Sciences de l'ingénieur · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

Convertir l'énergie (Actionneurs)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un actionneur est un organe qui transforme l'énergie (électrique, pneumatique ou hydraulique) en une énergie utile (souvent mécanique) pour réaliser un travail.

1. Les actionneurs électriques

Moteur à courant continu (MCC) :
- Relation tension/force électromotrice : $U = E + R \cdot I$
- Force électromotrice : $E = k \cdot \Omega$ (avec $k$ la constante de la machine et $\Omega$ la vitesse en $rad/s$ )
- Couple électromagnétique : $C = k \cdot I$
- Puissance absorbée : $P_{abs} = U \cdot I$
- Puissance utile (mécanique) : $P_{u} = C \cdot \Omega$
- Rendement : $\eta = \frac{P_{u}}{P_{abs}}$
Moteur pas à pas : Permet un déplacement angulaire discret (par "pas") sans capteur de position, idéal pour le positionnement précis.
Moteur asynchrone :
- Vitesse de synchronisme : $n_s = \frac{f}{p}$ (en $tr/s$ ) ou $n_s = \frac{60 \cdot f}{p}$ (en $tr/min$ ), où $f$ est la fréquence et $p$ le nombre de paires de pôles.
- Glissement : $g = \frac{n_s - n}{n_s}$ (où $n$ est la vitesse réelle).

2. Les actionneurs pneumatiques et hydrauliques (Vérins)

Vérin simple effet : Retour par ressort.
Vérin double effet : Travail dans les deux sens par pression d'air/huile.
Force d'un vérin :
- En poussée : $F_{poussée} = P \cdot S$
- En traction : $F_{traction} = P \cdot (S - S_{tige})$
- Où $P$ est la pression et $S$ la section du piston.

Méthodes à maîtriser

Conversion d'unités : Passer de $n$ ( $tr/min$ ) à $\Omega$ ( $rad/s$ ) via $\Omega = \frac{2\pi \cdot n}{60}$ .
Calcul de rendement : Toujours partir de $P_{abs}$ pour trouver $P_{u}$ ou inversement.
Calcul de force : Bien identifier si on calcule la force en poussée ou en traction (attention à la section de la tige).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Un moteur CC a une résistance $R = 2 \, \Omega$ , une tension $U = 12 \, V$ et un courant $I = 3 \, A$ . Si $E = 10 \, V$ , calculer le rendement.

$P_{abs} = U \cdot I = 12 \cdot 3 = 36 \, W$
$P_{u} = E \cdot I = 10 \cdot 3 = 30 \, W$
$\eta = \frac{30}{36} \approx 0,83 \implies 83\%$

Exemple 2 : Un vérin a un piston de diamètre $D = 40 \, mm$ . La pression est $P = 6 \, bar$ . Calculer la force de poussée.

Conversion : $D = 0,04 \, m$ ; $P = 6 \cdot 10^5 \, Pa$
Section $S = \frac{\pi \cdot D^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,04^2}{4} \approx 0,001256 \, m^2$
$F = P \cdot S = 6 \cdot 10^5 \cdot 0,001256 = 753,6 \, N$

Erreurs fréquentes

Confondre la vitesse de rotation $n$ ( $tr/min$ ) et la vitesse angulaire $\Omega$ ( $rad/s$ ).
Oublier de convertir les pressions en Pascals ( $1 \, bar = 10^5 \, Pa$ ) et les diamètres en mètres.
Utiliser la section totale du piston pour calculer la force de traction (il faut soustraire la section de la tige).

L'essentiel du cours

Un actionneur est un organe qui transforme l'énergie (électrique, pneumatique ou hydraulique) en une énergie utile (souvent mécanique) pour réaliser un travail.

1. Les actionneurs électriques

Moteur à courant continu (MCC) :
- Relation tension/force électromotrice : $U = E + R \cdot I$
- Force électromotrice : $E = k \cdot \Omega$ (avec $k$ la constante de la machine et $\Omega$ la vitesse en $rad/s$)
- Couple électromagnétique : $C = k \cdot I$
- Puissance absorbée : $P_{abs} = U \cdot I$
- Puissance utile (mécanique) : $P_{u} = C \cdot \Omega$
- Rendement : $\eta = \frac{P_{u}}{P_{abs}}$
Moteur pas à pas : Permet un déplacement angulaire discret (par "pas") sans capteur de position, idéal pour le positionnement précis.
Moteur asynchrone :
- Vitesse de synchronisme : $n_s = \frac{f}{p}$ (en $tr/s$) ou $n_s = \frac{60 \cdot f}{p}$ (en $tr/min$), où $f$ est la fréquence et $p$ le nombre de paires de pôles.
- Glissement : $g = \frac{n_s - n}{n_s}$ (où $n$ est la vitesse réelle).

2. Les actionneurs pneumatiques et hydrauliques (Vérins)

Vérin simple effet : Retour par ressort.
Vérin double effet : Travail dans les deux sens par pression d'air/huile.
Force d'un vérin :
- En poussée : $F_{poussée} = P \cdot S$
- En traction : $F_{traction} = P \cdot (S - S_{tige})$
- Où $P$ est la pression et $S$ la section du piston.

Méthodes à maîtriser

Conversion d'unités : Passer de $n$ ($tr/min$) à $\Omega$ ($rad/s$) via $\Omega = \frac{2\pi \cdot n}{60}$.
Calcul de rendement : Toujours partir de $P_{abs}$ pour trouver $P_{u}$ ou inversement.
Calcul de force : Bien identifier si on calcule la force en poussée ou en traction (attention à la section de la tige).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Un moteur CC a une résistance $R = 2 , \Omega$, une tension $U = 12 , V$ et un courant $I = 3 , A$. Si $E = 10 , V$, calculer le rendement.

$P_{abs} = U \cdot I = 12 \cdot 3 = 36 , W$
$P_{u} = E \cdot I = 10 \cdot 3 = 30 , W$
$\eta = \frac{30}{36} \approx 0,83 \implies 83%$

Exemple 2 : Un vérin a un piston de diamètre $D = 40 , mm$. La pression est $P = 6 , bar$. Calculer la force de poussée.

Conversion : $D = 0,04 , m$ ; $P = 6 \cdot 10^5 , Pa$
Section $S = \frac{\pi \cdot D^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,04^2}{4} \approx 0,001256 , m^2$
$F = P \cdot S = 6 \cdot 10^5 \cdot 0,001256 = 753,6 , N$

Erreurs fréquentes

Confondre la vitesse de rotation $n$ ($tr/min$) et la vitesse angulaire $\Omega$ ($rad/s$).
Oublier de convertir les pressions en Pascals ($1 , bar = 10^5 , Pa$) et les diamètres en mètres.
Utiliser la section totale du piston pour calculer la force de traction (il faut soustraire la section de la tige).

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🎯 Convertir l'énergie (Actionneurs)

1/4

Quel est le rôle principal d'un actionneur ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'efficacité (rendement) dyal un moteur ?

Calcule la puissance absorbée : $P_{abs} = U \cdot I$ .
Calcule la puissance utile : $P_{u} = C \cdot \Omega$ (ou $P_{u} = E \cdot I$ ).
Applique la formule : $\eta = \frac{P_{u}}{P_{abs}}$ .

💡 À retenir : Le rendement est toujours compris entre 0 et 1.

Calcule la puissance absorbée : $P_{abs} = U \cdot I$.
Calcule la puissance utile : $P_{u} = C \cdot \Omega$ (ou $P_{u} = E \cdot I$).
Applique la formule : $\eta = \frac{P_{u}}{P_{abs}}$.

💡 À retenir : Le rendement est toujours compris entre 0 et 1.

Chno lfarq bin moteur DC o moteur pas à pas ?

Le moteur DC tourne de façon continue dès qu'on l'alimente.
Le moteur pas à pas tourne par petits incréments (pas) précis.
Le moteur pas à pas est utilisé pour le positionnement sans capteur, alors que le DC nécessite souvent un capteur pour la position.

💡 À retenir : Pas à pas = Précision de position.

Vérin fih l'effort dyal ch7al ? (Comment calculer la force d'un vérin ?)

Identifie la pression $P$ (en Pascal) et la section $S$ (en $m^2$ ).
Si c'est en poussée : $F = P \cdot S$ .
Si c'est en traction : $F = P \cdot (S_{piston} - S_{tige})$ .

💡 À retenir : Attention aux unités ( $bar \to Pa$ et $mm \to m$ ).

Identifie la pression $P$ (en Pascal) et la section $S$ (en $m^2$).
Si c'est en poussée : $F = P \cdot S$.
Si c'est en traction : $F = P \cdot (S_{piston} - S_{tige})$.

💡 À retenir : Attention aux unités ($bar \to Pa$ et $mm \to m$).

Quelle est la différence entre la puissance absorbée et la puissance utile ?

La puissance absorbée ( $P_{abs}$ ) est l'énergie totale consommée par l'actionneur (ex: électrique).
La puissance utile ( $P_{u}$ ) est l'énergie réellement transformée en travail mécanique.
La différence représente les pertes (chaleur, frottements).

💡 À retenir : $P_{u} = P_{abs} \cdot \eta$ .

La puissance absorbée ($P_{abs}$) est l'énergie totale consommée par l'actionneur (ex: électrique).
La puissance utile ($P_{u}$) est l'énergie réellement transformée en travail mécanique.
La différence représente les pertes (chaleur, frottements).

💡 À retenir : $P_{u} = P_{abs} \cdot \eta$.

Comment convertir une vitesse de 1500 , tr/min en rad/s ?

Utilise la formule : $\Omega = \frac{2\pi \cdot n}{60}$ .
$\Omega = \frac{2\pi \cdot 1500}{60} = 50\pi \approx 157,08 \, rad/s$ .

💡 À retenir : Ne jamais utiliser $n$ directement dans les formules de puissance mécanique.

Utilise la formule : $\Omega = \frac{2\pi \cdot n}{60}$.
$\Omega = \frac{2\pi \cdot 1500}{60} = 50\pi \approx 157,08 , rad/s$.

💡 À retenir : Ne jamais utiliser $n$ directement dans les formules de puissance mécanique.

C'est quoi le glissement dans un moteur asynchrone ?

C'est l'écart entre la vitesse du champ magnétique (synchronisme $n_s$ ) et la vitesse réelle du rotor ( $n$ ).
Formule : $g = \frac{n_s - n}{n_s}$ .
Il est indispensable pour que le moteur produise un couple.

💡 À retenir : Si $g=0$ , le moteur ne produit aucun couple.

C'est l'écart entre la vitesse du champ magnétique (synchronisme $n_s$) et la vitesse réelle du rotor ($n$).
Formule : $g = \frac{n_s - n}{n_s}$.
Il est indispensable pour que le moteur produise un couple.

💡 À retenir : Si $g=0$, le moteur ne produit aucun couple.

Quelle est l'unité du couple ?

L'unité internationale est le Newton-mètre ( $N \cdot m$ ).
Dans les exercices, on trouve parfois des $mN \cdot m$ (milliNewton-mètre).

💡 À retenir : Toujours vérifier l'unité avant de calculer une puissance.

L'unité internationale est le Newton-mètre ($N \cdot m$).
Dans les exercices, on trouve parfois des $mN \cdot m$ (milliNewton-mètre).

💡 À retenir : Toujours vérifier l'unité avant de calculer une puissance.

Comment calculer la section d'un piston circulaire ?

Si on a le diamètre $D$ : $S = \frac{\pi \cdot D^2}{4}$ .
Si on a le rayon $R$ : $S = \pi \cdot R^2$ .

💡 À retenir : Convertis le diamètre en mètres avant de calculer $S$ .

Si on a le diamètre $D$ : $S = \frac{\pi \cdot D^2}{4}$.
Si on a le rayon $R$ : $S = \pi \cdot R^2$.

💡 À retenir : Convertis le diamètre en mètres avant de calculer $S$.

Un moteur asynchrone a p=2 et f=50 , Hz. Quelle est sa vitesse de synchronisme ?

Formule : $n_s = \frac{60 \cdot f}{p}$ .
$n_s = \frac{60 \cdot 50}{2} = 1500 \, tr/min$ .

💡 À retenir : $p$ est le nombre de paires de pôles.

Formule : $n_s = \frac{60 \cdot f}{p}$.
$n_s = \frac{60 \cdot 50}{2} = 1500 , tr/min$.

💡 À retenir : $p$ est le nombre de paires de pôles.

Que signifie un rendement de 1 ?

Cela signifie qu'il n'y a aucune perte d'énergie (cas théorique idéal).
En réalité, $\eta$ est toujours inférieur à 1 à cause des frottements et de l'effet Joule.

💡 À retenir : Un rendement de 1 est impossible en pratique.

Cela signifie qu'il n'y a aucune perte d'énergie (cas théorique idéal).
En réalité, $\eta$ est toujours inférieur à 1 à cause des frottements et de l'effet Joule.

💡 À retenir : Un rendement de 1 est impossible en pratique.

Quelle est la relation entre couple, puissance et vitesse ?

La relation est : $P = C \cdot \Omega$ .
$P$ en Watts ( $W$ ), $C$ en $N \cdot m$ , et $\Omega$ en $rad/s$ .

💡 À retenir : C'est la formule de base de la mécanique.

La relation est : $P = C \cdot \Omega$.
$P$ en Watts ($W$), $C$ en $N \cdot m$, et $\Omega$ en $rad/s$.

💡 À retenir : C'est la formule de base de la mécanique.

Pourquoi un moteur chauffe-t-il ?

À cause de l'effet Joule (pertes électriques dans les bobinages).
À cause des frottements mécaniques (pertes mécaniques).

💡 À retenir : La chaleur est la forme principale de perte d'énergie.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 : Étude d'un moteur à courant continu (Niveau facile) Un moteur à courant continu est alimenté par une tension $U = 24 \, V$ . Le courant consommé est $I = 5 \, A$ . La force électromotrice est $E = 20 \, V$ .

Calculer la puissance absorbée $P_{abs}$ par le moteur.
Calculer la puissance utile $P_{u}$ produite par le moteur.
Calculer le rendement $\eta$ du moteur.

Exercice 2 : Étude d'un vérin pneumatique (Niveau moyen) Un vérin double effet est utilisé pour pousser une charge. Les données sont :

Diamètre du piston : $D = 50 \, mm$
Diamètre de la tige : $d = 20 \, mm$
Pression d'air : $P = 5 \, bar$

Calculer la section du piston $S$ et la section annulaire $S_{ann}$ (pour la traction).
Calculer la force de poussée $F_{poussée}$ .
Calculer la force de traction $F_{traction}$ .

Exercice 3 : Moteur asynchrone et puissance (Niveau difficile) Un moteur asynchrone triphasé est connecté à un réseau de $f = 50 \, Hz$ . Il possède $p = 3$ paires de pôles. Sa vitesse de rotation est $n = 950 \, tr/min$ .

Calculer la vitesse de synchronisme $n_s$ en $tr/min$ .
Calculer le glissement $g$ du moteur.
Si le moteur fournit un couple utile $C_u = 40 \, N \cdot m$ , calculer la puissance utile $P_u$ en Watts.

Exercice 1

Exercice 1 : Étude d'un moteur à courant continu (Niveau facile) Un moteur à courant continu est alimenté par une tension $U = 24 , V$. Le courant consommé est $I = 5 , A$. La force électromotrice est $E = 20 , V$.

Calculer la puissance absorbée $P_{abs}$ par le moteur.
Calculer la puissance utile $P_{u}$ produite par le moteur.
Calculer le rendement $\eta$ du moteur.

Exercice 2 : Étude d'un vérin pneumatique (Niveau moyen) Un vérin double effet est utilisé pour pousser une charge. Les données sont :

Diamètre du piston : $D = 50 , mm$
Diamètre de la tige : $d = 20 , mm$
Pression d'air : $P = 5 , bar$

Calculer la section du piston $S$ et la section annulaire $S_{ann}$ (pour la traction).
Calculer la force de poussée $F_{poussée}$.
Calculer la force de traction $F_{traction}$.

Exercice 3 : Moteur asynchrone et puissance (Niveau difficile) Un moteur asynchrone triphasé est connecté à un réseau de $f = 50 , Hz$. Il possède $p = 3$ paires de pôles. Sa vitesse de rotation est $n = 950 , tr/min$.

Calculer la vitesse de synchronisme $n_s$ en $tr/min$.
Calculer le glissement $g$ du moteur.
Si le moteur fournit un couple utile $C_u = 40 , N \cdot m$, calculer la puissance utile $P_u$ en Watts.

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