Sciences de l'ingénieur · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

LES CAPTEURS

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un capteur est un dispositif qui transforme une grandeur physique (température, pression, position, lumière, etc.) en une grandeur exploitable, généralement une grandeur électrique (tension $U$ , courant $I$ , ou résistance $R$ ).

1. Classification des capteurs :

Capteurs passifs : Nécessitent une alimentation externe pour fonctionner (ex: thermistance, photorésistance, potentiomètre). Ils modifient une caractéristique électrique (résistance, capacité).
Capteurs actifs : Génèrent directement un signal électrique à partir de l'énergie de la grandeur physique (ex: thermocouple, piézoélectrique).

2. Caractéristiques métrologiques :

Étendue de mesure (Plage) : Intervalle $[G_{min} ; G_{max}]$ des grandeurs physiques que le capteur peut mesurer.
Sensibilité ( $S$ ) : C'est le rapport entre la variation du signal de sortie ( $\Delta S_{out}$ ) et la variation de la grandeur d'entrée ( $\Delta G_{in}$ ). $S = \frac{\Delta S_{out}}{\Delta G_{in}} = \frac{S_{out2} - S_{out1}}{G_{in2} - G_{in1}}$ Si $S$ est constant, le capteur est dit linéaire.
Résolution : Plus petite variation de la grandeur d'entrée que le capteur peut détecter.
Précision (ou Erreur) : Écart entre la valeur mesurée ( $V_{mes}$ ) et la valeur réelle ( $V_{réel}$ ). $\text{Erreur} = |V_{mes} - V_{réel}|$

Méthodes à maîtriser

1. Déterminer l'équation de la caractéristique d'un capteur linéaire : Si le capteur est linéaire, sa caractéristique est une droite d'équation : $y = ax + b$ Où :

$a$ est la sensibilité ( $S$ ).
$b$ est l'ordonnée à l'origine (valeur de sortie quand l'entrée est nulle).
Méthode : Utiliser deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ pour calculer $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ puis trouver $b$ .

2. Calculer l'erreur relative : $\text{Erreur relative} = \frac{|V_{mes} - V_{réel}|}{V_{réel}} \times 100 \text{ (\%)}$

Exemples corrigés

Exemple : Un capteur de température produit une tension $U$ telle que $U = 0,05 \cdot T + 0,2$ (avec $T$ en $^\circ\text{C}$ et $U$ en Volt).

Quelle est la sensibilité du capteur ?
Quelle tension obtient-on pour $T = 25^\circ\text{C}$ ?

Corrigé :

L'équation est de la forme $y = ax + b$ . La sensibilité est le coefficient directeur $a$ . Donc $S = 0,05 \text{ V/}^\circ\text{C}$ .
On remplace $T$ par 25 dans l'équation : $U = 0,05 \times 25 + 0,2 = 1,25 + 0,2 = 1,45 \text{ V}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre sensibilité et précision : Un capteur peut être très sensible (petite variation d'entrée $\rightarrow$ grande variation de sortie) mais très imprécis (grande erreur par rapport à la réalité).
Oublier les unités : La sensibilité doit toujours avoir une unité de type $\frac{\text{Unité de sortie}}{\text{Unité d'entrée}}$ (ex: $\text{V/}^\circ\text{C}$ ou $\text{V/m}$ ).
Erreur de calcul de la pente : Toujours vérifier que $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ et non l'inverse.

L'essentiel du cours

1. Classification des capteurs :

Capteurs passifs : Nécessitent une alimentation externe pour fonctionner (ex: thermistance, photorésistance, potentiomètre). Ils modifient une caractéristique électrique (résistance, capacité).
Capteurs actifs : Génèrent directement un signal électrique à partir de l'énergie de la grandeur physique (ex: thermocouple, piézoélectrique).

2. Caractéristiques métrologiques :

Étendue de mesure (Plage) : Intervalle $[G_{min} ; G_{max}]$ des grandeurs physiques que le capteur peut mesurer.
Sensibilité ($S$) : C'est le rapport entre la variation du signal de sortie ($\Delta S_{out}$) et la variation de la grandeur d'entrée ($\Delta G_{in}$). $$S = \frac{\Delta S_{out}}{\Delta G_{in}} = \frac{S_{out2} - S_{out1}}{G_{in2} - G_{in1}}$$ Si $S$ est constant, le capteur est dit linéaire.
Résolution : Plus petite variation de la grandeur d'entrée que le capteur peut détecter.
Précision (ou Erreur) : Écart entre la valeur mesurée ($V_{mes}$) et la valeur réelle ($V_{réel}$). $$\text{Erreur} = |V_{mes} - V_{réel}|$$

Méthodes à maîtriser

1. Déterminer l'équation de la caractéristique d'un capteur linéaire : Si le capteur est linéaire, sa caractéristique est une droite d'équation : $$y = ax + b$$ Où :

$a$ est la sensibilité ($S$).
$b$ est l'ordonnée à l'origine (valeur de sortie quand l'entrée est nulle).
Méthode : Utiliser deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ pour calculer $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ puis trouver $b$.

2. Calculer l'erreur relative : $$\text{Erreur relative} = \frac{|V_{mes} - V_{réel}|}{V_{réel}} \times 100 \text{ (%)}$$

Exemples corrigés

Exemple : Un capteur de température produit une tension $U$ telle que $U = 0,05 \cdot T + 0,2$ (avec $T$ en $^\circ\text{C}$ et $U$ en Volt).

Quelle est la sensibilité du capteur ?
Quelle tension obtient-on pour $T = 25^\circ\text{C}$ ?

Corrigé :

L'équation est de la forme $y = ax + b$. La sensibilité est le coefficient directeur $a$. Donc $S = 0,05 \text{ V/}^\circ\text{C}$.
On remplace $T$ par 25 dans l'équation : $U = 0,05 \times 25 + 0,2 = 1,25 + 0,2 = 1,45 \text{ V}$.

Erreurs fréquentes

Confondre sensibilité et précision : Un capteur peut être très sensible (petite variation d'entrée $\rightarrow$ grande variation de sortie) mais très imprécis (grande erreur par rapport à la réalité).
Oublier les unités : La sensibilité doit toujours avoir une unité de type $\frac{\text{Unité de sortie}}{\text{Unité d'entrée}}$ (ex: $\text{V/}^\circ\text{C}$ ou $\text{V/m}$).
Erreur de calcul de la pente : Toujours vérifier que $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ et non l'inverse.

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🎯 LES CAPTEURS

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Quelle est la définition correcte de la sensibilité ?

❓ Questions fréquentes

Si un capteur a une sensibilité de 2text{V/}^circtext{C}, quelle tension produit-il pour une variation de 5^circtext{C} ?

La variation de tension $\Delta U$ est : $\Delta U = S \times \Delta T = 2 \times 5 = 10\text{V}$

💡 À retenir : $\Delta \text{Sortie} = S \times \Delta \text{Entrée}$ .

La variation de tension $\Delta U$ est : $$\Delta U = S \times \Delta T = 2 \times 5 = 10\text{V}$$

💡 À retenir : $\Delta \text{Sortie} = S \times \Delta \text{Entrée}$.

Chno lfarq bin capteur et transducteur ?

Le transducteur est un terme général qui désigne tout dispositif convertissant une forme d'énergie en une autre (ex: mécanique $\rightarrow$ électrique). Le capteur est un type spécifique de transducteur dont le rôle est de mesurer une grandeur physique pour la transmettre à une chaîne d'information.

💡 À retenir : Tout capteur est un transducteur, mais tout transducteur n'est pas forcément un capteur (ex: un moteur est un transducteur électrique $\rightarrow$ mécanique).

Kifach n3ref l'erreur dyal capteur ?

Pour calculer l'erreur, tu dois suivre ces étapes :

Identifier la valeur réelle de la grandeur (donnée dans l'énoncé).
Identifier la valeur mesurée par le capteur.
Faire la soustraction : $\text{Erreur} = |V_{\text{mesurée}} - V_{\text{réelle}}|$ . L'erreur peut être exprimée en valeur absolue ou en pourcentage (erreur relative).

💡 À retenir : L'erreur est la différence entre la réalité et la mesure.

Chno hiya la sensibilité dyal capteur ?

Pour calculer l'erreur, tu dois suivre ces étapes :

Identifier la valeur réelle de la grandeur (donnée dans l'énoncé).
Identifier la valeur mesurée par le capteur.
Faire la soustraction : $\text{Erreur} = |V_{\text{mesurée}} - V_{\text{réelle}}|$. L'erreur peut être exprimée en valeur absolue ou en pourcentage (erreur relative).

💡 À retenir : L'erreur est la différence entre la réalité et la mesure.

Chno hiya la sensibilité dyal capteur ?

Quelle est la différence entre un capteur actif et un capteur passif ?

Capteur passif : Il ne produit pas d'énergie. Il a besoin d'une source d'alimentation externe pour modifier un paramètre électrique (ex: une résistance qui change avec la température).
Capteur actif : Il transforme l'énergie de la grandeur physique directement en signal électrique sans aide extérieure (ex: un thermocouple qui crée une tension grâce à la chaleur).

💡 À retenir : Passif = nécessite une alimentation ; Actif = génère son propre signal.

C'est quoi la résolution d'un capteur ?

La résolution est la plus petite variation de la grandeur physique que le capteur est capable de distinguer. Si un capteur a une résolution de $0,1\text{V}$ , une variation de $0,05\text{V}$ ne sera pas détectée par le système.

💡 À retenir : La résolution définit la "finesse" de la mesure.

La résolution est la plus petite variation de la grandeur physique que le capteur est capable de distinguer. Si un capteur a une résolution de $0,1\text{V}$, une variation de $0,05\text{V}$ ne sera pas détectée par le système.

💡 À retenir : La résolution définit la "finesse" de la mesure.

Un capteur peut-il être non-linéaire ?

Oui. Un capteur est non-linéaire si sa caractéristique (le graphique entre l'entrée et la sortie) n'est pas une droite. Dans ce cas, la sensibilité $S$ n'est pas constante et change selon la valeur de l'entrée.

💡 À retenir : Pour un capteur non-linéaire, $S = \frac{dy}{dx}$ (dérivée).

Comment calculer l'erreur relative en pourcentage ?

On utilise la formule suivante : $\text{Erreur relative (\%)} = \frac{|\text{Valeur mesurée} - \text{Valeur réelle}|}{\text{Valeur réelle}} \times 100$ Cela permet de comparer la qualité de deux capteurs différents.

💡 À retenir : L'erreur relative est plus parlante que l'erreur absolue pour comparer des mesures de grandeurs différentes.

On utilise la formule suivante : $$\text{Erreur relative (%)} = \frac{|\text{Valeur mesurée} - \text{Valeur réelle}|}{\text{Valeur réelle}} \times 100$$ Cela permet de comparer la qualité de deux capteurs différents.

💡 À retenir : L'erreur relative est plus parlante que l'erreur absolue pour comparer des mesures de grandeurs différentes.

Quelle est l'unité de la sensibilité pour un capteur de pression qui donne une tension ?

L'unité est le rapport des unités : $\frac{\text{Volt}}{\text{Pascal}}$ (ou $\text{V/Pa}$ , $\text{V/bar}$ , etc.).

💡 À retenir : L'unité est toujours $\frac{\text{Unité de sortie}}{\text{Unité d'entrée}}$ .

L'unité est le rapport des unités : $\frac{\text{Volt}}{\text{Pascal}}$ (ou $\text{V/Pa}$, $\text{V/bar}$, etc.).

💡 À retenir : L'unité est toujours $\frac{\text{Unité de sortie}}{\text{Unité d'entrée}}$.

Pourquoi utilise-t-on souvent un pont de Wheatstone avec des capteurs résistifs ?

Les capteurs résistifs (comme les jauges de contrainte) produisent de très faibles variations de résistance. Le pont de Wheatstone permet de transformer ces petites variations de résistance en une variation de tension $U$ facilement mesurable et amplifiable.

💡 À retenir : Le pont de Wheatstone sert d'interface entre un capteur passif et la chaîne d'information.

Qu'est-ce que l'étendue de mesure ?

C'est l'intervalle de valeurs de la grandeur physique que le capteur peut mesurer de manière fiable, noté $[G_{min} ; G_{max}]$ . En dehors de cet intervalle, le capteur peut être endommagé ou ne plus répondre.

💡 À retenir : C'est la "zone de travail" du capteur.

C'est l'intervalle de valeurs de la grandeur physique que le capteur peut mesurer de manière fiable, noté $[G_{min} ; G_{max}]$. En dehors de cet intervalle, le capteur peut être endommagé ou ne plus répondre.

💡 À retenir : C'est la "zone de travail" du capteur.

Peut-on dire qu'un capteur est précis s'il a une grande sensibilité ?

Pas forcément. Un capteur peut être très sensible (réagir fortement à un petit changement) mais avoir une erreur systématique importante (être décalé par rapport à la réalité). La sensibilité et la précision sont deux concepts différents.

💡 À retenir : Sensibilité $\neq$ Précision.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 : Niveau Facile (Caractérisation linéaire) Un capteur de position de type potentiomètre est utilisé pour mesurer le déplacement d'un chariot. On effectue deux mesures :

Pour un déplacement $x_1 = 10\text{ mm}$ , la tension de sortie est $U_1 = 0,5\text{ V}$ .
Pour un déplacement $x_2 = 50\text{ mm}$ , la tension de sortie est $U_2 = 2,5\text{ V}$ .

Le capteur est-il linéaire ? Justifier.
Déterminer la sensibilité $S$ du capteur.
Déterminer l'équation de la caractéristique $U = f(x)$ .
Calculer la tension de sortie pour un déplacement de $30\text{ mm}$ .

Exercice 2 : Niveau Moyen (Erreur et Précision) Un capteur de température industriel est conçu pour mesurer des températures entre $0^\circ\text{C}$ et $100^\circ\text{C}$ . Sa caractéristique est $U = 0,01 \cdot T + 0,1$ (en Volt). Le constructeur garantit une erreur maximale de $\pm 2\%$ de la valeur mesurée.

Calculer la sensibilité du capteur.
On mesure une température de $50^\circ\text{C}$ . Quelle est la tension $U$ affichée ?
Si le capteur affiche $U = 0,75\text{ V}$ , quelle est la température $T$ lue ?
Pour la température de $50^\circ\text{C}$ , quelle est l'erreur maximale autorisée en degrés Celsius ?

Exercice 3 : Niveau Difficile (Capteur et Pont de Wheatstone) On utilise une jauge de contrainte (capteur passif) montée dans un pont de Wheatstone pour mesurer une force. Le pont est composé de quatre résistances : $R_1 = R_2 = R_3 = 1000\,\Omega$ . La quatrième résistance $R_4$ est la jauge de contrainte. La tension d'alimentation du pont est $V_{cc} = 10\text{ V}$ . La tension de sortie du pont est $U_{out} = V_{cc} \left( \frac{R_4}{R_3 + R_4} - \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right)$ .

Calculer $U_{out}$ lorsque la jauge est au repos ( $R_4 = 1000\,\Omega$ ).
Lors de l'application d'une force, la résistance de la jauge varie : $R_4 = 1010\,\Omega$ . Calculer la nouvelle valeur de $U_{out}$ .
En déduire la variation de tension $\Delta U_{out}$ due à la force.
Déterminer la sensibilité $S$ du système (en $\text{V}/\Omega$ ) dans le voisinage de $1000\,\Omega$ .

Exercice 1

Exercice 1 : Niveau Facile (Caractérisation linéaire) Un capteur de position de type potentiomètre est utilisé pour mesurer le déplacement d'un chariot. On effectue deux mesures :

Pour un déplacement $x_1 = 10\text{ mm}$, la tension de sortie est $U_1 = 0,5\text{ V}$.
Pour un déplacement $x_2 = 50\text{ mm}$, la tension de sortie est $U_2 = 2,5\text{ V}$.

Le capteur est-il linéaire ? Justifier.
Déterminer la sensibilité $S$ du capteur.
Déterminer l'équation de la caractéristique $U = f(x)$.
Calculer la tension de sortie pour un déplacement de $30\text{ mm}$.

Exercice 2 : Niveau Moyen (Erreur et Précision) Un capteur de température industriel est conçu pour mesurer des températures entre $0^\circ\text{C}$ et $100^\circ\text{C}$. Sa caractéristique est $U = 0,01 \cdot T + 0,1$ (en Volt). Le constructeur garantit une erreur maximale de $\pm 2%$ de la valeur mesurée.

Calculer la sensibilité du capteur.
On mesure une température de $50^\circ\text{C}$. Quelle est la tension $U$ affichée ?
Si le capteur affiche $U = 0,75\text{ V}$, quelle est la température $T$ lue ?
Pour la température de $50^\circ\text{C}$, quelle est l'erreur maximale autorisée en degrés Celsius ?

Exercice 3 : Niveau Difficile (Capteur et Pont de Wheatstone) On utilise une jauge de contrainte (capteur passif) montée dans un pont de Wheatstone pour mesurer une force. Le pont est composé de quatre résistances : $R_1 = R_2 = R_3 = 1000,\Omega$. La quatrième résistance $R_4$ est la jauge de contrainte. La tension d'alimentation du pont est $V_{cc} = 10\text{ V}$. La tension de sortie du pont est $U_{out} = V_{cc} \left( \frac{R_4}{R_3 + R_4} - \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right)$.

Calculer $U_{out}$ lorsque la jauge est au repos ($R_4 = 1000,\Omega$).
Lors de l'application d'une force, la résistance de la jauge varie : $R_4 = 1010,\Omega$. Calculer la nouvelle valeur de $U_{out}$.
En déduire la variation de tension $\Delta U_{out}$ due à la force.
Déterminer la sensibilité $S$ du système (en $\text{V}/\Omega$) dans le voisinage de $1000,\Omega$.

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