencer par la plus petite valeur pour laquelle la propriété est définie.
💡 À retenir : Toujours vérifier l'ensemble de validité.
Exercice 1
Montrer par récurrence que pour tout n∈N∗, 32n−2n est divisible par 7.
Exercice 2
Montrer que pour tout x∈R+, x+1−x<2x1 (pour x>0).