Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Agronomiques

Les transformations nucléaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. La radioactivité : C'est un phénomène naturel et spontané où un noyau instable se transforme en un autre noyau en émettant des rayonnements.

$\alpha$ : Émission d'un noyau d'hélium $^4_2\text{He}$ .
$\beta^-$ : Émission d'un électron $^0_{-1}e$ .
$\beta^+$ : Émission d'un positron $^0_{+1}e$ .
$\gamma$ : Émission d'un rayonnement électromagnétique (photon de haute énergie).

2. La loi de décroissance radioactive : Le nombre de noyaux $N(t)$ à un instant $t$ est donné par : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ Où :

$N_0$ est le nombre de noyaux initial à $t=0$ .
$\lambda$ est la constante radioactive (en $\text{s}^{-1}$ ).

3. L'activité radioactive : L'activité $A(t)$ est le nombre de désintégrations par seconde. Elle s'exprime en Becquerel (Bq). $A(t) = \lambda N(t)$ D'où la relation : $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ avec $A_0 = \lambda N_0$ .

4. La période radioactive (demi-vie) $t_{1/2}$ : C'est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés ( $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$ ). $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$

Méthodes à maîtriser

Calculer $\lambda$ à partir de $t_{1/2}$ : Utiliser la formule $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$ .
Déterminer $N(t)$ ou $A(t)$ : Utiliser la forme exponentielle $e^{-\lambda t}$ . Attention à bien convertir le temps $t$ dans la même unité que $\lambda$ (souvent la seconde).
Passer de la masse à l'activité : Utiliser la relation $N = \frac{m}{M} \cdot N_A$ (où $N_A$ est la constante d'Avogadro) pour trouver $N$ , puis $A = \lambda N$ .

Exemples corrigés

Exemple : Un échantillon possède $N_0 = 10^{18}$ noyaux. Sa période est $t_{1/2} = 10 \text{ min}$ . Calculer le nombre de noyaux restants après $20 \text{ min}$ .

Solution :

On remarque que $t = 20 \text{ min}$ correspond à $2 \times t_{1/2}$ .
Après une période, il reste $N_0/2$ . Après deux périodes, il reste $N_0/4$ .
$N(20) = \frac{10^{18}}{4} = 2,5 \times 10^{17}$ noyaux.

Erreurs fréquentes

Confusion entre $N$ et $A$ : $N$ est une quantité (nombre de noyaux), $A$ est une vitesse (désintégrations par seconde).
Oubli de l'unité de temps : Si $\lambda$ est en $\text{s}^{-1}$ , le temps $t$ dans l'exponentielle doit être en secondes.
Erreur de signe : L'exposant doit toujours être négatif ( $-\lambda t$ ) car la quantité diminue.

L'essentiel du cours

1. La radioactivité : C'est un phénomène naturel et spontané où un noyau instable se transforme en un autre noyau en émettant des rayonnements.

$\alpha$ : Émission d'un noyau d'hélium $^4_2\text{He}$.
$\beta^-$ : Émission d'un électron $^0_{-1}e$.
$\beta^+$ : Émission d'un positron $^0_{+1}e$.
$\gamma$ : Émission d'un rayonnement électromagnétique (photon de haute énergie).

2. La loi de décroissance radioactive : Le nombre de noyaux $N(t)$ à un instant $t$ est donné par : $$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$ Où :

$N_0$ est le nombre de noyaux initial à $t=0$.
$\lambda$ est la constante radioactive (en $\text{s}^{-1}$).

3. L'activité radioactive : L'activité $A(t)$ est le nombre de désintégrations par seconde. Elle s'exprime en Becquerel (Bq). $$A(t) = \lambda N(t)$$ D'où la relation : $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ avec $A_0 = \lambda N_0$.

4. La période radioactive (demi-vie) $t_{1/2}$ : C'est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés ($N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$). $$t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$$

Méthodes à maîtriser

Calculer $\lambda$ à partir de $t_{1/2}$ : Utiliser la formule $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$.
Déterminer $N(t)$ ou $A(t)$ : Utiliser la forme exponentielle $e^{-\lambda t}$. Attention à bien convertir le temps $t$ dans la même unité que $\lambda$ (souvent la seconde).
Passer de la masse à l'activité : Utiliser la relation $N = \frac{m}{M} \cdot N_A$ (où $N_A$ est la constante d'Avogadro) pour trouver $N$, puis $A = \lambda N$.

Exemples corrigés

Exemple : Un échantillon possède $N_0 = 10^{18}$ noyaux. Sa période est $t_{1/2} = 10 \text{ min}$. Calculer le nombre de noyaux restants après $20 \text{ min}$.

Solution :

On remarque que $t = 20 \text{ min}$ correspond à $2 \times t_{1/2}$.
Après une période, il reste $N_0/2$. Après deux périodes, il reste $N_0/4$.
$N(20) = \frac{10^{18}}{4} = 2,5 \times 10^{17}$ noyaux.

Erreurs fréquentes

Confusion entre $N$ et $A$ : $N$ est une quantité (nombre de noyaux), $A$ est une vitesse (désintégrations par seconde).
Oubli de l'unité de temps : Si $\lambda$ est en $\text{s}^{-1}$, le temps $t$ dans l'exponentielle doit être en secondes.
Erreur de signe : L'exposant doit toujours être négatif ($-\lambda t$) car la quantité diminue.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Les transformations nucléaires

1/4

Quelle est l'unité de la constante radioactive $\lambda$ ?

❓ Questions fréquentes

Quelle est la relation entre lambda et t{1/2} ?

$\lambda \cdot t_{1/2} = \ln(2)$ .
Plus $\lambda$ est grand, plus $t_{1/2}$ est petit.

💡 À retenir : C'est une relation d'inverse proportionnalité.

$\lambda \cdot t_{1/2} = \ln(2)$.
Plus $\lambda$ est grand, plus $t_{1/2}$ est petit.

💡 À retenir : C'est une relation d'inverse proportionnalité.

Peut-on mesurer la masse d'un échantillon radioactif ?

Oui, en utilisant la relation $m = \frac{N \cdot M}{N_A}$ .
En connaissant $N(t)$ , on peut calculer la masse restante à tout moment.

💡 À retenir : La masse diminue au fur et à mesure des désintégrations.

Oui, en utilisant la relation $m = \frac{N \cdot M}{N_A}$.
En connaissant $N(t)$, on peut calculer la masse restante à tout moment.

💡 À retenir : La masse diminue au fur et à mesure des désintégrations.

Quel est le rôle de l'émetteur beta^- ?

Dans une désintégration $\beta^-$ , un neutron se transforme en proton.
Cela augmente le numéro atomique $Z$ de 1, mais le nombre de masse $A$ reste identique.

💡 À retenir : $^A_Z X \to ^A_{Z+1} Y + ^0_{-1}e$ .

Dans une désintégration $\beta^-$, un neutron se transforme en proton.
Cela augmente le numéro atomique $Z$ de 1, mais le nombre de masse $A$ reste identique.

💡 À retenir : $^A_Z X \to ^A_{Z+1} Y + ^0_{-1}e$.

Chno hiya l-far9 bin N(t) ou A(t)?

$N(t)$ est le nombre de noyaux présents à l'instant $t$ (c'est une quantité de matière).
$A(t)$ est l'activité, c'est-à-dire la vitesse de désintégration (combien de noyaux se cassent par seconde).
La relation est $A(t) = \lambda N(t)$ .

💡 À retenir : $N$ est le stock, $A$ est le débit de consommation.

$N(t)$ est le nombre de noyaux présents à l'instant $t$ (c'est une quantité de matière).
$A(t)$ est l'activité, c'est-à-dire la vitesse de désintégration (combien de noyaux se cassent par seconde).
La relation est $A(t) = \lambda N(t)$.

💡 À retenir : $N$ est le stock, $A$ est le débit de consommation.

Kifach n7seb lambda ila 3andi t{1/2}?

Utilise la formule directe : $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$ .
$\ln(2)$ vaut environ $0,693$ .
Attention à l'unité : si $t_{1/2}$ est en heures, $\lambda$ sera en $\text{h}^{-1}$ .

💡 À retenir : $\lambda$ et $t_{1/2}$ sont inversement proportionnels.

Utilise la formule directe : $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$.
$\ln(2)$ vaut environ $0,693$.
Attention à l'unité : si $t_{1/2}$ est en heures, $\lambda$ sera en $\text{h}^{-1}$.

💡 À retenir : $\lambda$ et $t_{1/2}$ sont inversement proportionnels.

Chno hiya l-madda li kat-t7ellel bzerba?

Une matière qui se désintègre rapidement est une matière qui a une période radioactive $t_{1/2}$ très courte.
Cela signifie que sa constante radioactive $\lambda$ est très grande.
Son activité $A$ diminue très vite.

💡 À retenir : $t_{1/2}$ petit $\implies$ désintégration rapide.

Une matière qui se désintègre rapidement est une matière qui a une période radioactive $t_{1/2}$ très courte.
Cela signifie que sa constante radioactive $\lambda$ est très grande.
Son activité $A$ diminue très vite.

💡 À retenir : $t_{1/2}$ petit $\implies$ désintégration rapide.

Quelle est l'unité de l'activité ?

L'unité internationale est le Becquerel (Bq).
$1 \text{ Bq} = 1 \text{ désintégration par seconde}$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier que l'activité est en Bq dans les calculs.

L'unité internationale est le Becquerel (Bq).
$1 \text{ Bq} = 1 \text{ désintégration par seconde}$.

💡 À retenir : Toujours vérifier que l'activité est en Bq dans les calculs.

Pourquoi la courbe de N(t) ne descend-elle jamais jusqu'à zéro ?

Mathématiquement, la fonction $e^{-\lambda t}$ tend vers $0$ quand $t \to \infty$ mais ne l'atteint jamais.
Physiquement, on finit par avoir un nombre fini de noyaux, mais la loi est une approximation statistique.

💡 À retenir : La décroissance est asymptotique.

Mathématiquement, la fonction $e^{-\lambda t}$ tend vers $0$ quand $t \to \infty$ mais ne l'atteint jamais.
Physiquement, on finit par avoir un nombre fini de noyaux, mais la loi est une approximation statistique.

💡 À retenir : La décroissance est asymptotique.

Est-ce que le rayonnement gamma est une particule ?

Non, le rayonnement $\gamma$ n'est pas une particule matérielle.
C'est une onde électromagnétique (un photon) de très haute énergie.

💡 À retenir : $\alpha$ et $\beta$ sont des particules, $\gamma$ est une onde.

Non, le rayonnement $\gamma$ n'est pas une particule matérielle.
C'est une onde électromagnétique (un photon) de très haute énergie.

💡 À retenir : $\alpha$ et $\beta$ sont des particules, $\gamma$ est une onde.

Comment trouver N0 si on connaît A0 et lambda ?

On utilise la formule $A_0 = \lambda N_0$ .
On isole $N_0$ : $N_0 = \frac{A_0}{\lambda}$ .

💡 À retenir : $N_0$ est le nombre de noyaux à l'instant initial.

On utilise la formule $A_0 = \lambda N_0$.
On isole $N_0$ : $N_0 = \frac{A_0}{\lambda}$.

💡 À retenir : $N_0$ est le nombre de noyaux à l'instant initial.

Que signifie "radioactivité spontanée" ?

Cela signifie que le noyau n'a pas besoin d'énergie extérieure pour se transformer.
Le processus dépend uniquement de la nature instable du noyau lui-même.

💡 À retenir : On ne peut pas "arrêter" la radioactivité d'un échantillon.

Si je double le temps t, est-ce que l'activité est divisée par deux ?

Non, car la décroissance est exponentielle, pas linéaire.
L'activité est divisée par deux seulement si on augmente le temps de la valeur de la période $t_{1/2}$ .

💡 À retenir : La décroissance suit une courbe, pas une droite.

Non, car la décroissance est exponentielle, pas linéaire.
L'activité est divisée par deux seulement si on augmente le temps de la valeur de la période $t_{1/2}$.

💡 À retenir : La décroissance suit une courbe, pas une droite.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Un échantillon de Cobalt-60 possède une période radioactive $t_{1/2} = 5,27 \text{ ans}$ .

Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{an}^{-1}$ .
Si on possède $10^{20}$ noyaux au départ, combien de noyaux restera-t-il après $10,54 \text{ ans}$ ?

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Un échantillon de Césium-137 a une activité initiale $A_0 = 3,7 \times 10^{10} \text{ Bq}$ . Sa période est $t_{1/2} = 30 \text{ ans}$ .

Calculer $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ (Arrondir à $10^{-10} \text{ s}^{-1}$ ).
Calculer le nombre de noyaux initial $N_0$ .
Calculer l'activité $A$ après $30 \text{ ans}$ .

Exercice 3 (Niveau Examen National) : On considère un échantillon de Radium-226. On sait que sa masse initiale est $m_0 = 1,0 \text{ g}$ . Sa période est $t_{1/2} = 1600 \text{ ans}$ .

Calculer le nombre de noyaux initial $N_0$ (Données : $M(\text{Ra}) = 226 \text{ g/mol}$ ; $N_A = 6,02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ ).
Déterminer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{an}^{-1}$ .
Calculer la masse $m(t)$ de l'échantillon après $3200 \text{ ans}$ .
Calculer l'activité $A$ de l'échantillon à cet instant $t = 3200 \text{ ans}$ (Donner le résultat en Bq, attention aux unités de temps).

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Un échantillon de Cobalt-60 possède une période radioactive $t_{1/2} = 5,27 \text{ ans}$.

Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{an}^{-1}$.
Si on possède $10^{20}$ noyaux au départ, combien de noyaux restera-t-il après $10,54 \text{ ans}$ ?

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Un échantillon de Césium-137 a une activité initiale $A_0 = 3,7 \times 10^{10} \text{ Bq}$. Sa période est $t_{1/2} = 30 \text{ ans}$.

Calculer $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ (Arrondir à $10^{-10} \text{ s}^{-1}$).
Calculer le nombre de noyaux initial $N_0$.
Calculer l'activité $A$ après $30 \text{ ans}$.

Exercice 3 (Niveau Examen National) : On considère un échantillon de Radium-226. On sait que sa masse initiale est $m_0 = 1,0 \text{ g}$. Sa période est $t_{1/2} = 1600 \text{ ans}$.

Calculer le nombre de noyaux initial $N_0$ (Données : $M(\text{Ra}) = 226 \text{ g/mol}$ ; $N_A = 6,02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$).
Déterminer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{an}^{-1}$.
Calculer la masse $m(t)$ de l'échantillon après $3200 \text{ ans}$.
Calculer l'activité $A$ de l'échantillon à cet instant $t = 3200 \text{ ans}$ (Donner le résultat en Bq, attention aux unités de temps).

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