Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Ensembles et applications

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Application : Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Une application $f: E \to F$ associe à chaque $x \in E$ un unique $y \in F$ noté $f(x)$ .
Injection : $f$ est injective si $\forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ .
Surjection : $f$ est surjective si $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$ .
Bijection : $f$ est bijective si elle est injective et surjective.
Composition : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .
Image réciproque : $f^{-1}(B) = \{x \in E / f(x) \in B\}$ .

Méthodes à maîtriser

Pour montrer l'injectivité : Supposer $f(x_1) = f(x_2)$ et montrer que $x_1 = x_2$ .
Pour montrer la surjectivité : Prendre un $y$ quelconque dans $F$ et résoudre l'équation $f(x) = y$ pour trouver au moins un $x \in E$ .
Pour montrer la bijection : Montrer que pour tout $y \in F$ , l'équation $f(x) = y$ admet une unique solution $x \in E$ .

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$ $f : R \to R, x \mapsto 2 x + 1$ .
- Injection : $2x_1+1 = 2x_2+1 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$ . (Injectif)
- Surjection : $2x+1 = y \implies x = \frac{y-1}{2}$ . Pour tout $y \in \mathbb{R}$ , il existe $x \in \mathbb{R}$ . (Surjectif)
- Donc $f$ est bijective.

Erreurs fréquentes

Confondre l'image réciproque $f^{-1}(B)$ avec la fonction réciproque $f^{-1}$ .
Oublier de vérifier que l'antécédent trouvé appartient bien à l'ensemble de départ $E$ .
Croire qu'une fonction est bijective juste parce qu'elle est strictement monotone (il faut aussi vérifier la continuité et les limites, mais ici on parle d'ensembles, donc la définition algébrique prime).

L'essentiel du cours

Application : Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Une application $f: E \to F$ associe à chaque $x \in E$ un unique $y \in F$ noté $f(x)$.
Injection : $f$ est injective si $\forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
Surjection : $f$ est surjective si $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$.
Bijection : $f$ est bijective si elle est injective et surjective.
Composition : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.
Image réciproque : $f^{-1}(B) = {x \in E / f(x) \in B}$.

Méthodes à maîtriser

Pour montrer l'injectivité : Supposer $f(x_1) = f(x_2)$ et montrer que $x_1 = x_2$.
Pour montrer la surjectivité : Prendre un $y$ quelconque dans $F$ et résoudre l'équation $f(x) = y$ pour trouver au moins un $x \in E$.
Pour montrer la bijection : Montrer que pour tout $y \in F$, l'équation $f(x) = y$ admet une unique solution $x \in E$.

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$.
- Injection : $2x_1+1 = 2x_2+1 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$. (Injectif)
- Surjection : $2x+1 = y \implies x = \frac{y-1}{2}$. Pour tout $y \in \mathbb{R}$, il existe $x \in \mathbb{R}$. (Surjectif)
- Donc $f$ est bijective.

Erreurs fréquentes

Confondre l'image réciproque $f^{-1}(B)$ avec la fonction réciproque $f^{-1}$.
Oublier de vérifier que l'antécédent trouvé appartient bien à l'ensemble de départ $E$.
Croire qu'une fonction est bijective juste parce qu'elle est strictement monotone (il faut aussi vérifier la continuité et les limites, mais ici on parle d'ensembles, donc la définition algébrique prime).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Ensembles et applications

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Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^3$ . $f$ est :

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^3$. $f$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'image directe d'une intersection est toujours égale à l'intersection des images ?

Non, en général, on a seulement $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ . L'égalité n'est vraie que si $f$ est injective.

💡 À retenir : L'inclusion réciproque nécessite souvent l'injectivité.

Non, en général, on a seulement $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$. L'égalité n'est vraie que si $f$ est injective.

💡 À retenir : L'inclusion réciproque nécessite souvent l'injectivité.

Kifach n3ref wach l'application surjective wla la?

Khoud $y$ f l'ensemble d'arrivée $F$ .
7awel t7el l'équation $f(x) = y$ b7ayt tkhrej $x$ bdellalat $y$ .
Ila lqiti 3la l'aqal wahed $x$ kayn f $E$ , raha surjective.

💡 À retenir : La surjectivité signifie que chaque élément de l'arrivée a au moins un antécédent.

Khoud $y$ f l'ensemble d'arrivée $F$.
7awel t7el l'équation $f(x) = y$ b7ayt tkhrej $x$ bdellalat $y$.
Ila lqiti 3la l'aqal wahed $x$ kayn f $E$, raha surjective.

💡 À retenir : La surjectivité signifie que chaque élément de l'arrivée a au moins un antécédent.

Est-ce qu'une application injective est forcément bijective ?

Non. Par exemple, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$ est injective mais n'est pas surjective car elle ne prend jamais de valeurs négatives.

💡 À retenir : Une injection devient une bijection si on restreint l'ensemble d'arrivée à l'image de la fonction.

Non. Par exemple, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$ est injective mais n'est pas surjective car elle ne prend jamais de valeurs négatives.

💡 À retenir : Une injection devient une bijection si on restreint l'ensemble d'arrivée à l'image de la fonction.

Chno hiya l'image réciproque f^{-1}(B)?

C'est l'ensemble de tous les éléments $x$ de l'ensemble de départ dont l'image $f(x)$ tombe dans $B$ .

💡 À retenir : $x \in f^{-1}(B) \iff f(x) \in B$ .

C'est l'ensemble de tous les éléments $x$ de l'ensemble de départ dont l'image $f(x)$ tombe dans $B$.

💡 À retenir : $x \in f^{-1}(B) \iff f(x) \in B$.

Kifach nbin bli f bijective bla manbiyen l'injection o la surjection?

Khoud $y \in F$ o 7el l'équation $f(x) = y$ . Ila lqiti 7el wahed o wa7id (unique) $x \in E$ , raha bijective.

💡 À retenir : L'unicité de la solution est la clé de la bijection.

Khoud $y \in F$ o 7el l'équation $f(x) = y$. Ila lqiti 7el wahed o wa7id (unique) $x \in E$, raha bijective.

💡 À retenir : L'unicité de la solution est la clé de la bijection.

Si f est bijective, est-ce que f circ f^{-1} = IdF ?

Oui, par définition de l'application réciproque, composer une fonction avec sa réciproque donne l'identité.

💡 À retenir : $f^{-1} \circ f = Id_E$ et $f \circ f^{-1} = Id_F$ .

Oui, par définition de l'application réciproque, composer une fonction avec sa réciproque donne l'identité.

💡 À retenir : $f^{-1} \circ f = Id_E$ et $f \circ f^{-1} = Id_F$.

Est-ce que l'ensemble des parties mathcal{P}(E) est toujours fini ?

Non, seulement si $E$ est fini. Si $E$ a $n$ éléments, $\mathcal{P}(E)$ a $2^n$ éléments.

💡 À retenir : Le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ est $2^{card(E)}$ .

Non, seulement si $E$ est fini. Si $E$ a $n$ éléments, $\mathcal{P}(E)$ a $2^n$ éléments.

💡 À retenir : Le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ est $2^{card(E)}$.

Wach ila kan f injective, f(A cap B) = f(A) cap f(B)?

Oui, c'est une propriété classique. L'injectivité permet de garantir que les éléments ne sont pas "écrasés" ensemble.

💡 À retenir : L'injectivité préserve l'intersection.

Comment montrer que deux ensembles sont égaux ?

Il faut montrer la double inclusion : $A \subset B$ et $B \subset A$ .

💡 À retenir : C'est la méthode universelle en théorie des ensembles.

Il faut montrer la double inclusion : $A \subset B$ et $B \subset A$.

💡 À retenir : C'est la méthode universelle en théorie des ensembles.

Est-ce que f(A cup B) = f(A) cup f(B) est toujours vrai ?

Oui, cette égalité est toujours vraie pour n'importe quelle application $f$ .

💡 À retenir : L'image directe respecte toujours la réunion.

Oui, cette égalité est toujours vraie pour n'importe quelle application $f$.

💡 À retenir : L'image directe respecte toujours la réunion.

Est-ce que f^{-1}(A cup B) = f^{-1}(A) cup f^{-1}(B) ?

Oui, l'image réciproque se comporte très bien avec les opérations sur les ensembles (réunion, intersection, complémentaire).

💡 À retenir : L'image réciproque est un morphisme d'algèbres de Boole.

Est-ce que la composée de deux bijections est une bijection ?

Oui, si $f$ et $g$ sont bijectives, alors $g \circ f$ est bijective.

💡 À retenir : $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ .

Oui, si $f$ et $g$ sont bijectives, alors $g \circ f$ est bijective.

💡 À retenir : $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\}$ définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ .

Montrer que $f$ est une involution (c'est-à-dire $f \circ f = Id$ ).
En déduire que $f$ est bijective et déterminer $f^{-1}$ .

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus {1} \to \mathbb{R} \setminus {1}$ définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

Montrer que $f$ est une involution (c'est-à-dire $f \circ f = Id$).
En déduire que $f$ est bijective et déterminer $f^{-1}$.

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Exercice 2

Soit $f: E \to F$ une application. Montrer que $f$ est injective si et seulement si pour tout sous-ensemble $A \subset E$ , $f^{-1}(f(A)) = A$ .

Exercice 2

Soit $f: E \to F$ une application. Montrer que $f$ est injective si et seulement si pour tout sous-ensemble $A \subset E$, $f^{-1}(f(A)) = A$.

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Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2 - 2x$ .

$f$ est-elle injective ? Surjective ?
Déterminer $f([0, 2])$ .

Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2 - 2x$.

$f$ est-elle injective ? Surjective ?
Déterminer $f([0, 2])$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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