Sciences de l'ingénieur · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

REPRÉSENTATION DU RÉEL

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La représentation du réel est le processus par lequel un système automatisé passe d'un phénomène physique continu (température, pression, lumière) à une information numérique exploitable par un microcontrôleur. Ce passage se fait en trois étapes majeures :

1. La capture (Le Capteur) : Le capteur transforme une grandeur physique en une grandeur électrique (généralement une tension $V$ ou un courant $I$ ). Ce signal est analogique (continu dans le temps et en amplitude).

2. L'échantillonnage (Discrétisation temporelle) : C'est l'action de prélever la valeur du signal analogique à des intervalles de temps réguliers $\Delta t$ .

La fréquence d'échantillonnage est $f_e = \frac{1}{\Delta t}$ (en Hz).
Théorème de Shannon : Pour pouvoir reconstruire fidèlement le signal, la fréquence d'échantillonnage doit être au moins deux fois supérieure à la fréquence maximale du signal ( $f_{max}$ ) : $f_e \ge 2 \cdot f_{max}$

3. La quantification (Discrétisation d'amplitude) : C'est le passage d'une valeur de tension continue à une valeur numérique finie. On divise la plage de tension du convertisseur en "paliers".

Soit $n$ le nombre de bits du convertisseur (résolution).
Le nombre de niveaux de quantification est : $N = 2^n$ .
Le pas de quantification (la plus petite variation de tension mesurable) est : $Q = \frac{V_{max} - V_{min}}{2^n}$

Méthodes à maîtriser

Calculer la fréquence d'échantillonnage minimale : Identifier $f_{max}$ du signal et appliquer $f_e \ge 2 \cdot f_{max}$ .
Calculer la résolution d'un convertisseur (CAN) : Utiliser la formule du pas de quantification $Q$ .
Convertir une valeur de tension en valeur numérique : $Valeur\_Numérique = \text{Arrondi}\left(\frac{V_{mesurée} - V_{min}}{Q}\right)$
Déterminer le nombre de bits à partir du nombre de niveaux : $n = \log_2(N)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Échantillonnage Un capteur de température mesure un signal dont les variations ne dépassent pas $10 \text{ Hz}$ . Quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale ? Solution : D'après Shannon : $f_e \ge 2 \cdot f_{max}$ $f_e \ge 2 \cdot 10 = 20 \text{ Hz}$ . La fréquence minimale est $20 \text{ Hz}$ .

Exemple 2 : Quantification Un convertisseur analogique-numérique (CAN) possède une résolution de $10$ bits et une plage de tension allant de $0\text{V}$ à $5\text{V}$ . Calculer le pas de quantification $Q$ . Solution : $n = 10$ bits $V_{max} = 5\text{V}$ , $V_{min} = 0\text{V}$ $Q = \frac{5 - 0}{2^{10}} = \frac{5}{1024} \approx 0,00488 \text{ V} \approx 4,88 \text{ mV}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre échantillonnage et quantification : L'échantillonnage concerne le temps (fréquence), la quantification concerne l'amplitude (tension/pas).
Oublier le carré dans $2^n$ : Ne pas confondre $2 \cdot n$ et $2^n$ .
Erreur de Shannon : Ne pas multiplier par 2 lors de l'application du théorème de Nyquist-Shannon.
Unités : Oublier de convertir les fréquences en Hz ou les tensions en Volts avant le calcul.

L'essentiel du cours

1. La capture (Le Capteur) : Le capteur transforme une grandeur physique en une grandeur électrique (généralement une tension $V$ ou un courant $I$). Ce signal est analogique (continu dans le temps et en amplitude).

2. L'échantillonnage (Discrétisation temporelle) : C'est l'action de prélever la valeur du signal analogique à des intervalles de temps réguliers $\Delta t$.

La fréquence d'échantillonnage est $f_e = \frac{1}{\Delta t}$ (en Hz).
Théorème de Shannon : Pour pouvoir reconstruire fidèlement le signal, la fréquence d'échantillonnage doit être au moins deux fois supérieure à la fréquence maximale du signal ($f_{max}$) : $$f_e \ge 2 \cdot f_{max}$$

3. La quantification (Discrétisation d'amplitude) : C'est le passage d'une valeur de tension continue à une valeur numérique finie. On divise la plage de tension du convertisseur en "paliers".

Soit $n$ le nombre de bits du convertisseur (résolution).
Le nombre de niveaux de quantification est : $N = 2^n$.
Le pas de quantification (la plus petite variation de tension mesurable) est : $$Q = \frac{V_{max} - V_{min}}{2^n}$$

Méthodes à maîtriser

Calculer la fréquence d'échantillonnage minimale : Identifier $f_{max}$ du signal et appliquer $f_e \ge 2 \cdot f_{max}$.
Calculer la résolution d'un convertisseur (CAN) : Utiliser la formule du pas de quantification $Q$.
Convertir une valeur de tension en valeur numérique : $$Valeur_Numérique = \text{Arrondi}\left(\frac{V_{mesurée} - V_{min}}{Q}\right)$$
Déterminer le nombre de bits à partir du nombre de niveaux : $n = \log_2(N)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Échantillonnage Un capteur de température mesure un signal dont les variations ne dépassent pas $10 \text{ Hz}$. Quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale ? Solution : D'après Shannon : $f_e \ge 2 \cdot f_{max}$ $f_e \ge 2 \cdot 10 = 20 \text{ Hz}$. La fréquence minimale est $20 \text{ Hz}$.

Exemple 2 : Quantification Un convertisseur analogique-numérique (CAN) possède une résolution de $10$ bits et une plage de tension allant de $0\text{V}$ à $5\text{V}$. Calculer le pas de quantification $Q$. Solution : $n = 10$ bits $V_{max} = 5\text{V}$, $V_{min} = 0\text{V}$ $Q = \frac{5 - 0}{2^{10}} = \frac{5}{1024} \approx 0,00488 \text{ V} \approx 4,88 \text{ mV}$.

Erreurs fréquentes

Confondre échantillonnage et quantification : L'échantillonnage concerne le temps (fréquence), la quantification concerne l'amplitude (tension/pas).
Oublier le carré dans $2^n$ : Ne pas confondre $2 \cdot n$ et $2^n$.
Erreur de Shannon : Ne pas multiplier par 2 lors de l'application du théorème de Nyquist-Shannon.
Unités : Oublier de convertir les fréquences en Hz ou les tensions en Volts avant le calcul.

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🎯 REPRÉSENTATION DU RÉEL

1/4

Quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale pour un signal de $60 \text{ Hz}$ ?

❓ Questions fréquentes

Chno lfarq bin signal analogique et signal numérique ?

Un signal analogique est continu : il peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle donné (ex: une tension qui varie de façon fluide).
Un signal numérique est discret : il ne peut prendre que des valeurs précises et finies (ex: des nombres binaires 0 et 1).

💡 À retenir : L'analogique est "lisse", le numérique est "en escalier".

Kifach n7seb l'échantillonnage ?

Pour calculer la fréquence d'échantillonnage ( $f_e$ ) :

Identifie la fréquence maximale ( $f_{max}$ ) du signal physique.
Applique la condition de Shannon : $f_e \ge 2 \cdot f_{max}$ .
Si on te donne la période d'échantillonnage $T_e$ , utilise $f_e = \frac{1}{T_e}$ .

💡 À retenir : $f_e$ doit toujours être au moins le double de la fréquence du signal.

Pour calculer la fréquence d'échantillonnage ($f_e$) :

Identifie la fréquence maximale ($f_{max}$) du signal physique.
Applique la condition de Shannon : $f_e \ge 2 \cdot f_{max}$.
Si on te donne la période d'échantillonnage $T_e$, utilise $f_e = \frac{1}{T_e}$.

💡 À retenir : $f_e$ doit toujours être au moins le double de la fréquence du signal.

Chno hiya la résolution dyal un convertisseur ?

La résolution (ou pas de quantification $Q$ ) est la plus petite variation de tension que le convertisseur peut détecter. Elle se calcule par : $Q = \frac{\text{Plage de tension}}{2^n}$ où $n$ est le nombre de bits.

💡 À retenir : Plus $n$ est grand, plus $Q$ est petit, et plus la mesure est précise.

La résolution (ou pas de quantification $Q$) est la plus petite variation de tension que le convertisseur peut détecter. Elle se calcule par : $Q = \frac{\text{Plage de tension}}{2^n}$ où $n$ est le nombre de bits.

💡 À retenir : Plus $n$ est grand, plus $Q$ est petit, et plus la mesure est précise.

Pourquoi ne peut-on pas avoir une résolution infinie ?

À cause de la limite matérielle : le nombre de bits ( $n$ ) est limité par la conception électronique.
À cause du bruit : même avec un nombre de bits infini, le bruit électronique crée des incertitudes qui empêchent une précision absolue.

💡 À retenir : La précision est limitée par le nombre de bits et le bruit.

À cause de la limite matérielle : le nombre de bits ($n$) est limité par la conception électronique.
À cause du bruit : même avec un nombre de bits infini, le bruit électronique crée des incertitudes qui empêchent une précision absolue.

💡 À retenir : La précision est limitée par le nombre de bits et le bruit.

C'est quoi la différence entre n et 2^n ?

$n$ est la résolution en bits (ex: 8 bits, 10 bits, 12 bits). C'est la taille du mot binaire.
$2^n$ est le nombre de niveaux de quantification possibles (ex: pour 8 bits, $2^8 = 256$ niveaux).

💡 À retenir : $n$ est l'exposant, $2^n$ est le résultat.

$n$ est la résolution en bits (ex: 8 bits, 10 bits, 12 bits). C'est la taille du mot binaire.
$2^n$ est le nombre de niveaux de quantification possibles (ex: pour 8 bits, $2^8 = 256$ niveaux).

💡 À retenir : $n$ est l'exposant, $2^n$ est le résultat.

Que se passe-t-il si fe < 2 cdot f{max} ?

Il se produit un phénomène appelé repliement de spectre (aliasing). Le signal numérique obtenu sera une image fausse du signal original, et il sera impossible de retrouver le signal de départ.

💡 À retenir : Respecter Shannon est obligatoire pour éviter les erreurs de mesure.

Comment le microcontrôleur "voit" la tension ?

Le microcontrôleur ne voit pas la tension directement. Il reçoit un nombre entier (ex: 512) envoyé par le convertisseur CAN. Le programme doit ensuite convertir ce nombre en valeur réelle (ex: 2,5V) en utilisant le pas $Q$ .

💡 À retenir : Tension $\to$ CAN $\to$ Nombre entier $\to$ Traitement.

Est-ce que l'échantillonnage change la valeur de la tension ?

Non, l'échantillonnage ne change pas la valeur, il ne fait que "prendre une photo" de la valeur à un instant précis. C'est la quantification qui crée une petite erreur en arrondissant la valeur.

💡 À retenir : Échantillonnage = Temps ; Quantification = Valeur.

Quel est l'impact d'augmenter le nombre de bits ?

Le pas de quantification $Q$ diminue.
La précision de la mesure augmente.
La quantité de données à traiter augmente (plus de mémoire nécessaire).

💡 À retenir : Plus de bits = Plus de précision = Plus de données.

Le pas de quantification $Q$ diminue.
La précision de la mesure augmente.
La quantité de données à traiter augmente (plus de mémoire nécessaire).

💡 À retenir : Plus de bits = Plus de précision = Plus de données.

Qu'est-ce qu'une valeur "discrète" ?

Une valeur est dite discrète lorsqu'elle ne peut prendre que des valeurs isolées dans un ensemble (comme des nombres entiers), par opposition à une valeur "continue" qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle.

💡 À retenir : Discret = Séparé / Continu = Ininterrompu.

Le capteur fait-il partie de la représentation du réel ?

Oui, le capteur est l'élément physique qui permet la première étape de la représentation : la conversion de la grandeur physique en signal électrique analogique.

💡 À retenir : Sans capteur, pas de représentation possible.

Peut-on convertir un signal numérique en analogique ?

Oui, c'est le rôle du CNA (Convertisseur Numérique-Analogique). Il est utilisé, par exemple, pour transformer une commande numérique en une tension de commande pour un moteur.

💡 À retenir : CAN (Analogique $\to$ Numérique) ; CNA (Numérique $\to$ Analogique).

Oui, c'est le rôle du CNA (Convertisseur Numérique-Analogique). Il est utilisé, par exemple, pour transformer une commande numérique en une tension de commande pour un moteur.

💡 À retenir : CAN (Analogique $\to$ Numérique) ; CNA (Numérique $\to$ Analogique).

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 : Niveau Facile (Application directe) Un système de surveillance de température utilise un capteur dont le signal varie entre $0\text{V}$ et $10\text{V}$ . Le convertisseur utilisé possède une résolution de $8$ bits.

Calculer le nombre de niveaux de quantification $N$ .
Calculer le pas de quantification $Q$ .
Si le capteur mesure une tension de $3,5\text{V}$ , quelle sera la valeur numérique (entier) envoyée au microcontrôleur ? (On considère $V_{min} = 0\text{V}$ ).

Exercice 2 : Niveau Moyen (Analyse de signal) Un capteur de vibration produit un signal sinusoïdal de fréquence $f = 150 \text{ Hz}$ . Le système de traitement doit respecter strictement le théorème de Shannon.

Déterminer la fréquence d'échantillonnage minimale $f_{e\_min}$ requise.
Si on choisit une fréquence d'échantillonnage $f_e = 1 \text{ kHz}$ , calculer la période d'échantillonnage $T_e$ .
Le convertisseur utilisé a une plage de $0$ à $5\text{V}$ et $10$ bits. Calculer le pas $Q$ .

Exercice 3 : Niveau Examen National (Synthèse) Un système de contrôle de pression utilise un capteur de pression dont la sortie électrique est une tension $V$ comprise entre $0,5\text{V}$ et $4,5\text{V}$ . Le signal de pression varie avec une fréquence maximale de $50 \text{ Hz}$ . Le convertisseur utilisé est un CAN de $12$ bits avec une plage d'entrée de $0\text{V}$ à $5\text{V}$ .

Calculer la fréquence d'échantillonnage minimale $f_{e\_min}$ pour éviter le repliement de spectre.
Calculer le pas de quantification $Q$ du convertisseur.
Calculer l'erreur maximale de quantification (on considère que l'erreur est de $\pm Q/2$ ).
On mesure une pression correspondant à une tension de $3,0\text{V}$ . a) Calculer la valeur numérique $N_{val}$ correspondant à cette tension. b) Vérifier si cette valeur est cohérente avec le calcul $N_{val} = \frac{V - V_{min\_convertisseur}}{Q}$ .

Exercice 1

Exercice 1 : Niveau Facile (Application directe) Un système de surveillance de température utilise un capteur dont le signal varie entre $0\text{V}$ et $10\text{V}$. Le convertisseur utilisé possède une résolution de $8$ bits.

Calculer le nombre de niveaux de quantification $N$.
Calculer le pas de quantification $Q$.
Si le capteur mesure une tension de $3,5\text{V}$, quelle sera la valeur numérique (entier) envoyée au microcontrôleur ? (On considère $V_{min} = 0\text{V}$).

Exercice 2 : Niveau Moyen (Analyse de signal) Un capteur de vibration produit un signal sinusoïdal de fréquence $f = 150 \text{ Hz}$. Le système de traitement doit respecter strictement le théorème de Shannon.

Déterminer la fréquence d'échantillonnage minimale $f_{e_min}$ requise.
Si on choisit une fréquence d'échantillonnage $f_e = 1 \text{ kHz}$, calculer la période d'échantillonnage $T_e$.
Le convertisseur utilisé a une plage de $0$ à $5\text{V}$ et $10$ bits. Calculer le pas $Q$.

Exercice 3 : Niveau Examen National (Synthèse) Un système de contrôle de pression utilise un capteur de pression dont la sortie électrique est une tension $V$ comprise entre $0,5\text{V}$ et $4,5\text{V}$. Le signal de pression varie avec une fréquence maximale de $50 \text{ Hz}$. Le convertisseur utilisé est un CAN de $12$ bits avec une plage d'entrée de $0\text{V}$ à $5\text{V}$.

Calculer la fréquence d'échantillonnage minimale $f_{e_min}$ pour éviter le repliement de spectre.
Calculer le pas de quantification $Q$ du convertisseur.
Calculer l'erreur maximale de quantification (on considère que l'erreur est de $\pm Q/2$).
On mesure une pression correspondant à une tension de $3,0\text{V}$. a) Calculer la valeur numérique $N_{val}$ correspondant à cette tension. b) Vérifier si cette valeur est cohérente avec le calcul $N_{val} = \frac{V - V_{min_convertisseur}}{Q}$.

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