Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Forme algébrique : $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$ .
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Propriétés : $|zz'| = |z||z'|$ et $|z^n| = |z|^n$ .
Argument : $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$ . Propriétés : $\arg(zz') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$ .
Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$ .
Formules d'Euler : $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ .
Formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ .

Méthodes à maîtriser

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (calculer le module, factoriser, identifier l'angle).
Résoudre une équation du second degré $az^2 + bz + c = 0$ dans $\mathbb{C}$ (calculer $\Delta$ ).
Utiliser les complexes pour démontrer des propriétés géométriques (alignement, orthogonalité).
Linéariser des expressions comme $\cos^3(x)$ en utilisant les formules d'Euler.

Exemples corrigés

Équation : $z^2 - 2z + 2 = 0$ . $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = -4 = (2i)^2$ . Solutions : $z_1 = \frac{2-2i}{2} = 1-i$ et $z_2 = 1+i$ .
Module : $|3+4i| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le $[2\pi]$ lors du calcul d'un argument.
Confondre $\arg(z+z')$ avec $\arg(z) + \arg(z')$ , ce qui est faux.
Ne pas vérifier le signe de $\Delta$ quand il est négatif dans $\mathbb{R}$ mais positif dans $\mathbb{C}$ .

L'essentiel du cours

Forme algébrique : $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$.
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Propriétés : $|zz'| = |z||z'|$ et $|z^n| = |z|^n$.
Argument : $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$. Propriétés : $\arg(zz') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$.
Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.
Formules d'Euler : $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.
Formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.

Méthodes à maîtriser

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (calculer le module, factoriser, identifier l'angle).
Résoudre une équation du second degré $az^2 + bz + c = 0$ dans $\mathbb{C}$ (calculer $\Delta$).
Utiliser les complexes pour démontrer des propriétés géométriques (alignement, orthogonalité).
Linéariser des expressions comme $\cos^3(x)$ en utilisant les formules d'Euler.

Exemples corrigés

Équation : $z^2 - 2z + 2 = 0$. $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = -4 = (2i)^2$. Solutions : $z_1 = \frac{2-2i}{2} = 1-i$ et $z_2 = 1+i$.
Module : $|3+4i| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Erreurs fréquentes

Oublier le $[2\pi]$ lors du calcul d'un argument.
Confondre $\arg(z+z')$ avec $\arg(z) + \arg(z')$, ce qui est faux.
Ne pas vérifier le signe de $\Delta$ quand il est négatif dans $\mathbb{R}$ mais positif dans $\mathbb{C}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Nombres complexes

1/4

Quel est le module de $z = 3i$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment passer de e^{itheta} à costheta et sintheta ?

Utilisez la formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ .

💡 À retenir : C'est la définition de l'exponentielle complexe.

Utilisez la formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.

💡 À retenir : C'est la définition de l'exponentielle complexe.

Comment trouver la racine carrée d'un nombre complexe ?

Pour trouver $z$ tel que $z^2 = a+ib$ , posez $z = x+iy$ .

$(x+iy)^2 = a+ib \implies x^2 - y^2 + 2ixy = a+ib$ .
Résoudre le système : $x^2 - y^2 = a$ , $2xy = b$ et $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$ .

💡 À retenir : Utilisez le système des parties réelles/imaginaires et le module.

Pour trouver $z$ tel que $z^2 = a+ib$, posez $z = x+iy$.

$(x+iy)^2 = a+ib \implies x^2 - y^2 + 2ixy = a+ib$.
Résoudre le système : $x^2 - y^2 = a$, $2xy = b$ et $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$.

💡 À retenir : Utilisez le système des parties réelles/imaginaires et le module.

Comment calculer le module d'un quotient ?

Pour calculer le module d'un quotient $\frac{z}{z'}$ , on utilise la propriété $| \frac{z}{z'} | = \frac{|z|}{|z'|}$ (avec $z' \neq 0$ ).

Calculez le module du numérateur $|z|$ .
Calculez le module du dénominateur $|z'|$ .
Faites la division des deux résultats.

💡 À retenir : Le module d'un quotient est le quotient des modules.

Pour calculer le module d'un quotient $\frac{z}{z'}$, on utilise la propriété $| \frac{z}{z'} | = \frac{|z|}{|z'|}$ (avec $z' \neq 0$).

Calculez le module du numérateur $|z|$.
Calculez le module du dénominateur $|z'|$.
Faites la division des deux résultats.

💡 À retenir : Le module d'un quotient est le quotient des modules.

Kifach n7seb l'argument dyal z = -1 + isqrt{3} ?

Calculer le module : $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$ .
Factoriser par $r$ : $z = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$ .
Identifier l'angle : on cherche $\theta$ tel que $\cos\theta = -1/2$ et $\sin\theta = \sqrt{3}/2$ . C'est $2\pi/3$ .

💡 À retenir : Toujours factoriser par le module avant d'identifier l'argument.

Calculer le module : $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
Factoriser par $r$ : $z = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Identifier l'angle : on cherche $\theta$ tel que $\cos\theta = -1/2$ et $\sin\theta = \sqrt{3}/2$. C'est $2\pi/3$.

💡 À retenir : Toujours factoriser par le module avant d'identifier l'argument.

Est-ce que arg(z^n) = n arg(z) est toujours vrai ?

Oui, cette propriété est vraie pour tout entier relatif $n$ , modulo $2\pi$ . C'est une conséquence directe de la formule de Moivre.

💡 À retenir : $\arg(z^n) \equiv n \arg(z) [2\pi]$ .

Oui, cette propriété est vraie pour tout entier relatif $n$, modulo $2\pi$. C'est une conséquence directe de la formule de Moivre.

💡 À retenir : $\arg(z^n) \equiv n \arg(z) [2\pi]$.

Chno hiya l'far9 bin l'forme algébrique o l'forme trigonométrique ?

La forme algébrique ( $a+ib$ ) est utile pour les additions et soustractions.
La forme trigonométrique ( $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ) est beaucoup plus efficace pour les multiplications, divisions et puissances.

💡 À retenir : Algébrique pour additionner, trigonométrique pour multiplier.

La forme algébrique ($a+ib$) est utile pour les additions et soustractions.
La forme trigonométrique ($r(\cos\theta + i\sin\theta)$) est beaucoup plus efficace pour les multiplications, divisions et puissances.

💡 À retenir : Algébrique pour additionner, trigonométrique pour multiplier.

Comment montrer que trois points sont alignés avec les complexes ?

Trois points $A, B, C$ d'affixes $a, b, c$ sont alignés si et seulement si le rapport $\frac{c-a}{b-a}$ est un nombre réel.

💡 À retenir : Si le rapport est réel, les points sont alignés.

Trois points $A, B, C$ d'affixes $a, b, c$ sont alignés si et seulement si le rapport $\frac{c-a}{b-a}$ est un nombre réel.

💡 À retenir : Si le rapport est réel, les points sont alignés.

Kifach nkhdem b l'conjugué bach n7yed i mn l'maqam ?

Pour simplifier $\frac{1}{a+ib}$ , multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué $a-ib$ .

$\frac{1}{a+ib} = \frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}$ .
Le dénominateur devient $a^2 + b^2$ (un réel).

💡 À retenir : Multiplier par le conjugué transforme le dénominateur en nombre réel.

Pour simplifier $\frac{1}{a+ib}$, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué $a-ib$.

$\frac{1}{a+ib} = \frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}$.
Le dénominateur devient $a^2 + b^2$ (un réel).

💡 À retenir : Multiplier par le conjugué transforme le dénominateur en nombre réel.

Quelle est l'interprétation géométrique de |z - zA| ?

Le module $|z - z_A|$ représente la distance entre le point $M$ d'affixe $z$ et le point $A$ d'affixe $z_A$ .

💡 À retenir : $|z - z_A| = AM$ .

Le module $|z - z_A|$ représente la distance entre le point $M$ d'affixe $z$ et le point $A$ d'affixe $z_A$.

💡 À retenir : $|z - z_A| = AM$.

Est-ce que l'argument d'un nombre réel négatif est pi ?

Oui, tout nombre réel négatif $x$ s'écrit $|x|e^{i\pi}$ . Son argument est donc $\pi$ (ou tout $\pi + 2k\pi$ ).

💡 À retenir : $\arg(\text{réel négatif}) \equiv \pi [2\pi]$ .

Oui, tout nombre réel négatif $x$ s'écrit $|x|e^{i\pi}$. Son argument est donc $\pi$ (ou tout $\pi + 2k\pi$).

💡 À retenir : $\arg(\text{réel négatif}) \equiv \pi [2\pi]$.

Pourquoi on utilise les complexes en géométrie ?

Les complexes permettent de transformer des problèmes de géométrie (rotations, homothéties, alignement) en calculs algébriques simples.

💡 À retenir : Les complexes simplifient les transformations du plan.

Est-ce que le conjugué d'un produit est le produit des conjugués ?

Oui, $\overline{z \cdot z'} = \overline{z} \cdot \overline{z'}$ . C'est une propriété très utile pour simplifier les calculs.

💡 À retenir : Le conjugué "distribue" sur le produit.

Oui, $\overline{z \cdot z'} = \overline{z} \cdot \overline{z'}$. C'est une propriété très utile pour simplifier les calculs.

💡 À retenir : Le conjugué "distribue" sur le produit.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 13 = 0$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 13 = 0$.

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Exercice 2

Soit $z = 1 + i\sqrt{3}$ . Écrire $z$ sous forme exponentielle et calculer $z^6$ .

Exercice 2

Soit $z = 1 + i\sqrt{3}$. Écrire $z$ sous forme exponentielle et calculer $z^6$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soient $A, B, C$ d'affixes $a=i, b=1+2i, c=2+i$ . Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle.

Exercice 3

Soient $A, B, C$ d'affixes $a=i, b=1+2i, c=2+i$. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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